Sisteme de ecuații de gradul al doilea cu două necunoscute

Calculator pentru sisteme de ecuații de gradul al doilea

Scrie coeficienții celor două ecuații de forma ${ax^2+bxy}+{cy^2+dx+ey}={f.}$ Pot fi numere întregi, zecimale (de exemplu 0,5) sau fracții (de exemplu 1/3). O casetă goală înseamnă 0. Calculatorul alege o metodă din lecție (substituția, reducerea, schimbarea de variabilă sau descompunerea în factori), află toate soluțiile reale ale sistemului și arată rezolvarea pas cu pas. Dacă niciuna dintre aceste metode nu merge, calculatorul află soluțiile numeric.

Ce este un sistem de ecuații de gradul al doilea?

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute este de gradul al doilea dacă una dintre ecuațiile lui este de gradul al doilea, iar cealaltă este de gradul întâi sau al doilea. De exemplu, în sistemul

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

prima ecuație este de gradul întâi, iar a doua este de gradul al doilea (termenii ${x^2,}$ ${xy}$ și ${y^2}$ sunt de gradul al doilea). Orice ecuație de gradul al doilea cu două necunoscute se poate scrie sub forma

O soluție a sistemului este orice pereche ordonată de numere ${(x,\ y),}$ care verifică ambele ecuații. A rezolva sistemul înseamnă a găsi toate soluțiile lui sau a demonstra că nu are nicio soluție. De exemplu, ${(4,\ -3)}$ este o soluție a sistemului de mai sus, deoarece ${4-(-3)=7}$ și ${4^2-4\cdot(-3)-(-3)^2}={16+12-9}={19.}$ Perechea ${(8,\ 1)}$ verifică prima ecuație, dar nu și pe a doua (${64-8-1=55\ne 19}$), deci nu este soluție.

Două sisteme sunt echivalente dacă au aceleași soluții (în particular, dacă niciunul nu are soluții). Metodele de mai jos înlocuiesc sistemul dat cu un sistem mai simplu, echivalent cu el, sau cu mai multe sisteme mai simple ale căror soluții le reunim.

În această pagină: Calculator · Substituția · Reducerea · Eliminarea unei necunoscute · Sisteme simetrice · Descompunerea în factori · Ecuații omogene · Aplicații · Exerciții

Sisteme cu o ecuație de gradul întâi: metoda substituției

Dintr-o ecuație de gradul întâi se poate exprima mereu una dintre necunoscute. După substituție obținem o ecuație cu o necunoscută, de obicei de gradul al doilea. De aceea, orice sistem de gradul al doilea în care una dintre ecuații este de gradul întâi se poate rezolva prin substituție.

1. Din ecuația de gradul întâi exprimăm una dintre necunoscute în funcție de cealaltă. Este bine să alegem o necunoscută cu coeficientul 1 sau ${-1.}$
2. Înlocuim expresia obținută în ecuația de gradul al doilea și obținem o ecuație cu o necunoscută.
3. Rezolvăm această ecuație (de obicei este o ecuație de gradul al doilea).
4. Pentru fiecare rădăcină, aflăm cealaltă necunoscută cu expresia de la pasul 1.
5. Scriem soluțiile ca perechi ${(x,\ y).}$

La pasul 4 aflăm cealaltă necunoscută cu expresia obținută din ecuația de gradul întâi, și nu din ecuația de gradul al doilea. Altfel, putem obține perechi care nu sunt soluții. Astfel, în exemplul 1 de mai jos, pentru ${x=3}$ ecuația ${x^2+y^2=25}$ dă ${y=4}$ și ${y=-4,}$ dar ${(3,\ -4)}$ nu este soluție a sistemului, deoarece ${3+(-4)\ne 7.}$

Exemplul 1

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x+y=7\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Rezolvare. Din prima ecuație, ${y=7-x.}$ Substituim în a doua ecuație:

${x^2+(7-x)^2=25}$

$x^2+49-14x+x^2=25$

${2x^2-14x+24}={0\iff x^2-7x+12}={0}$

Rădăcinile sunt ${x_1=3}$ și ${x_2=4}$ (suma lor este 7 și produsul lor este 12). Din ${y=7-x}$ obținem ${y_1=7-3=4}$ și ${y_2=7-4=3.}$

Răspuns: ${(3,\ 4)}$ și ${(4,\ 3).}$

Exemplul 2

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

Rezolvare. Din prima ecuație, ${x=7+y.}$ Substituim în a doua ecuație:

${(7+y)^2-(7+y)y-y^2}={19}$

${49+14y+y^2}-{7y-y^2-y^2}={19}$

${-y^2+7y+30}={0\iff y^2-7y-30}={0}$

${D}={(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)}={49+120}={169,}$ de unde ${y_{1,2}=\frac{7\pm 13}{2},}$ adică ${y_1=-3}$ și ${y_2=10.}$ Din ${x=7+y}$ obținem ${x_1=4}$ și ${x_2=17.}$

Verificare pentru ${(17,\ 10)\text{:}}$ ${17-10=7}$ și ${17^2-17\cdot 10-10^2}={289-170-100}={19.}$

Răspuns: ${(4,\ -3)}$ și ${(17,\ 10).}$

Exemplul 3. O soluție sau niciuna

a) Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}3x+4y=25\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Rezolvare. Din prima ecuație, ${y=\frac{25-3x}{4}.}$ Substituim în a doua ecuație și înmulțim cu 16:

${x^2+\frac{(25-3x)^2}{16}}={25\iff 16x^2+625}-{150x+9x^2}={400}$

${25x^2-150x+225}={0\iff x^2-6x+9}={0\iff (x-3)^2}={0}$

Ecuația are o singură rădăcină, ${x=3,}$ de unde ${y=\frac{25-9}{4}=4.}$ Răspuns: ${(3,\ 4).}$ Sistemul are o singură soluție.

b) Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x+y=10\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Rezolvare. Din prima ecuație, ${y=10-x.}$ Substituim în a doua ecuație:

${x^2+(10-x)^2}={25\iff 2x^2-20x+75}={0}$

${D}={(-20)^2-4\cdot 2\cdot 75}={400-600}={-200}\lt{0,}$ deci ecuația de gradul al doilea nu are rădăcini reale. Răspuns: sistemul nu are soluție.

Sisteme cu două ecuații de gradul al doilea: metoda reducerii

Când ambele ecuații sunt de gradul al doilea, de obicei niciuna dintre necunoscute nu se poate exprima ușor. Atunci căutăm o cale de a obține o ecuație mai simplă. Unele dintre aceste sisteme se rezolvă prin reducere, adică adunând ecuațiile, sau prin reducere și substituție.

Numerele se aleg astfel încât, la adunare, să dispară termenii de gradul al doilea. Obținem o ecuație de gradul întâi și continuăm prin substituție. (A scădea două ecuații înseamnă a le aduna după ce înmulțim a doua ecuație cu ${-1.}$)

Exemplul 4

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2+2x=39\\x^2+y^2-y=27\end{array}$$

Rezolvare. Aici nu se poate exprima ușor nicio necunoscută, deoarece ambele ecuații conțin ${x^2}$ și ${y^2.}$ Observăm însă că, dacă scădem a doua ecuație din prima, termenii ${x^2}$ și ${y^2}$ dispar:

${(x^2+y^2+2x)}-{(x^2+y^2-y)}={39-27\iff 2x+y}={12}$

Obținem un sistem echivalent cu cel dat:

$$\begin{array}{|l}2x+y=12\\x^2+y^2+2x=39\end{array}$$

Îl rezolvăm prin substituție. Din prima ecuație, ${y=12-2x,}$ iar a doua dă

${x^2+(12-2x)^2+2x}={39\iff 5x^2-46x+105}={0}$

${D}={(-46)^2-4\cdot 5\cdot 105}={2116-2100}={16,}$ de unde ${x_{1,2}=\frac{46\pm 4}{10},}$ adică ${x_1=5}$ și ${x_2=\frac{21}{5}.}$ Atunci ${y_1=12-10=2}$ și ${y_2=12-\frac{42}{5}=\frac{18}{5}.}$

Răspuns: ${(5,\ 2)}$ și ${\left(\frac{21}{5},\ \frac{18}{5}\right),}$ adică ${(4{,}2;\ 3{,}6).}$

Exemplul 5

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

Rezolvare. Termenii de gradul al doilea ai primei ecuații sunt dublul celor din a doua: ${4x^2-2xy}={2(2x^2-xy).}$ Dacă înmulțim a doua ecuație cu ${-2}$ și o adunăm la prima, obținem o ecuație de gradul întâi:

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\-4x^2+2xy-4x+2y=-18\end{array}$$

$-3x+3y=-3\iff x-y=1$

Sistemul este echivalent cu sistemul

$$\begin{array}{|l}x-y=1\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

Din prima ecuație, ${x=1+y.}$ Substituim în a doua ecuație:

${2(1+y)^2}-{y(1+y)+2(1+y)-y}={9\iff y^2+4y-5}={0}$

Rădăcinile sunt ${y_1=-5}$ și ${y_2=1}$ (suma lor este ${-4,}$ și produsul lor este ${-5}$). Atunci ${x_1=1+(-5)=-4}$ și ${x_2=1+1=2.}$

Răspuns: ${(-4,\ -5)}$ și ${(2,\ 1).}$

Eliminarea uneia dintre necunoscute

Uneori, adunând ecuațiile în mod potrivit, putem elimina toți termenii cu una dintre necunoscute, și nu doar termenii de gradul al doilea. Obținem o ecuație care conține doar cealaltă necunoscută. O rezolvăm și, pentru fiecare dintre rădăcinile ei, aflăm necunoscuta eliminată dintr-una dintre ecuațiile sistemului. După teorema de la metoda reducerii, noua ecuație și oricare dintre ecuațiile date formează un sistem echivalent cu cel dat. De aceea, orice pereche obținută în acest fel este o soluție.

Aceasta nu contrazice avertismentul de la metoda substituției. Acolo ecuația de gradul întâi leagă ${x}$ de ${y,}$ pe când aici noua ecuație conține doar una dintre necunoscute. De aceea, pentru fiecare dintre rădăcinile ei, orice valoare a celeilalte necunoscute care verifică ecuația pe care o păstrăm dă o soluție.

Exemplul 6

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\x^2-y^2=5\end{array}$$

Rezolvare. Adunăm cele două ecuații: ${2x^2=18,}$ adică ${x^2=9}$ și ${x=\pm 3.}$ Scădem a doua ecuație din prima: ${2y^2=8,}$ adică ${y^2=4}$ și ${y=\pm 2.}$ Sistemul este echivalent cu sistemul ${x^2=9,}$ ${y^2=4,}$ deci fiecare dintre cele două valori ale lui ${x}$ se combină cu fiecare dintre cele două valori ale lui ${y.}$

Răspuns: ${(3,\ 2),}$ ${(3,\ -2),}$ ${(-3,\ 2)}$ și ${(-3,\ -2).}$

Exemplul 7

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x^2+2y^2-5x+4y=-2\\x^2-3y^2-6y=-2\end{array}$$

Rezolvare. Termenii cu ${y}$ sunt ${2y^2+4y}$ în prima ecuație și ${-3y^2-6y}$ în a doua. Dacă înmulțim prima ecuație cu 3 și a doua cu 2 și le adunăm, dispar toți termenii cu ${y\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}3x^2+6y^2-15x+12y=-6\\2x^2-6y^2-12y=-4\end{array}$$

${5x^2-15x}={-10\iff x^2-3x+2}={0}$

Rădăcinile sunt ${x_1=1}$ și ${x_2=2.}$ Substituim fiecare dintre ele în a doua ecuație (este cea mai simplă):

• pentru ${x=1\text{:}}$ ${1-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-1}={0,}$ de unde ${y=-1\pm\sqrt{2};}$
• pentru ${x=2\text{:}}$ ${4-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-2}={0,}$ de unde ${y=-1\pm\sqrt{3}.}$

Răspuns: sistemul are cele patru soluții ${(1,\ -1+\sqrt{2}),}$ ${(1,\ -1-\sqrt{2}),}$ ${(2,\ -1+\sqrt{3})}$ și ${(2,\ -1-\sqrt{3}).}$

Sisteme simetrice

Un sistem este simetric dacă cele două ecuații ale lui nu se schimbă când schimbăm între ele ${x}$ și ${y.}$ De exemplu, ecuația ${x^2+xy+y^2=7}$ este simetrică: după schimbare obținem ${y^2+yx+x^2=7,}$ adică aceeași ecuație. Sistemele simetrice se rezolvă comod cu schimbarea de variabilă

Dacă ${t_1}$ și ${t_2}$ sunt rădăcinile ecuației ${t^2-ut+v=0,}$ sistemul are soluțiile ${(t_1,\ t_2)}$ și ${(t_2,\ t_1)}$ (când ${t_1=t_2}$ este vorba de o singură soluție: ${(t_1,\ t_1)}$). Dacă această ecuație nu are rădăcini reale, adică dacă ${u^2-4v\lt 0,}$ perechea corespunzătoare ${u,}$ ${v}$ nu dă nicio soluție.

Exemplul 8

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x+y=5\\xy=6\end{array}$$

Rezolvare. Aici avem direct ${u=5}$ și ${v=6.}$ Numerele ${x}$ și ${y}$ sunt rădăcinile ecuației ${t^2-5t+6=0,}$ adică ${t_1=2}$ și ${t_2=3.}$ (Acest sistem se poate rezolva și prin substituție: ${y=5-x}$ și ${x(5-x)=6.}$)

Răspuns: ${(2,\ 3)}$ și ${(3,\ 2).}$

Exemplul 9

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\xy=6\end{array}$$

Rezolvare. Facem schimbarea de variabilă ${x+y=u}$ și ${xy=v.}$ Deoarece ${x^2+y^2=u^2-2v,}$ sistemul devine

$$\begin{array}{|l}u^2-2v=13\\v=6\end{array}$$

Prin urmare, ${u^2=25,}$ adică ${u=5}$ sau ${u=-5.}$

• Pentru ${u=5}$ și ${v=6\text{:}}$ ${t^2-5t+6=0,}$ ${t_1=2,}$ ${t_2=3.}$
• Pentru ${u=-5}$ și ${v=6\text{:}}$ ${t^2+5t+6=0,}$ ${t_1=-3,}$ ${t_2=-2.}$

Răspuns: ${(2,\ 3),}$ ${(3,\ 2),}$ ${(-2,\ -3)}$ și ${(-3,\ -2).}$

Exemplul 10

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=7\\x+xy+y=5\end{array}$$

Rezolvare. Sistemul este simetric. Deoarece ${x^2+xy+y^2}={(x^2+y^2)+xy}={u^2-2v+v}={u^2-v,}$ cu schimbarea de variabilă ${x+y=u,}$ ${xy=v}$ obținem

$$\begin{array}{|l}u^2-v=7\\u+v=5\end{array}$$

Adunăm cele două ecuații: ${u^2+u=12,}$ adică ${u^2+u-12=0,}$ de unde ${u_1=3}$ și ${u_2=-4.}$ Atunci ${v_1=5-3=2}$ și ${v_2=5-(-4)=9.}$

• Pentru ${u=3}$ și ${v=2\text{:}}$ ${t^2-3t+2=0,}$ ${t_1=1,}$ ${t_2=2.}$ Obținem ${(1,\ 2)}$ și ${(2,\ 1).}$
• Pentru ${u=-4}$ și ${v=9\text{:}}$ ecuația ${t^2+4t+9=0}$ are discriminantul ${16-36=-20\lt 0,}$ deci nu dă soluții.

Răspuns: ${(1,\ 2)}$ și ${(2,\ 1).}$

Descompunerea în factori

Dacă una dintre ecuații se poate scrie sub forma ${A\cdot B=0,}$ unde ${A}$ și ${B}$ sunt expresii de gradul întâi, această ecuație are loc exact atunci când ${A=0}$ sau ${B=0.}$ Atunci sistemul se desparte în două sisteme, iar în fiecare dintre ele una dintre ecuații este de gradul întâi. Le rezolvăm prin substituție și reunim soluțiile lor.

Exemplul 11

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x^2-5xy+6y^2=0\\x^2+y^2=10\end{array}$$

Rezolvare. Membrul stâng al primei ecuații se descompune în factori la fel ca ${t^2-5t+6}={(t-2)(t-3)\text{:}}$ ${x^2-5xy+6y^2}={(x-2y)(x-3y)}$ (verifică desfăcând parantezele). Prin urmare, ${x=2y}$ sau ${x=3y.}$

• Pentru ${x=2y}$ a doua ecuație dă ${4y^2+y^2=10,}$ adică ${y^2=2}$ și ${y=\pm\sqrt{2}.}$ Obținem ${(2\sqrt{2},\ \sqrt{2})}$ și ${(-2\sqrt{2},\ -\sqrt{2}).}$
• Pentru ${x=3y}$ a doua ecuație dă ${9y^2+y^2=10,}$ adică ${y^2=1}$ și ${y=\pm 1.}$ Obținem ${(3,\ 1)}$ și ${(-3,\ -1).}$

Răspuns: ${(2\sqrt{2},\ \sqrt{2}),}$ ${(-2\sqrt{2},\ -\sqrt{2}),}$ ${(3,\ 1)}$ și ${(-3,\ -1).}$

Ecuații omogene

O ecuație ca ${x^2-5xy+6y^2=0,}$ în care toți termenii sunt de gradul al doilea și membrul drept este 0 se numește omogenă. Dacă nu vedem imediat cum s-o descompunem în factori, pentru ${y\ne 0}$ împărțim la ${y^2}$ și facem schimbarea ${t=\frac{x}{y}.}$ Din ${x^2-5xy+6y^2=0}$ obținem ${t^2-5t+6=0,}$ cu rădăcinile ${t=2}$ și ${t=3,}$ adică ${x=2y}$ sau ${x=3y.}$ Cazul ${y=0}$ îl verificăm separat, deoarece nu se poate împărți la 0. Aici, pentru ${y=0}$ ecuația dă ${x^2=0,}$ adică punctul ${(0,\ 0),}$ care nu verifică ${x^2+y^2=10.}$ (Dacă ecuația nu are termen în ${x^2,}$ de exemplu ${5xy+6y^2=0,}$ pentru ${y=0}$ ea are loc pentru orice valoare a lui ${x.}$ Atunci ${y}$ este factor comun: ${y(5x+6y)=0.}$)

Dacă cele două ecuații ale sistemului conțin doar termeni de gradul al doilea și termeni liberi, le înmulțim cu numere potrivite și le adunăm astfel încât să dispară termenii liberi. Obținem o ecuație omogenă.

Exemplul 12

Rezolvă sistemul

$$\begin{array}{|l}x^2+xy=15\\xy+y^2=10\end{array}$$

Rezolvare. Înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu ${-3,}$ și le adunăm:

${2x^2+2xy-3xy-3y^2}={30-30\iff 2x^2-xy-3y^2}={0}$

După teorema de la metoda reducerii, sistemul este echivalent cu sistemul format din ecuația omogenă obținută și a doua ecuație. Dacă ${y=0,}$ ecuația omogenă dă ${2x^2=0,}$ adică ${x=0,}$ iar ${(0,\ 0)}$ nu verifică ${xy+y^2=10.}$ Pentru ${y\ne 0}$ împărțim la ${y^2}$ și facem schimbarea ${t=\frac{x}{y}\text{:}}$ ${2t^2-t-3=0,}$ de unde ${t_1=-1}$ și ${t_2=\frac{3}{2}.}$ Prin urmare, ${x=-y}$ sau ${x=\frac{3y}{2}.}$ Același lucru se obține cu descompunerea în factori ${2x^2-xy-3y^2}={(x+y)(2x-3y).}$

• Pentru ${x=-y}$ a doua ecuație dă ${-y^2+y^2=10,}$ adică ${0=10,}$ ceea ce este fals.
• Pentru ${x=\frac{3y}{2}}$ a doua ecuație dă ${\frac{3y^2}{2}+y^2=10,}$ adică ${y^2=4}$ și ${y=\pm 2.}$ Pentru ${y=2}$ obținem ${x=3,}$ iar pentru ${y=-2}$ obținem ${x=-3.}$

Răspuns: ${(3,\ 2)}$ și ${(-3,\ -2).}$ Verificare: ${9+6=15}$ și ${6+4=10.}$

Altă variantă. Dacă adunăm cele două ecuații, obținem ${x^2+2xy+y^2=25,}$ adică ${(x+y)^2=25}$ și ${x+y=\pm 5.}$ Prima ecuație este ${x(x+y)=15.}$ Pentru ${x+y=5}$ obținem ${5x=15,}$ ${x=3,}$ ${y=2,}$ iar pentru ${x+y=-5}$ obținem ${x=-3,}$ ${y=-2.}$

Probleme de aplicare

Problema 1. Perimetrul unui dreptunghi este 34 cm, iar diagonala lui măsoară 13 cm. Află laturile dreptunghiului.

Rezolvare. Fie ${x}$ cm și ${y}$ cm laturile. Atunci ${2(x+y)=34,}$ și, după teorema lui Pitagora, ${x^2+y^2=13^2\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}x+y=17\\x^2+y^2=169\end{array}$$

Sistemul este simetric: ${u=x+y=17}$ și ${u^2-2v=169,}$ adică ${289-2v=169}$ și ${v=xy=60.}$ Numerele ${x}$ și ${y}$ sunt rădăcinile ecuației ${t^2-17t+60=0\text{:}}$ ${t_1=5}$ și ${t_2=12.}$ Răspuns: laturile măsoară 5 cm și 12 cm. Verificare: ${5+12=17}$ și ${25+144=169.}$

Problema 2. Produsul cifrelor unui număr de două cifre este 24, iar suma pătratelor cifrelor lui este 52. Care poate fi numărul?

Rezolvare. Presupunem că cifra zecilor este ${x,}$ iar cea a unităților, ${y.}$ Atunci ${xy=24}$ și ${x^2+y^2=52.}$ Prin urmare, ${(x+y)^2}={x^2+y^2+2xy}={52+48}={100,}$ și, deoarece cifrele sunt pozitive (produsul lor este 24, deci niciuna nu este 0), ${x+y=10.}$ Cifrele sunt rădăcinile ecuației ${t^2-10t+24=0,}$ adică 4 și 6. Răspuns: numărul este 46 sau 64.

Problema 3. Diferența a două numere este 3 și produsul lor este 40. Află numerele.

Rezolvare. Fie ${x}$ și ${y}$ numerele:

$$\begin{array}{|l}x-y=3\\xy=40\end{array}$$

Din prima ecuație, ${x=y+3.}$ Substituim în a doua: ${(y+3)y=40,}$ adică ${y^2+3y-40=0,}$ de unde ${y_1=-8}$ și ${y_2=5.}$ Atunci ${x_1=-5}$ și ${x_2=8.}$ Răspuns: numerele sunt 8 și 5, sau ${-5}$ și ${-8.}$ Ambele perechi verifică condiția: ${8-5=3,}$ ${8\cdot 5=40}$ și ${-5-(-8)=3,}$ ${(-5)\cdot(-8)=40.}$

Problema 4. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic măsoară 10 cm, iar aria lui este 24 cm². Află catetele.

Rezolvare. Fie ${x}$ cm și ${y}$ cm catetele. Atunci ${x^2+y^2=100}$ și ${\frac{xy}{2}=24,}$ adică ${xy=48.}$ Prin urmare, ${(x+y)^2}={100+96}={196}$ și ${x+y=14}$ (catetele sunt pozitive). Numerele ${x}$ și ${y}$ sunt rădăcinile ecuației ${t^2-14t+48=0,}$ adică 6 și 8. Răspuns: catetele măsoară 6 cm și 8 cm. Verificare: ${36+64=100}$ și ${\frac{6\cdot 8}{2}=24.}$

Probleme pentru exersat

Încearcă să le rezolvi singur, apoi deschide răspunsul. Îți poți verifica rezolvarea și cu calculatorul de la începutul paginii.

1. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x+y=8\\xy=15\end{array}$

Numerele ${x}$ și ${y}$ sunt rădăcinile ecuației ${t^2-8t+15=0,}$ adică 3 și 5. Răspuns: ${(3,\ 5)}$ și ${(5,\ 3).}$

2. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x-y=2\\x^2+y^2=20\end{array}$

${y=x-2,}$ ${x^2+(x-2)^2}={20\iff x^2-2x-8}={0,}$ ${x_1=-2,}$ ${x_2=4.}$ Răspuns: ${(-2,\ -4)}$ și ${(4,\ 2).}$

3. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}2x+y=5\\x^2+y^2=10\end{array}$

${y=5-2x,}$ ${x^2+(5-2x)^2}={10\iff x^2-4x+3}={0,}$ ${x_1=1,}$ ${x_2=3.}$ Răspuns: ${(1,\ 3)}$ și ${(3,\ -1).}$

4. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x+2y=7\\xy=6\end{array}$

${x=7-2y,}$ ${(7-2y)y}={6\iff 2y^2-7y+6}={0,}$ ${y_1=\frac{3}{2},}$ ${y_2=2.}$ Răspuns: ${\left(4,\ \frac{3}{2}\right)}$ și ${(3,\ 2).}$

5. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x^2+y^2=41\\x^2-y^2=9\end{array}$

Adunăm: ${2x^2=50,}$ ${x^2=25.}$ Scădem: ${2y^2=32,}$ ${y^2=16.}$ Răspuns: ${(5,\ 4),}$ ${(5,\ -4),}$ ${(-5,\ 4)}$ și ${(-5,\ -4).}$

6. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x+y=3\\x^2+y^2=1\end{array}$

${y=3-x,}$ ${x^2+(3-x)^2}={1\iff x^2-3x+4}={0,}$ ${D=9-16=-7\lt 0.}$ Răspuns: sistemul nu are soluție.

7. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x^2+y^2-2x=15\\x^2+y^2+4y=25\end{array}$

Scădem a doua ecuație din prima: ${-2x-4y=-10,}$ adică ${x=5-2y.}$ Substituim în a doua: ${(5-2y)^2+y^2+4y}={25\iff 5y^2-16y}={0,}$ ${y_1=0,}$ ${y_2=\frac{16}{5}.}$ Răspuns: ${(5,\ 0)}$ și ${\left(-\frac{7}{5},\ \frac{16}{5}\right).}$

8. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x^2+y^2=20\\x+y=6\end{array}$

${u=6,}$ ${u^2-2v=20,}$ ${v=8,}$ ${t^2-6t+8=0.}$ Răspuns: ${(2,\ 4)}$ și ${(4,\ 2).}$

9. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=13\\x+y=4\end{array}$

${x^2+xy+y^2=u^2-v,}$ deci ${16-v=13}$ și ${v=3,}$ ${t^2-4t+3=0.}$ Răspuns: ${(1,\ 3)}$ și ${(3,\ 1).}$

10. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}x^2-3xy+2y^2=0\\x^2+y^2=20\end{array}$

${(x-y)(x-2y)=0.}$ Pentru ${x=y\text{:}}$ ${2y^2=20,}$ ${y=\pm\sqrt{10}.}$ Pentru ${x=2y\text{:}}$ ${5y^2=20,}$ ${y=\pm 2.}$ Răspuns: ${(\sqrt{10},\ \sqrt{10}),}$ ${(-\sqrt{10},\ -\sqrt{10}),}$ ${(4,\ 2)}$ și ${(-4,\ -2).}$

11. Rezolvă sistemul $\begin{array}{|l}xy=12\\x^2+y^2=25\end{array}$

$(x+y)^2=25+24=49,$ ${x+y=\pm 7.}$ Pentru ${u=7\text{:}}$ ${t^2-7t+12=0;}$ pentru ${u=-7\text{:}}$ ${t^2+7t+12=0.}$ Răspuns: ${(3,\ 4),}$ ${(4,\ 3),}$ ${(-3,\ -4)}$ și ${(-4,\ -3).}$

12. Suma a două numere este 12, iar suma pătratelor lor este 74. Află numerele.

${x+y=12,}$ ${x^2+y^2=74,}$ deci ${xy=\frac{144-74}{2}=35}$ și ${t^2-12t+35=0.}$ Răspuns: numerele sunt 5 și 7.