Progresia geometrică

Calculator pentru progresii geometrice

Scrie primul termen, rația și numărul de termeni. Rația poate fi o fracție, cum ar fi $1/2$, sau un număr zecimal, cum ar fi $0{,}5$. Calculatorul arată termenii, termenul de rang $n$, suma primilor $n$ termeni și, când ${|r|\lt 1}$, suma seriei infinite.

Ce este o progresie geometrică?

Numerele 3, 6, 12, 24, 48 formează un șir în care fiecare număr este dublul celui dinainte. Un șir în care fiecare termen se obține înmulțind termenul dinainte cu același număr se numește progresie geometrică sau șir geometric.

Se numește rație deoarece câtul a doi termeni consecutivi oarecare este mereu același: ${\frac{a_2}{a_1}}={\frac{a_3}{a_2}}={\frac{a_4}{a_3}}=\ldots={r}$. O progresie aritmetică se construiește adunând mereu același număr; una geometrică, înmulțind.

Cuprins: Calculator · Exemple · Termenul general · Rolul rației · Proprietăți · Aritmetică și geometrică · Suma a n termeni · Serie infinită · Probleme rezolvate · De exersat

Exemple

• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots$ – primul termen $1$, rația ${r=2}$.
• $81,\ 27,\ 9,\ 3,\ 1,\ \ldots$ – primul termen $81$, rația ${r=\frac{1}{3}}$, deoarece fiecare termen este a treia parte din cel dinainte.
• $5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots$ – primul termen $5$, rația ${r=-1}$.
• $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ \ldots$ – rația ${r=-2}$: semnele alternează.
• $7,\ 7,\ 7,\ 7,\ \ldots$ – rația ${r=1}$: toți termenii sunt egali.

Șirul $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ nu este o progresie geometrică: ${\frac{4}{2}}={2}$, dar ${\frac{6}{4}}={1{,}5}$. Este o progresie aritmetică, deoarece diferența dintre termenii consecutivi este constantă (2).

De ce trebuie ca termenii și rația să fie nenuli? Dacă ${r=0}$, șirul are forma $4,\ 0,\ 0,\ 0,\ \ldots$ și câtul ${\frac{a_3}{a_2}}={\frac{0}{0}}$ nu are sens. De aceea un șir ca $4,\ 0,\ 0,\ \ldots$ nu este considerat progresie geometrică.

Formula termenului general

Pornește de la $a_1$ și înmulțește iar și iar cu $r$:

${a_2}={a_1r},\quad {a_3}={a_2r}={a_1r^2},\quad {a_4}={a_1r^3},\quad \ldots$

Ca să ajungem la termenul de rang $n$ înmulțim cu $r$ de $n-1$ ori în total. Așa se obține formula termenului general:

Exemplu. Progresia $3,\ 6,\ 12,\ \ldots$ are ${a_1}={3}$ și ${r}={2}$. Al optulea termen al ei este ${a_8}={3\times 2^7}={3\times 128}={384}$.

Dacă cunoaștem un termen $a_k$ în loc de primul, putem porni de la el: ${a_n}={a_k\cdot r^{\,n-k}}$. De exemplu, ${a_{10}}={a_7\cdot r^3}$.

Cum afli rația

Rația este orice termen împărțit la cel dinainte:

${r}={\frac{a_{n+1}}{a_n}}$

Dacă ni se dau doi termeni care nu sunt consecutivi, folosim ${a_n}={a_k\cdot r^{\,n-k}}$.

• ${a_3}={12}$ și ${a_6}={96}$: ${a_6}={a_3\cdot r^3}$, adică ${12r^3}={96}$, ${r^3}={8}$ și ${r}={2}$.
• ${a_2}={6}$ și ${a_4}={54}$: ${6r^2}={54}$, ${r^2}={9}$. Aici sunt două posibilități: ${r}={3}$ (progresia $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$) sau ${r}={-3}$ (progresia $-2,\ 6,\ -18,\ 54,\ \ldots$).

Cum se comportă progresia în funcție de rație

Comportarea termenilor depinde de rația $r$ și de semnul primului termen.

Rația	Ce se întâmplă cu termenii	Exemplu
${r\gt 1}$	Dacă ${a_1\gt 0}$, progresia este crescătoare, iar termenii cresc fără limită. Dacă ${a_1\lt 0}$, este descrescătoare.	$1,\ 5,\ 25,\ 125,\ \ldots$ $-1,\ -2,\ -4,\ -8,\ \ldots$
${r}={1}$	Toți termenii sunt egali (șir constant).	$7,\ 7,\ 7,\ \ldots$
${0\lt r\lt 1}$	Dacă ${a_1\gt 0}$, progresia este descrescătoare; dacă ${a_1\lt 0}$, crescătoare. În ambele cazuri termenii se apropie de $0$.	$16,\ 8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \ldots$
${-1\lt r\lt 0}$	Semnele alternează, iar termenii se apropie de $0$.	$4;\ -2;\ 1;\ -0{,}5;\ 0{,}25;\ \ldots$
${r}={-1}$	Termenii alternează: $a_1,\ -a_1,\ a_1,\ \ldots$	$5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots$
${r\lt -1}$	Semnele alternează, iar valorile absolute ale termenilor cresc fără limită. Termenii de rang par merg spre un infinit, iar cei de rang impar, spre celălalt.	$1,\ -5,\ 25,\ -125,\ \ldots$

Pe scurt: dacă ${|r|\lt 1}$ termenii se apropie de zero, iar dacă ${|r|\gt 1}$ valorile lor absolute cresc fără limită. Cu rație negativă semnele alternează întotdeauna.

Proprietăți

Proprietatea mediei geometrice

Fiecare termen, în afară de primul, este legat de vecinii săi astfel:

De ce este adevărat: ${a_{k-1}\cdot a_{k+1}}={\frac{a_k}{r}\cdot a_kr}={a_k^2}$.

Dacă termenii sunt pozitivi, ${a_k}={\sqrt{a_{k-1}\cdot a_{k+1}}}$: fiecare termen este media geometrică a vecinilor săi. De aici vine numele de progresie „geometrică”. De exemplu, în $4,\ 6,\ 9$ are loc ${6}={\sqrt{4\cdot 9}}$.

Este adevărată și reciproca: dacă numerele $a$, $b$, $c$ sunt nenule și ${b^2}={ac}$, atunci $a$, $b$, $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. De exemplu, numerele $2$, $x$, $18$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice când ${x^2}={36}$, adică pentru ${x}={6}$ sau ${x}={-6}$.

Termeni echidistanți de extreme

Doi termeni aflați la aceeași distanță de extreme au același produs:

${a_1\cdot a_n}={a_2\cdot a_{n-1}}={a_3\cdot a_{n-2}}=\ldots={a_k\cdot a_{n-k+1}}$

În general: dacă ${m+n}={p+s}$, atunci ${a_m\cdot a_n}={a_p\cdot a_s}$, deoarece ambele produse sunt egale cu ${a_1^2\,r^{\,m+n-2}}$.

Exemplu. Într-o progresie geometrică ${a_2\cdot a_8}={36}$. Atunci ${a_4\cdot a_6}={36}$ (deoarece ${4+6}={2+8}$) și ${a_5^2}={36}$, deci ${a_5}={6}$ sau ${a_5}={-6}$.

Progresii aritmetice și geometrice

	Progresia aritmetică	Progresia geometrică
Regula	${a_{n+1}}={a_n+d}$	${a_{n+1}}={a_n\cdot r}$
Termenul general	${a_n}={a_1+(n-1)d}$	${a_n}={a_1\cdot r^{n-1}}$
Termenul din mijloc	${a_k}={\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}}$ – media aritmetică	${a_k^2}={a_{k-1}\cdot a_{k+1}}$ – media geometrică
Suma a $n$ termeni	${S_n}={\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}}$	${S_n}={a_1\cdot\frac{r^n-1}{r-1}}$

O progresie aritmetică crește „liniar”, cu același pas de fiecare dată, în timp ce una geometrică crește „exponențial”, cu același factor de fiecare dată. De aceea, când ${r\gt 1}$, o progresie geometrică depășește mai devreme sau mai târziu orice progresie aritmetică.

Suma primilor n termeni

Fie ${S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}={a_1+a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^{n-1}}$. O astfel de sumă se numește serie geometrică.

Cum se deduce formula. Înmulțește suma cu $r$ și scade:

${rS_n}={a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^{n-1}+a_1r^n}$

${rS_n-S_n}={a_1r^n-a_1}$

Toți termenii intermediari se reduc. Rămâne ${S_n(r-1)}={a_1(r^n-1)}$. Dacă ${r\ne 1}$, împărțim la ${r-1}$:

Cele două fracții sunt egale (numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu $-1$). Prima este mai comodă când ${r\gt 1}$, iar a doua când ${r\lt 1}$. Cum ${a_1r^n}={a_n r}$, formula se poate scrie și cu ultimul termen: ${S_n}={\frac{a_nr-a_1}{r-1}}$.

Exemplul 1. ${1+2+4+\ldots+2^9}={1\times\frac{2^{10}-1}{2-1}}={1023}$.

Exemplul 2. ${3-6+12-24+48-96}=\,?$ Aici ${a_1}={3}$, ${r}={-2}$, ${n}={6}$: ${S_6}={3\times\frac{(-2)^6-1}{-2-1}}={3\times\frac{63}{-3}}={-63}$.

Legenda tablei de șah. Inventatorul șahului a cerut ca răsplată 1 bob de grâu pentru primul pătrățel, 2 pentru al doilea, 4 pentru al treilea și tot așa, de fiecare dată dublu, până la pătrățelul 64. Numărul de boabe este

${1+2+2^2+\ldots+2^{63}}={2^{64}-1}={18\,446\,744\,073\,709\,551\,615}.$

Este mult mai mult grâu decât se cultivă în toată lumea într-un an.

Bani. Dacă la începutul fiecărui an depui $\$1\,000$ într-un cont care plătește o dobândă compusă anuală de 4%, la sfârșitul anului al cincilea vei avea

${\$1\,000\times 1{,}04}+{\$1\,000\times 1{,}04^2}+{\ldots+\$1\,000\times 1{,}04^5}={\$1\,040\times\frac{1{,}04^5-1}{0{,}04}}\approx{\$5\,632{,}98}.$

Termenii sumei formează o progresie geometrică cu ${a_1}={1\,040}$ și ${r}={1{,}04}$. Poți calcula dobânda compusă cu calculatorul de dobândă compusă. Cu aceeași sumă se calculează rata lunară a unui credit: vezi de unde vine formula ratei.

Serie geometrică infinită

Când ${|r|\lt 1}$, valorile absolute ale termenilor scad și se apropie de zero. Deși sunt infiniți termeni, suma lor este un număr finit. O astfel de progresie se numește uneori progresie geometrică descrescătoare infinită.

${\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots}={1}$: piesele umplu tot pătratul.

De unde vine formula. Știm că ${S_n}={a_1\cdot\frac{1-r^n}{1-r}}$. Când ${|r|\lt 1}$ și $n$ crește, $r^n$ se apropie de $0$. Prin urmare, $S_n$ se apropie de ${\frac{a_1}{1-r}}$.

Exemple.

• ${1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots}={\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}={2}$.
• ${1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\ldots}={\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}}={\frac{2}{3}}$.
• Fracțiile zecimale periodice sunt sume de serii de acest tip: ${0{,}\overline{3}}={\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\ldots}={\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{3}}$.
• La fel, ${0{,}\overline{27}}={\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{27}{99}}={\frac{3}{11}}$, și ${0{,}\overline{9}}={\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={1}$.

Formula ${S}={\frac{a_1}{1-r}}$ este valabilă doar când ${|r|\lt 1}$. Suma ${1+2+4+8+\ldots}$ nu are o valoare finită, și totuși formula ar da ${\frac{1}{1-2}}={-1}$, ceea ce este absurd.

Probleme rezolvate

Problema 1. Este șirul $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ o progresie geometrică?

Rezolvare. Nu. ${\frac{4}{2}}={2}$, dar ${\frac{6}{4}}={1{,}5}$: câturile termenilor consecutivi nu sunt egale. (Este o progresie aritmetică de rație 2.)

Problema 2. Numerele $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ formează o progresie geometrică. Află al zecelea termen al ei.

Rezolvare. ${a_1}={2}$ și ${r}={2}$, deci ${a_{10}}={a_1r^9}={2\times 2^9}={2\times 512}={1024}$.

Problema 3. Află primul termen și rația unei progresii geometrice dacă ${a_5-a_1}={15}$ și ${a_4-a_2}={6}$.

Rezolvare. Scriem termenii în funcție de $a_1$ și $r$:

${a_1r^4-a_1}={15}\ \Rightarrow\ {a_1(r^2-1)(r^2+1)}={15}$

${a_1r^3-a_1r}={6}\ \Rightarrow\ {a_1r(r^2-1)}={6}$

Împărțim prima egalitate la a doua (${r^2-1}\ne{0}$, deoarece altfel prima ar spune ${0}={15}$): ${\frac{r^2+1}{r}}={\frac{5}{2}}$, adică ${2r^2-5r+2}={0}$, de unde ${r}={2}$ sau ${r}={\frac{1}{2}}$.

• Dacă ${r}={2}$: ${a_1\times 2\times 3}={6}$, ${a_1}={1}$. Progresia este $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$
• Dacă ${r}={\frac{1}{2}}$: ${a_1\times\frac{1}{2}\times\left(-\frac{3}{4}\right)}={6}$, ${a_1}={-16}$. Progresia este $-16,\ -8,\ -4,\ -2,\ -1,\ \ldots$

Răspuns: ${a_1}={1}$, ${r}={2}$, sau ${a_1}={-16}$, ${r}={\frac{1}{2}}$. Verificarea celei de-a doua: ${-1-(-16)}={15}$ și ${-2-(-8)}={6}$.

Problema 4. Pentru ce valori ale lui $x$ numerele ${x-1}$, ${x+1}$ și ${2x+5}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice?

Rezolvare. Din proprietatea mediei geometrice, ${(x+1)^2}={(x-1)(2x+5)}$, adică ${x^2+2x+1}={2x^2+3x-5}$ și ${x^2+x-6}={0}$. Rădăcinile sunt ${x}={2}$ și ${x}={-3}$.

• ${x}={2}$: numerele $1,\ 3,\ 9$, de rație $3$.
• ${x}={-3}$: numerele $-4,\ -2,\ -1$, de rație $\frac{1}{2}$.

În ambele cazuri niciunul dintre numere nu este zero, deci răspunsul este ${x}={2}$ sau ${x}={-3}$.

Problema 5. Trei numere formează o progresie geometrică. Suma lor este 21, iar produsul lor este 216. Află numerele.

Rezolvare. Notăm numerele cu $\frac{b}{r}$, $b$, $br$. Produsul lor este ${b^3}={216}$, deci ${b}={6}$. Atunci ${\frac{6}{r}+6r}={15}$, adică ${2r^2-5r+2}={0}$, de unde ${r}={2}$ sau ${r}={\frac{1}{2}}$. Răspuns: $3,\ 6,\ 12$ sau $12,\ 6,\ 3$.

Problema 6. Numărul de bacterii dintr-o colonie se dublează la fiecare 20 de minute. La început este 1 bacterie. Câte vor fi după 3 ore?

Rezolvare. În 3 ore au loc ${\frac{180}{20}}={9}$ dublări. La început sunt ${a_1}={1}$, după prima dublare $a_2$, iar după a noua $a_{10}$: ${a_{10}}={1\times 2^9}={512}$ bacterii.

Problema 7. O minge cade de la înălțimea de 8 m. După fiecare săritură urcă până la $\frac{3}{4}$ din înălțimea de dinainte. Ce distanță parcurge mingea până se oprește?

Rezolvare. În jos mingea parcurge ${8+6+4{,}5+\ldots}$, iar în sus ${6+4{,}5+\ldots}$ Suma ${6+4{,}5+\ldots}$ este o serie geometrică infinită cu ${a_1}={6}$ și ${r}={\frac{3}{4}}$: ${\frac{6}{1-\frac{3}{4}}}={24}$. Distanța totală este ${8+2\times 24}={56}$ m.

Problema 8. Scrie $0{,}\overline{36}$ ca fracție.

Rezolvare. ${0{,}\overline{36}}={\frac{36}{100}+\frac{36}{10\,000}+\ldots}={\frac{\frac{36}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{36}{99}}={\frac{4}{11}}$.

Probleme de exersat

Încearcă singur, apoi deschide rezolvarea.

1. ${a_1}={5}$, ${r}={3}$. Află $a_6$.

${a_6}={5\times 3^5}={5\times 243}={1215}$.

2. ${a_1}={64}$, ${r}={-\frac{1}{2}}$. Află $a_7$.

${a_7}={64\times\left(-\frac{1}{2}\right)^6}={64\times\frac{1}{64}}={1}$.

3. ${a_2}={6}$ și ${a_5}={162}$. Află $a_1$ și $r$.

${a_5}={a_2r^3}$, deci ${r^3}={\frac{162}{6}}={27}$ și ${r}={3}$. Atunci ${a_1}={\frac{6}{3}}={2}$.

4. ${a_3}={4}$ și ${a_5}={36}$. Află $a_4$.

${r^2}={\frac{36}{4}}={9}$, deci ${r}={3}$ sau ${r}={-3}$. Atunci ${a_4}={12}$ sau ${a_4}={-12}$. Se vede și cu ${a_4^2}={a_3\cdot a_5}={144}$.

5. Calculează ${3+6+12+\ldots+768}$.

${a_1}={3}$, ${r}={2}$. Din ${3\times 2^{n-1}}={768}$ se obține ${2^{n-1}}={256}$, deci ${n}={9}$. ${S_9}={3\times\frac{2^9-1}{2-1}}={3\times 511}={1533}$.

6. ${a_1}={2}$, ${r}={3}$ și ${S_n}={242}$. Află $n$.

${2\times\frac{3^n-1}{3-1}}={242}$, deci ${3^n-1}={242}$, ${3^n}={243}$ și ${n}={5}$.

7. Calculează ${9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots}$

${a_1}={9}$, ${r}={-\frac{1}{3}}$ și ${|r|\lt 1}$. ${S}={\frac{9}{1+\frac{1}{3}}}={\frac{9}{\frac{4}{3}}}={\frac{27}{4}}$.

8. O serie geometrică infinită are suma 12 și primul termen 8. Află rația și al treilea termen.

${\frac{8}{1-r}}={12}$, deci ${1-r}={\frac{2}{3}}$ și ${r}={\frac{1}{3}}$. ${a_3}={8\times\frac{1}{9}}={\frac{8}{9}}$.

9. Scrie $0{,}1\overline{6}$ ca fracție.

${0{,}1\overline{6}}={\frac{1}{10}+\frac{6}{100}+\frac{6}{1000}+\ldots}={\frac{1}{10}+\frac{\frac{6}{100}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{10}+\frac{1}{15}}={\frac{1}{6}}$.

10. Un sat are $50\,000$ locuitori, iar populația lui crește cu 10% pe an. Câți locuitori va avea peste 3 ani?

În fiecare an populația se înmulțește cu $1{,}1$: ${50\,000\times 1{,}1^3}={50\,000\times 1{,}331}={66\,550}$ locuitori.

11. O progresie geometrică are termeni pozitivi și ${a_3\cdot a_9}={144}$. Află $a_6$.

${3+9}={6+6}$, deci ${a_6^2}={a_3\cdot a_9}={144}$. Termenii sunt pozitivi, deci ${a_6}={12}$.

Vezi și: Progresia aritmetică