Formule de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat, numite și produse remarcabile sau identități remarcabile, sunt rezultate gata făcute ale unor înmulțiri care apar iar și iar. În loc să înmulțim fiecare termen cu fiecare termen, scriem direct rezultatul. Sunt printre cele mai folosite instrumente ale algebrei și funcționează în două sensuri:

• de la stânga la dreapta, pentru a scăpa de paranteze: ${{(x+3)^2}={x^2+6x+9}}$;
• de la dreapta la stânga, pentru a descompune un polinom în factori: ${{x^2-9}={(x-3)(x+3)}}$.

În formule, $a$ și $b$ pot fi orice număr sau orice expresie, de exemplu $2x$, $5y^2$ sau ${x+1}$.

Tabelul formulelor

Denumire	Formula
Pătratul unei sume	${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
Pătratul unei diferențe	${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
Diferența de pătrate	${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$
Cubul unei sume	${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
Cubul unei diferențe	${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
Suma de cuburi	${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Diferența de cuburi	${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Fiecare dintre aceste formule se demonstrează înmulțind parantezele. Mai jos vei vedea cum se face și cum se folosește fiecare.

Pătratul unei sume și pătratul unei diferențe

De ce? A ridica la pătrat înseamnă a înmulți expresia cu ea însăși:

${(a+b)^2}={(a+b)(a+b)}={a^2+ab+ba+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

Cei doi termeni egali $ab$ și $ba$ dau dublul produsului $2ab$. Desenul arată același lucru: un pătrat cu latura ${a+b}$ este format dintr-un pătrat $a^2$, două dreptunghiuri cu aria $ab$ și un pătrat $b^2$.

${(a+b)^2}={a^2+ab+ab+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

Pătratul unei diferențe se calculează la fel. Se schimbă doar semnul din fața dublului produs:

${(a-b)^2}={(a-b)(a-b)}={a^2-ab-ba+b^2}={a^2-2ab+b^2}$

Exemple

Exemplul 1. În ${(x+3)^2}$ primul termen este $x$ și al doilea este $3$:

${(x+3)^2}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={x^2+6x+9}$

Exemplul 2. Când un termen este un produs, cum este $2a$, pune-l între paranteze ca să ridici la pătrat și numărul, și litera:

${(2a-5)^2}={(2a)^2-2\cdot 2a\cdot 5+5^2}={4a^2-20a+25}$

Exemplul 3.

${(3x+2y)^2}={(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2y+(2y)^2}={9x^2+12xy+4y^2}$

Exemplul 4. Ca să ridici o putere la pătrat, îi dublezi exponentul:

${(1-x^2)^2}={1^2-2\cdot 1\cdot x^2+(x^2)^2}={1-2x^2+x^4}$

Expresiile opuse au același pătrat, deci ${{(b-a)^2}={(a-b)^2}}$ și ${{(-a-b)^2}={(a+b)^2}}$. De exemplu, ${(-x-3)^2}={(x+3)^2}={x^2+6x+9}$.

Atenție! ${{(a+b)^2}\ne {a^2+b^2}}$. Nu uita dublul produsului! Verificare cu numere: ${(3+4)^2}=7^2=49$, dar ${3^2+4^2}={9+16}=25$. Diferența ${{49-25}=24}$ este exact ${2\cdot 3\cdot 4}$.

Calcul mintal

Formulele permit să ridici la pătrat din memorie numere apropiate de un număr rotund:

$51^2={(50+1)^2}={2500+100+1}=2601$

$99^2={(100-1)^2}={10\,000-200+1}=9801$

Diferența de pătrate

Când înmulțim parantezele, cei doi termeni din mijloc se reduc:

${(a-b)(a+b)}={a^2+ab-ba-b^2}={a^2-b^2}$

Cu un desen: taie un pătrat mic $b^2$ din colțul pătratului $a^2$. Taie ce a rămas în două dreptunghiuri și lipește-le într-un singur dreptunghi cu laturile ${a+b}$ și ${a-b}$.

${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$

Exemple

${(x-7)(x+7)}={x^2-7^2}={x^2-49}$

${(2y+1)(2y-1)}={(2y)^2-1^2}={4y^2-1}$

În sens invers, formula descompune în factori o diferență de pătrate:

${9a^2-25b^2}={(3a)^2-(5b)^2}={(3a-5b)(3a+5b)}$

Și un pic de calcul mintal: ${51\cdot 49}={(50+1)(50-1)}={2500-1}=2499$, ${102\cdot 98}={100^2-2^2}=9996$.

Atenție! Nu există o formulă de acest fel pentru o sumă de pătrate ${a^2+b^2}$: nu se poate descompune în factori cu numere reale, deci ${x^2+9}$ rămâne așa cum este. O sumă de pătrate se poate scrie doar folosind pătratul unei sume sau al unei diferențe: ${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={(a-b)^2+2ab}$.

Cubul unei sume și cubul unei diferențe

Demonstrație: înmulțește ${(a+b)^2}$ încă o dată cu ${(a+b)}$:

${(a+b)^3}={(a^2+2ab+b^2)(a+b)}={a^3+a^2b+2a^2b}+{2ab^2+ab^2+b^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

Exemple

${(2x-1)^3}={(2x)^3-3\cdot(2x)^2\cdot 1}+{3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3}={8x^3-12x^2+6x-1}$

${(1+a^2)^3}={1+3\cdot a^2+3\cdot(a^2)^2+(a^2)^3}={1+3a^2+3a^4+a^6}$

Din memorie: $11^3={(10+1)^3}={1000+300+30+1}=1331$.

Atenție! ${{(a+b)^3}\ne {a^3+b^3}}$. De exemplu, ${{(1+2)^3}=27}$, dar ${{1^3+2^3}=9}$.

Suma și diferența de cuburi

Al doilea factor seamănă cu ${(a-b)^2}$ sau cu ${(a+b)^2}$, dar termenul din mijloc este $ab$, nu $2ab$. Ca să-ți amintești semnele:

• prima paranteză are același semn ca partea stângă;
• termenul din mijloc al celei de-a doua paranteze are semnul opus;
• ultimul semn este întotdeauna plus.

Verificare prin înmulțire: toți termenii din mijloc se reduc.

${(a+b)(a^2-ab+b^2)}={a^3-a^2b+ab^2}+{a^2b-ab^2+b^3}={a^3+b^3}$

Exemple

${x^3-8}={x^3-2^3}={(x-2)(x^2+2x+4)}$

${27a^3+1}={(3a)^3+1^3}={(3a+1)(9a^2-3a+1)}$

Al doilea factor ${a^2\pm ab+b^2}$ nu se mai poate descompune în factori cu numere reale.

Descompunerea în factori: formulele citite invers

Adesea trebuie să recunoști o formulă în interiorul unui polinom. Un trinom de forma ${a^2\pm 2ab+b^2}$ este un trinom pătrat perfect. Cum îl recunoști:

1. Doi dintre termeni sunt pătrate: ${x^2=(x)^2}$, ${9=3^2}$, ${4a^2=(2a)^2}$.
2. Al treilea termen este dublul produsului bazelor lor: ${{2\cdot x\cdot 3}=6x}$.
3. Semnul acestui termen este semnul din interiorul parantezei.

${x^2+6x+9}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={(x+3)^2}$

${25+20a+4a^2}={5^2+2\cdot 5\cdot 2a+(2a)^2}={(5+2a)^2}$

${4y^2-12y+9}={(2y)^2-2\cdot 2y\cdot 3+3^2}={(2y-3)^2}$

Dar ${x^2+5x+9}$ nu este un pătrat perfect, deoarece ${2\cdot x\cdot 3}=6x\ne 5x$.

Uneori o formulă se folosește de mai multe ori. Scoate mai întâi factorul comun, dacă există:

${2x^3-18x}={2x(x^2-9)}={2x(x-3)(x+3)}$

${x^4-16}={(x^2-4)(x^2+4)}={(x-2)(x+2)(x^2+4)}$

Alte formule utile

${(a+b+c)^2}={a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$

${(a-b-c)^2}={a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc}$

${(a+b)^2+(a-b)^2}={2(a^2+b^2)}$

${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$

${(a-b)^2}={(a+b)^2-4ab}$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}$

${a^4-b^4}={(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}$

Cu ele poți calcula valoarea unei expresii fără să afli numerele. Dacă ${{a+b}=5}$ și ${ab=6}$, atunci

${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={25-12}=13$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}={125-90}=35$

Formule pentru puterea n

Diferența de pătrate și diferența de cuburi sunt cazuri particulare ale unei formule valabile pentru orice număr natural ${n\ge 2}$:

${a^n-b^n}={(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

În a doua paranteză puterile lui $a$ scad, cele ale lui $b$ cresc și toate semnele sunt plus. De exemplu:

${a^4-b^4}={(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)}$

Dacă $n$ este impar, suma ${a^n+b^n}$ este divizibilă cu ${a+b}$ (semnele din a doua paranteză alternează):

${a^n+b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

${a^5+b^5}={(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)}$

Dacă $n$ este par, este divizibilă cu ${a+b}$ diferența ${a^n-b^n}$, nu suma:

${a^n-b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-b^{n-1})}$

Pentru $n$ par, suma ${a^n+b^n}$ nu este divizibilă cu ${a+b}$. De exemplu, ${a^2+b^2}$ nu se descompune deloc în factori.

Triunghiul lui Pascal

Coeficienții lui ${(a+b)^n}$ se citesc în triunghiul lui Pascal (numit și triunghiul lui Tartaglia). Fiecare rând începe și se termină cu 1, iar fiecare dintre celelalte numere este suma celor două de deasupra lui:

Rândul $1;\ 2;\ 1$ dă ${(a+b)^2}$, rândul $1;\ 3;\ 3;\ 1$ dă ${(a+b)^3}$, iar rândul următor dă

${(a+b)^4}={a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$

Puterile lui $a$ scad de la $n$ la 0, iar cele ale lui $b$ cresc de la 0 la $n$. În ${(a-b)^n}$ semnele alternează, începând cu plus.

Probleme în care se folosesc formulele de calcul prescurtat

Problema 1. Rezolvă ecuația ${{x^2-25}=0}$.

Rezolvare: Partea stângă este o diferență de pătrate: ${{x^2-25}={(x-5)(x+5)}}$. Un produs este zero când cel puțin unul dintre factorii lui este zero: ${{x-5}=0}$ sau ${{x+5}=0}$. Ecuația are două rădăcini: ${x_1=5}$ și ${x_2=-5}$.

Problema 2. Simplifică expresia ${(a-b)^2}-{2(a-b)(a+b)}+{(a+b)^2}$.

Rezolvare: Dezvoltă fiecare parte:

${(a^2-2ab+b^2)}-{2(a^2-b^2)}+{(a^2+2ab+b^2)}={2a^2+2b^2-2a^2+2b^2}={4b^2}$

Mai rapid: expresia are forma ${{A^2-2AB+B^2}={(A-B)^2}}$, cu ${A={a-b}}$ și ${B={a+b}}$, deci este egală cu ${((a-b)-(a+b))^2}={(-2b)^2}={4b^2}$.

Problema 3. Simplifică expresia ${(x^2+2)^2}-{(x-2)(x+2)(x^2+4)}$.

Rezolvare: Folosește de două ori diferența de pătrate: ${{(x-2)(x+2)}={x^2-4}}$ și ${(x^2-4)(x^2+4)}={x^4-16}$. Atunci

${(x^2+2)^2-(x^4-16)}={x^4+4x^2+4-x^4+16}={4x^2+20}$

Problema 4. Simplifică expresia ${(x+2)^2-(x-2)^2}$.

Rezolvare: ${(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)}=8x$. Este și mai rapid cu formula ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$, unde ${a=x}$ și ${b=2}$, deci rezultatul este ${{4\cdot x\cdot 2}=8x}$.

Problema 5. Rezolvă ecuația ${{(x+3)^2-(x-1)^2}=24}$.

Rezolvare: ${(x^2+6x+9)-(x^2-2x+1)}=24$, adică ${{8x+8}=24}$, de unde ${x=2}$. Verificare: ${{5^2-1^2}=24}$.

Problema 6. Calculează ${1001^2-999^2}$.

Rezolvare: ${1001^2-999^2}={(1001-999)(1001+999)}={2\cdot 2000}=4000$.

Problema 7. Descompune în factori ${3x^3-12x}$.

Rezolvare: ${3x^3-12x}={3x(x^2-4)}={3x(x-2)(x+2)}$.

Problema 8. Demonstrează că diferența pătratelor a două numere impare consecutive este divizibilă cu 8.

Rezolvare: Două numere impare consecutive se pot scrie ca ${2k-1}$ și ${2k+1}$. Din formula ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$ cu ${a=2k}$ și ${b=1}$: ${(2k+1)^2-(2k-1)^2}={4\cdot 2k\cdot 1}=8k$, iar $8k$ este divizibil cu 8. De exemplu, ${7^2-5^2}=24={8\cdot 3}$.

Exerciții

Rezolvă fiecare problemă și apoi deschide-o ca să-ți verifici răspunsul.

1. ${(x+5)^2}$

${x^2+10x+25}$

2. ${(3a-2b)^2}$

${(3a)^2-2\cdot 3a\cdot 2b+(2b)^2}={9a^2-12ab+4b^2}$

3. ${(2y-7)(2y+7)}$

${{(2y)^2-7^2}={4y^2-49}}$

4. Calculează $49^2$ din memorie

${(50-1)^2}={2500-100+1}=2401$

5. ${(a+2)^3}$

${a^3+3\cdot a^2\cdot 2+3\cdot a\cdot 2^2+2^3}={a^3+6a^2+12a+8}$

6. Descompune în factori ${16x^2-1}$

${(4x)^2-1^2}={(4x-1)(4x+1)}$

7. Descompune în factori ${x^2-14x+49}$

${x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2}={(x-7)^2}$

8. Descompune în factori ${8m^3-125}$

${(2m)^3-5^3}={(2m-5)(4m^2+10m+25)}$

9. Dacă ${{a-b}=3}$ și ${ab=10}$, află ${a^2+b^2}$

${a^2+b^2}={(a-b)^2+2ab}={9+20}=29$

10. Rezolvă ecuația ${{(x-4)^2}=x^2}$

${{x^2-8x+16}=x^2}$, deci ${{-8x+16}=0}$ și ${x=2}$.