Algebră

Formule de algebră

Cele mai folosite reguli de algebră, într-un singur loc. Detaliile și problemele rezolvate se găsesc în lecția fiecărui grup.

Eliminarea parantezelor

Regula	Formula
Minus ori minus	$-(-a)=a$
Semnul minus în fața parantezei	${-(a+b)}={-a-b},$ ${-(a-b)}={-a+b}$
Distributivitatea	${a(b+c)}={ab+ac}$
Produsul a două sume	${(a+b)(c+d)}={ac+ad+bc+bd}$

Formule de calcul prescurtat și descompunere în factori

Regula	Formula
Pătratul unei sume	${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
Pătratul unei diferențe	${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
Diferența de pătrate	${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$
Cubul unei sume	${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
Cubul unei diferențe	${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
Suma de cuburi	${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Diferența de cuburi	${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Suma de pătrate $a^2+b^2$ nu se poate descompune în factori (cu numere reale). Nu confunda: ${(a+b)^2\ne a^2+b^2}.$ Mai multe în lecția Formule de calcul prescurtat.

Fracții

Toți numitorii sunt diferiți de zero.

Regula	Formula
Amplificarea și simplificarea	${\frac{a}{b}}={\frac{a\cdot k}{b\cdot k}},$ $k\ne 0$
Adunarea și scăderea	${\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}}={\frac{ad\pm bc}{bd}}$
Înmulțirea	${\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}={\frac{ac}{bd}}$
Împărțirea	${\frac{a}{b}:\frac{c}{d}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}}={\frac{ad}{bc}},$ $c\ne 0$
Semnul unei fracții	${\frac{-a}{b}}={\frac{a}{-b}}={-\frac{a}{b}},$ ${\frac{-a}{-b}}={\frac{a}{b}}$
Zero la numărător	${\frac{0}{b}}=0$
Zero la numitor	$\frac{a}{0}$ nu este definit: nu se poate împărți la 0
Fracție etajată	${\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}={\dfrac{ad}{bc}},$ ${\dfrac{a}{\frac{b}{c}}}={\dfrac{ac}{b}}$

Puteri

Aici $a\ne 0,$ $b\ne 0,$ iar exponenții $m$ și $n$ sunt numere întregi.

Regula	Formula
Produsul puterilor cu aceeași bază	${a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}$
Câtul puterilor cu aceeași bază	${a^m:a^n}={a^{m-n}}$
Puterea unei puteri	${(a^m)^n}={a^{mn}}$
Puterea unui produs	${(ab)^n}={a^nb^n}$
Puterea unui cât	${\left(\frac{a}{b}\right)^n}={\frac{a^n}{b^n}}$
Exponentul zero	${a^0}=1$
Exponentul negativ	${a^{-n}}={\frac{1}{a^n}},$ ${\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}}={\left(\frac{b}{a}\right)^{n}}$
Baza 1 și baza 0	${1^n}=1;$ ${0^n}=0$ pentru $n\gt 0;$ $0^0$ și $0^{-n}$ nu sunt definite

Mai multe în lecția Puteri și exponenți.

Radicali

Dacă $n$ este par, numerele de sub radical trebuie să fie nenegative: rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este un număr real.

Regula	Formula
Definiția	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n}=a$
Radicalul unei puteri	${\sqrt{a^2}}={|a|},$ ${\sqrt[n]{a^n}}=a$ pentru $a\ge 0$
Radicalul unui produs	${\sqrt[n]{ab}}={\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$
Radicalul unui cât	${\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}={\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}},$ $b\ne 0$
Radical din radical	${\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}}={\sqrt[mn]{a}}$
Exponent fracționar	${a^{\frac{m}{n}}}={\sqrt[n]{a^m}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)^m},$ $a\gt 0$

Valoarea absolută (modulul)

Regula	Formula
Definiția	$|x|=x$ dacă $x\ge 0;$ $|x|=-x$ dacă $x\lt 0$
Numere opuse	${|-a|}={|a|}$
Produs și cât	${|ab|}={|a|\cdot|b|},$ ${\left|\frac{a}{b}\right|}={\frac{|a|}{|b|}},$ $b\ne 0$
Ecuație și inecuație	${|x|=a}\iff{x=\pm a}$ pentru $a\ge 0;$ ${|x|\lt a}\iff{-a\lt x\lt a}$

Mai multe în lecția Valoarea absolută.

Logaritmi

Aici $a\gt 0,$ $a\ne 1,$ $x\gt 0$ și $y\gt 0.$

Regula	Formula
Definiția	${\log_a x=b}\iff{a^b=x}$
Logaritmul lui 1 și al bazei	${\log_a 1}=0,$ ${\log_a a}=1$
Logaritmul unui produs	${\log_a(xy)}={\log_a x+\log_a y}$
Logaritmul unui cât	${\log_a\frac{x}{y}}={\log_a x-\log_a y}$
Logaritmul unei puteri	${\log_a x^n}={n\log_a x}$
Schimbarea bazei	${\log_a x}={\frac{\log_b x}{\log_b a}},$ $b\gt 0,$ $b\ne 1$

Mai multe în lecția Logaritmi.

Factorial

Regula	Formula
Definiția	${n!}={1\cdot 2\cdot 3\cdots n}$ pentru $n\ge 1$
Factorialul lui zero	${0!}=1$
Formula de recurență	${(n+1)!}={(n+1)\cdot n!}$