Puteri și exponenți

Când un număr se înmulțește cu el însuși de mai multe ori, produsul se poate scrie prescurtat. În loc de ${2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}$ scriem $2^5$ și citim „2 la puterea a cincea”. Numărul care se înmulțește, aici $2,$ este baza. Numărul mic scris sus în dreapta, aici $5,$ este exponentul: arată câți factori egali există. Expresia întreagă $2^5$ se numește putere, iar valoarea ei este ${2^5=32}.$

Cu exponenții se scrie mult mai puțin: un produs de 45 de factori, toți egali cu $a,$ este pur și simplu $a^{45}.$ Aflarea valorii unei puteri se numește ridicare la putere.

Pe această pagină: Definiție · Baze negative · Proprietăți · Exponentul zero · Exponenți negativi · Exponenți fracționari · Simplificare · Funcția exponențială · Comparare · Ecuații · Probleme

Definiția puterii

Exponenții $2$ și $3$ au nume proprii: $a^2$ se citește „$a$ la pătrat”, iar $a^3$ se citește „$a$ la cub”. Aceste nume vin din geometrie: aria unui pătrat cu latura $a$ este $a^2,$ iar volumul unui cub cu muchia $a$ este $a^3.$

Exemplul 1. Calculează puterile.

• ${5^3=5\cdot5\cdot5=125};$
• ${3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81};$
• ${16^1=16};$
• ${10^3}={10\cdot10\cdot10}={1000\text{:}}$ în general, $10^n$ se scrie ca un $1$ urmat de $n$ zerouri;
• ${\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}};$
• ${0{,}5^2=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25};$
• ${1^{100}=1}$ și ${0^7=0}\text{:}$ orice putere a lui $1$ este egală cu $1,$ iar orice putere a lui $0$ cu exponent natural este egală cu $0.$

Puterile și ordinea operațiilor

Un exponent afectează doar numărul sau litera care îl precedă. Când afectează o expresie întreagă, expresia se scrie între paranteze. Puterile se calculează după operațiile din paranteze, dar înaintea înmulțirilor, împărțirilor, adunărilor și scăderilor.

Exemplul 2.

• ${2\cdot3^2=2\cdot9=18},$ dar ${(2\cdot3)^2=6^2=36};$
• ${5+2^3=5+8=13},$ dar ${(5+2)^3=7^3=343};$
• $3x^2$ înseamnă ${3\cdot x\cdot x}\text{:}$ doar $x$ se ridică la pătrat, în timp ce ${(3x)^2=3x\cdot3x=9x^2}.$

Puterile numerelor negative

Un produs de numere negative este pozitiv când numărul de factori este par și negativ când este impar. De aceea:

Exemplul 3.

• ${(-2)^2}={(-2)\cdot(-2)}={4;}$
• ${(-2)^3}={(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)}={-8;}$
• ${(-2)^4=16}$ și ${(-2)^5=-32};$
• ${(-1)^{100}=1}$ și ${(-1)^{101}=-1}.$

În general, ${(-a)^n=a^n}$ când $n$ este par, și ${(-a)^n=-a^n}$ când $n$ este impar. O putere cu exponent par nu este niciodată negativă: de exemplu, ${a^2\ge0}$ pentru orice $a.$

Atenție la paranteze: ${(-3)^2}={(-3)\cdot(-3)}={9,}$ dar ${-3^2=-(3\cdot3)=-9}.$ În $-3^2$ exponentul afectează doar $3,$ iar semnul minus se aplică după calculul puterii.

Proprietățile puterilor

Cinci reguli, numite și regulile exponenților, ușurează calculele cu puteri. Fiecare se obține numărând factorii. Aici le demonstrăm pentru exponenți naturali; mai departe, în această lecție, le extindem la exponenții zero, negativi și fracționari.

Produsul puterilor cu aceeași bază

${2^3\cdot2^4}={(2\cdot2\cdot2)}\cdot {(2\cdot2\cdot2\cdot2)}={2^7\text{:}}$ prima putere are $3$ factori egali cu $2,$ a doua are $4,$ deci în total sunt ${3+4=7}$ factori. La fel, $a^m$ are $m$ factori egali cu $a$ iar $a^n$ are $n,$ deci produsul lor are ${m+n}$ factori.

Exemplul 4. ${2^6\cdot2^3=2^{6+3}=2^9=512};$ ${x^5\cdot x=x^{5+1}=x^6};$ ${a^2\cdot a^3\cdot a^4=a^{2+3+4}=a^9}.$

Câtul puterilor cu aceeași bază

Când împărțim $5^6$ la $5^4,$ patru factori $5$ de la numărător se simplifică cu cei patru factori de la numitor:

${\frac{5^6}{5^4}}={\frac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5}}={5\cdot5}={5^2}$

Rămân doi factori, iar ${2=6-4}.$ În general, dacă ${a\ne0}$ și ${m\gt n},$ după simplificarea a $n$ factori rămân ${m-n}$ factori.

Exemplul 5. ${\frac{15^{10}}{15^8}}={15^{10-8}}={15^2}={225;}$ ${\frac{7^{12}}{7^{11}}=7^1=7};$ ${\frac{x^9}{x^4}=x^5}$ pentru ${x\ne0}.$

Baza nu poate fi zero, deoarece nu se poate împărți la zero. Ce se întâmplă când ${m=n}$ sau ${m\lt n}$ se explică în paragrafele Exponentul zero și Exponenți negativi.

Puterea unei puteri

${(3^2)^3}={3^2\cdot3^2\cdot3^2}={3^{2+2+2}}={3^6\text{:}}$ sunt $3$ grupe cu câte $2$ factori egali cu $3$ în fiecare, deci sunt ${2\cdot3=6}$ factori. În general, $(a^m)^n$ are $n$ grupe de câte $m$ factori.

Exemplul 6. ${(5^3)^4=5^{3\cdot4}=5^{12}};$ ${(x^2)^5=x^{10}};$ ${\left((-2)^2\right)^3=(-2)^6=64}.$

Nu confunda $(a^m)^n$ cu ${a^m\cdot a^n}\text{:}$ ${(2^3)^2=2^6=64},$ dar ${2^3\cdot2^2=2^5=32}.$ Un „turn” de exponenți este altceva: se calculează de sus în jos, deci ${2^{3^2}=2^9=512}.$

Puterea unui produs

${(2\cdot5)^3}={(2\cdot5)}\cdot {(2\cdot5)\cdot(2\cdot5)}={(2\cdot2\cdot2)\cdot(5\cdot5\cdot5)}={2^3\cdot5^3\text{:}}$ schimbăm ordinea factorilor și grupăm factorii egali. Ambii membri valorează $1000,$ deoarece ${10^3=1000}$ și ${8\cdot125=1000}.$

Regula se folosește și de la dreapta la stânga: ca să înmulțim puteri cu același exponent, înmulțim bazele și păstrăm exponentul.

Exemplul 7.

• ${(2\cdot5)^2}={2^2\cdot5^2}={4\cdot25}={100;}$
• ${(3x)^4=3^4x^4=81x^4};$
• ${(-2a^3)^3}={(-2)^3(a^3)^3}={-8a^9;}$
• ${2^{12}\cdot3^{12}}={(2\cdot3)^{12}}={6^{12};}$
• ${4^5\cdot25^5}={(4\cdot25)^5}={100^5}={10^{10}.}$

Regula este valabilă și pentru trei sau mai mulți factori și, împreună cu regula precedentă, dă ${(a^nb^m)^p=a^{np}b^{mp}}.$ De exemplu, ${(x^2y^3)^4=x^8y^{12}}.$

Puterea unui cât

${\left(\frac{2}{3}\right)^3}={\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}}={\frac{2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3}}={\frac{2^3}{3^3}}={\frac{8}{27}\text{:}}$ la înmulțirea fracțiilor, înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei.

Exemplul 8. ${\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}};$ ${\left(-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}};$ ${\left(\frac{x}{3}\right)^3=\frac{x^3}{27}};$ ${\frac{15^4}{5^4}=\left(\frac{15}{5}\right)^4=3^4=81}.$

Iată cele cinci proprietăți împreună. Ele sunt valabile pentru orice numere $a$ și $b$ și numere naturale $m$ și $n,$ cu ${a\ne0}$ și ${m\gt n}$ în regula câtului și ${b\ne0}$ în ultima regulă.

Proprietatea	Exemplu
${a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$	${2^3\cdot2^4=2^7=128}$
${\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$	${\frac{5^6}{5^4}=5^2=25}$
${(a^m)^n=a^{mn}}$	${(3^2)^3=3^6=729}$
${(ab)^n=a^nb^n}$	${(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000}$
${\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}}$	${\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}}$

Pentru adunare și scădere nu există reguli de acest fel. ${2^3+2^4=8+16=24},$ și nu ${2^7=128}.$ Iar $(a+b)^2$ nu este egal cu ${a^2+b^2}\text{:}$ ${(1+2)^2=9},$ dar ${1^2+2^2=5}.$ Aceste reguli nu permit nici combinarea puterilor cu baze diferite și exponenți diferiți: ${2^3\cdot3^2=8\cdot9=72},$ nu $6^5.$ Dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr, ele se pot combina, ca în exemplul 15 de mai jos. Pătratul unei sume este explicat în lecția Formule de calcul prescurtat.

Exponentul zero

Ce ar trebui să însemne $5^0?$ Un produs cu zero factori nu are sens, așa că alegem semnificația care păstrează valabile proprietățile puterilor. Din regula câtului, ${\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0}.$ Dar un număr nenul împărțit la el însuși dă $1.$ De aceea definim:

Exemplul 9. ${76^0=1};$ ${(-5)^0=1};$ ${\left(\frac{2}{7}\right)^0=1};$ ${(x^2+1)^0=1},$ deoarece ${x^2+1}$ nu este niciodată zero. Dar ${-5^0=-1},$ deoarece exponentul afectează doar $5.$

În matematica școlară, $0^0$ se lasă nedefinit: raționamentul de mai sus nu merge pentru baza $0,$ deoarece ar trebui să împărțim $0^3$ la $0^3,$ adică să împărțim la zero.

Exponenți negativi

Observă puterile lui $2.$ De fiecare dată când exponentul scade cu $1,$ valoarea se împarte la $2\text{:}$

$n$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$
$2^n$	$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Dacă mergem mai departe de $0,$ obținem ${2^{-1}=\frac{1}{2}},$ ${2^{-2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}}$ și ${2^{-3}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}}.$ Proprietățile puterilor duc la aceeași semnificație: ${a^{-n}\cdot a^n=a^{-n+n}=a^0=1},$ deci $a^{-n}$ este inversul (reciproca) lui $a^n.$

Un exponent negativ nu face numărul negativ: înseamnă $1$ împărțit la putere. De exemplu, ${2^{-3}=\frac{1}{8}},$ și nu $-8$ nici $-6.$

Exemplul 10.

• ${20^{-1}=\frac{1}{20}};$
• ${2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}};$
• ${(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}};$
• ${10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001};$
• ${\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}}\text{:}$ o fracție cu exponent negativ se inversează: ${\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n}$ pentru ${a\ne0}$ și ${b\ne0};$
• ${\frac{1}{x^{-3}}=\frac{1}{\frac{1}{x^3}}=x^3}$ pentru ${x\ne0}\text{:}$ un factor poate trece de la numitor la numărător (sau invers) dacă i se schimbă semnul exponentului.

Cu exponenții zero și negativi, cele cinci proprietăți ale puterilor sunt valabile pentru toate numerele întregi $m$ și $n,$ cu condiția ca bazele să nu fie zero. Acum regula câtului merge pentru oricare doi exponenți: ${\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}}.$ La simplificare se obține același rezultat, deoarece ${\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}=\frac{1}{a\cdot a}}.$

Exemplul 11. Simplifică și scrie rezultatul fără exponenți negativi.

${x^5\cdot x^{-8}}={x^{5+(-8)}}={x^{-3}}={\frac{1}{x^3}}$

${(2^{-3})^{-2}}={2^{(-3)\cdot(-2)}}={2^6}={64}$

${\frac{a^{-2}b^3}{a^4b^{-1}}}={a^{-2-4}b^{3-(-1)}}={a^{-6}b^4}={\frac{b^4}{a^6}}$

$3x^{-2}=3\cdot\frac{1}{x^2}=\frac{3}{x^2}$ exponentul afectează doar $x$

Puterile lui $10$ cu exponent negativ se folosesc pentru a scrie numere mici: ${10^{-1}=0{,}1},$ ${10^{-2}=0{,}01},$ ${10^{-3}=0{,}001}.$ În $10^{-n},$ cifra $1$ ocupă locul $n$ după virgula zecimală. De exemplu, un milimetru este egal cu $10^{-3}$ metri.

Exponenți fracționari

Un exponent poate fi și o fracție. Din nou alegem semnificația care păstrează valabile proprietățile puterilor. Din regula puterii unei puteri, ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2=9^{\frac{1}{2}\cdot2}=9^1=9}.$ Prin urmare, pătratul lui $9^{\frac{1}{2}}$ trebuie să fie $9.$ Există două numere cu această proprietate, $3$ și $-3;$ îl alegem pe cel pozitiv, ca puterile unui număr pozitiv să rămână pozitive: ${9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3}.$ La fel, ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^3=8},$ deci ${8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2}.$

Aici $\sqrt[n]{a},$ rădăcina de ordin $n$ din ${a\gt0},$ este numărul pozitiv a cărui putere de ordin $n$ este $a\text{:}$ de exemplu, ${\sqrt[4]{16}=2},$ deoarece ${2^4=16}.$ În $a^{\frac{m}{n}},$ numitorul $n$ este indicele radicalului, iar numărătorul $m$ este exponentul puterii. La calcul, de obicei este mai ușor să extragem mai întâi rădăcina, pentru că așa numerele rămân mici.

Exemplul 12.

• ${16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4};$
• ${27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3};$
• ${14^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{14}}\text{:}$ această rădăcină nu este un număr întreg;
• ${8^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4};$
• ${16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8};$
• ${x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^3}}$ pentru ${x\gt0};$
• ${32^{-\frac{2}{5}}}={\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}}={\frac{1}{\left(\sqrt[5]{32}\right)^2}}={\frac{1}{4};}$
• ${0{,}25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5}.$

Puterile cu exponent fracționar sunt definite doar pentru o bază pozitivă (și pentru baza $0$ cu exponent pozitiv: ${0^{\frac{m}{n}}=0}$). Cu o bază negativă, regulile s-ar contrazice între ele. De exemplu, ${\frac{1}{3}=\frac{2}{6}},$ dar ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ în timp ce ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$ De aceea folosim puterile cu exponent fracționar numai cu baze pozitive. Unele cărți și calculatoare dau lui $(-8)^{\frac{1}{3}}$ valoarea $-2,$ dar atunci proprietățile puterilor pot da greș. Rădăcina cubică a lui $-8$ se scrie cu semnul radicalului: ${\sqrt[3]{-8}=-2}.$

Pentru bazele pozitive, proprietățile puterilor sunt valabile și cu exponenți fracționari și deseori sunt drumul cel mai scurt pentru a opera cu radicali: ${\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}}={a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}={a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}}={a^{\frac{5}{6}}}={\sqrt[6]{a^5}}$ pentru ${a\gt0}.$ Vei găsi mai multe exemple în lecția Radicali.

Pentru ${a\gt0},$ puterea $a^x$ se poate defini pentru orice exponent real $x,$ chiar și irațional. Numerele $1{,}4;$ $1{,}41;$ $1{,}414;$ … se apropie tot mai mult de ${\sqrt{2}=1{,}41421\ldots},$ iar puterile $2^{1{,}4};$ $2^{1{,}41};$ $2^{1{,}414};$ … se apropie tot mai mult de un singur număr, care este $2^{\sqrt{2}}\text{:}$ ${2^{\sqrt{2}}\approx2{,}67}.$ Pentru bazele pozitive, proprietățile puterilor sunt valabile pentru toți exponenții reali. Cu o bază negativă pot da greș: ${\left((-3)^2\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3},$ nu $-3.$

Simplificarea expresiilor cu puteri

Ca să simplifici o expresie, aplică proprietățile pas cu pas: mai întâi elimină parantezele cu regulile puterii unui produs, unui cât sau unei puteri, apoi înmulțește sau împarte puterile cu aceeași bază. Numerele se înmulțesc ca de obicei.

Exemplul 13. Simplifică ${(2x^3y)^2\cdot3xy^4}.$

${(2x^3y)^2\cdot3xy^4}={4x^6y^2\cdot3xy^4}$ puterea unui produs

$=12x^{6+1}y^{2+4}=12x^7y^6$ înmulțim numerele și adunăm exponenții

Exemplul 14. Simplifică $\frac{(a^2b^3)^4}{a^5b^{10}}$ pentru ${a\ne0}$ și ${b\ne0}.$

${\frac{(a^2b^3)^4}{a^5b^{10}}}={\frac{a^8b^{12}}{a^5b^{10}}}={a^{8-5}b^{12-10}}={a^3b^2}$

Exemplul 15. Calculează $\frac{4^5\cdot8^2}{16^3}$ fără calculator.

Toate bazele sunt puteri ale lui $2\text{:}$ ${4=2^2},$ ${8=2^3}$ și ${16=2^4}.$

${\frac{4^5\cdot8^2}{16^3}}={\frac{(2^2)^5\cdot(2^3)^2}{(2^4)^3}}={\frac{2^{10}\cdot2^6}{2^{12}}}={\frac{2^{16}}{2^{12}}}={2^4}={16}$

Exemplul 16. Calculează ${\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}+5^0-27^{\frac{2}{3}}}.$

${\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}+5^0-27^{\frac{2}{3}}}={3^2+1-\left(\sqrt[3]{27}\right)^2}={9+1-9}={1}$

Funcția exponențială

Dacă baza ${a\gt0}$ rămâne fixă și exponentul variază, obținem funcția exponențială ${y=a^x}.$ Pentru ${a=1}$ este funcția constantă ${y=1},$ deci luăm ${a\ne1}.$ Iată valorile lui ${y=2^x}$ și ale lui ${y=\left(\frac{1}{2}\right)^x}$ pentru câteva valori ale lui $x\text{:}$

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Graficele arată proprietățile oricărei funcții exponențiale ${y=a^x}\text{:}$

• este definită pentru orice număr real $x;$
• valorile ei sunt întotdeauna pozitive: graficul se află deasupra axei $x,$ se apropie tot mai mult de ea pe una dintre părți, dar nu o atinge niciodată;
• graficul trece prin punctul ${(0,\ 1)},$ deoarece ${a^0=1};$
• pentru ${a\gt1}$ funcția este crescătoare: cu cât $x,$ este mai mare, cu atât $a^x;$ este mai mare;
• pentru ${0\lt a\lt1}$ funcția este descrescătoare: cu cât $x,$ este mai mare, cu atât $a^x.$ este mai mic.

Cele două grafice sunt simetrice față de axa $y,$ deoarece ${\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}}.$ Poți schimba baza în programul pentru grafice de funcții: mișcă cursorul $a$ și urmărește graficul. Inversa funcției exponențiale este funcția logaritmică, explicată în lecția Logaritmul.

Exemplul 17. O colonie de bacterii se dublează în fiecare oră. Dacă acum sunt $100$ bacterii, peste $t$ ore vor fi ${100\cdot2^t}\text{:}$ după $1$ oră, ${100\cdot2^1=200};$ după $3$ ore, ${100\cdot2^3=800};$ iar după $5$ ore, ${100\cdot2^5=3200}.$ Când o cantitate se înmulțește cu același număr la intervale de timp egale, vorbim de creștere exponențială, care devine curând foarte rapidă.

Compararea puterilor

Puteri cu aceeași bază

Deoarece funcția exponențială este crescătoare pentru ${a\gt1}$ și descrescătoare pentru ${0\lt a\lt1}\text{:}$

Exemplul 18. ${4^2\lt4^3},$ deoarece ${4\gt1}$ și ${2\lt3};$ într-adevăr, ${16\lt64}.$ Dar ${\left(\frac{1}{2}\right)^2\gt\left(\frac{1}{2}\right)^3},$ deoarece ${\frac{1}{4}\gt\frac{1}{8}}\text{:}$ încă o înmulțire cu $\frac{1}{2}$ face numărul mai mic. La fel, ${3^{-5}\lt3^{-2}}$ și ${0{,}7^{10}\lt0{,}7^3}.$

Puteri cu același exponent

Exemplul 19. ${3^2\lt5^2},$ deoarece ${9\lt25}.$ Dar ${3^{-2}\gt5^{-2}}\text{:}$ ${3^{-2}=\frac{1}{9}}$ și ${5^{-2}=\frac{1}{25}},$ și ${\frac{1}{9}\gt\frac{1}{25}},$ deoarece, dintre două fracții cu același numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic.

Aici bazele trebuie să fie pozitive: ${-3\lt2},$ dar ${(-3)^2=9}$ este mai mare decât ${2^2=4}.$

Baze și exponenți diferiți

Mai întâi scrie cele două puteri cu aceeași bază sau cu același exponent.

Exemplul 20. Care este mai mare, $27^5$ sau $9^7?$ Ambele baze sunt puteri ale lui $3\text{:}$ ${27^5=(3^3)^5=3^{15}}$ și ${9^7=(3^2)^7=3^{14}}.$ Deoarece ${15\gt14},$ rezultă ${27^5\gt9^7}.$

Exemplul 21. Care este mai mare, $2^{30}$ sau $3^{20}?$ Exponenții au factorul comun $10\text{:}$ ${2^{30}=(2^3)^{10}=8^{10}}$ și ${3^{20}=(3^2)^{10}=9^{10}}.$ Deoarece ${8\lt9},$ rezultă ${2^{30}\lt3^{20}}.$

Ecuații cu necunoscuta în exponent

O funcție exponențială este crescătoare sau descrescătoare, deci două puteri cu aceeași bază ${a\gt0},$ ${a\ne1},$ sunt egale numai când exponenții lor sunt egali: ${a^x=a^y}$ este echivalent cu ${x=y}.$ Ca să rezolvi o ecuație ca ${2^x=32},$ scrie ambii membri ca puteri ale aceleiași baze.

Exemplul 22. Rezolvă ecuațiile: a) ${2^x=32};$ b) ${3^{x-1}=\frac{1}{9}};$ c) ${4^x=8}.$

a) ${32=2^5},$ deci ${2^x=2^5}$ și ${x=5}.$

b) ${\frac{1}{9}=3^{-2}},$ deci ${3^{x-1}=3^{-2}}.$ Atunci ${x-1=-2}$ și ${x=-1}.$

c) ${4^x=(2^2)^x=2^{2x}}$ și ${8=2^3},$ deci ${2x=3}$ și ${x=\frac{3}{2}}.$ Verificare: ${4^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{4}\right)^3=2^3=8}.$

O ecuație ca ${2^x=5}$ nu se poate rezolva în acest fel, deoarece $2$ și $5$ nu sunt puteri ale aceluiași număr întreg. Cum ${2^2=4}$ și ${2^3=8},$ soluția se află între $2$ și $3\text{:}$ este logaritmul ${x=\log_2 5\approx2{,}32}.$

Probleme pentru exersat

1. Calculează: a) $3^4;$ b) $(-2)^5;$ c) $-2^4;$ d) $\left(\frac{2}{5}\right)^3;$ e) $0{,}1^3;$ f) $(-1)^{25}.$

Răspuns

a) ${3^4=81}.$ b) ${(-2)^5=-32}.$ c) ${-2^4}={-(2\cdot2\cdot2\cdot2)}={-16.}$ d) ${\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{125}}.$ e) ${0{,}1^3=0{,}001}.$ f) ${(-1)^{25}=-1}.$

2. Scrie ca o singură putere: a) ${a^4\cdot a^7};$ b) $\frac{x^{12}}{x^5};$ c) $(y^3)^6;$ d) ${5^3\cdot5^{-5}};$ e) $(2^{-2})^{-3};$ f) $\frac{3^{-4}}{3^2}.$

Răspuns

a) $a^{11}.$ b) $x^7.$ c) $y^{18}.$ d) ${5^{3+(-5)}=5^{-2}}.$ e) ${2^{(-2)\cdot(-3)}=2^6}.$ f) ${3^{-4-2}=3^{-6}}.$

3. Calculează: a) $7^0;$ b) $4^{-2};$ c) $\left(\frac{3}{5}\right)^{-1};$ d) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3};$ e) $10^{-4}.$

Răspuns

a) ${7^0=1}.$ b) ${4^{-2}=\frac{1}{16}}.$ c) ${\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{3}}.$ d) ${\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}=(-2)^3=-8}.$ e) ${10^{-4}=0{,}0001}.$

4. Calculează: a) $25^{\frac{1}{2}};$ b) $64^{\frac{1}{3}};$ c) $81^{\frac{3}{4}};$ d) $8^{-\frac{2}{3}};$ e) $\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}.$

Răspuns

a) ${\sqrt{25}=5}.$ b) ${\sqrt[3]{64}=4}.$ c) ${\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=3^3=27}.$ d) ${\frac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2}=\frac{1}{4}}.$ e) ${\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}}.$

5. Scrie ca putere cu exponent fracționar (${x\gt0}$): a) $\sqrt{x};$ b) $\sqrt[3]{x^2};$ c) $\frac{1}{\sqrt{x}};$ d) ${\sqrt{x}\cdot\sqrt[4]{x}}.$

Răspuns

a) $x^{\frac{1}{2}}.$ b) $x^{\frac{2}{3}}.$ c) ${\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{-\frac{1}{2}}}.$ d) ${x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=x^{\frac{3}{4}}}.$

6. Simplifică (nicio literă nu este zero): a) $(3a^2b)^3;$ b) $\frac{12x^7y^3}{4x^2y^5};$ c) ${(-2x^3)^2\cdot5x};$ d) $\left(\frac{a^3}{2b}\right)^4.$

Răspuns

a) $27a^6b^3.$ b) ${3x^5y^{-2}=\frac{3x^5}{y^2}}.$ c) ${4x^6\cdot5x=20x^7}.$ d) $\frac{a^{12}}{16b^4}.$

7. Scrie fără exponenți negativi (nicio literă nu este zero): a) $x^{-4};$ b) $5a^{-3};$ c) $\frac{2}{y^{-2}};$ d) $(2x)^{-3};$ e) $\frac{a^{-2}}{b^{-5}}.$

Răspuns

a) $\frac{1}{x^4}.$ b) $\frac{5}{a^3}.$ c) $2y^2.$ d) ${\frac{1}{(2x)^3}=\frac{1}{8x^3}}.$ e) $\frac{b^5}{a^2}.$

8. Calculează fără calculator: a) $\frac{2^{10}\cdot2^{-3}}{2^5};$ b) $\frac{9^4\cdot3^5}{27^4};$ c) ${5^{12}\cdot0{,}2^{12}};$ d) $\frac{6^8}{2^8\cdot3^7}.$

Răspuns

a) ${2^{10-3-5}=2^2=4}.$

b) ${9^4=(3^2)^4=3^8}$ și ${27^4=(3^3)^4=3^{12}},$ deci ${\frac{3^8\cdot3^5}{3^{12}}}={3^{8+5-12}}={3^1}={3.}$

c) ${(5\cdot0{,}2)^{12}=1^{12}=1}.$

d) ${\frac{2^8\cdot3^8}{2^8\cdot3^7}=3^1=3}.$

9. Calculează ${\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-3^0+16^{\frac{3}{4}}}.$

Răspuns

${2^3-1+\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}={8-1+8}={15.}$

10. Care număr este mai mare? a) $\left(\frac{3}{4}\right)^5$ sau $\left(\frac{3}{4}\right)^7;$ b) $5^{-3}$ sau $4^{-3};$ c) $8^6$ sau $16^4;$ d) $2^{60}$ sau $5^{25}.$

Răspuns

a) Baza este mai mică decât $1,$ deci exponentul mai mic dă puterea mai mare: ${\left(\frac{3}{4}\right)^5\gt\left(\frac{3}{4}\right)^7}.$

b) ${5^{-3}=\frac{1}{125}}$ și ${4^{-3}=\frac{1}{64}},$ deci ${4^{-3}\gt5^{-3}}.$

c) ${8^6=(2^3)^6=2^{18}}$ și ${16^4=(2^4)^4=2^{16}},$ deci ${8^6\gt16^4}.$

d) ${2^{60}=(2^{12})^5=4096^5}$ și ${5^{25}=(5^5)^5=3125^5},$ deci ${2^{60}\gt5^{25}}.$

11. Rezolvă ecuațiile: a) ${3^x=81};$ b) ${2^{x+3}=\frac{1}{4}};$ c) ${25^x=125};$ d) ${10^{2x-1}=1000}.$

Răspuns

a) ${3^x=3^4},$ deci ${x=4}.$

b) ${2^{x+3}=2^{-2}},$ deci ${x+3=-2}$ și ${x=-5}.$

c) ${5^{2x}=5^3},$ deci ${2x=3}$ și ${x=\frac{3}{2}}.$

d) ${10^{2x-1}=10^3},$ deci ${2x-1=3}$ și ${x=2}.$