Formulele derivatei întâi

Derivata unei funcții ${y=f(x)}$ se scrie $y'$ sau $f'(x).$ Ea arată cât de repede se schimbă funcția: $f'(x)$ este panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $x.$ Prin definiție

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Să calculăm de fiecare dată această limită ar dura mult. În practică folosim câteva reguli de derivare și un tabel al derivatelor funcțiilor elementare. Cu ele se obține derivata oricărei funcții construite din funcțiile elementare. Calculatorul de mai sus găsește derivata funcției pe care o scrii și arată rezolvarea pas cu pas.

Pe această pagină: Reguli de derivare · Tabelul derivatelor · Probleme rezolvate · Exerciții

Reguli de derivare

În regulile de mai jos, $f$ și $g$ sunt funcții de $x$ care au derivată, iar $C$ este o constantă, adică un număr care nu depinde de $x.$

Derivata unei constante

O constantă nu se schimbă, deci viteza ei de variație este zero. De exemplu, dacă ${y=5},$ atunci ${y'=0}.$ La fel ${(\pi)'=0}$ și ${(\ln 3)'=0},$ deoarece $\pi$ și $\ln 3$ sunt numere.

Derivata unei puteri

Exponentul trece în față ca factor, iar noul exponent este cu o unitate mai mic. Regula este valabilă pentru orice exponent real $n,$ nu doar pentru cei întregi (dacă $n$ este fracționar, luăm ${x\gt 0}$).

${(x^3)'}={3x^{3-1}}={3x^2},$   ${(x^{-3})'}={-3x^{-3-1}}={-3x^{-4}}$

Pentru ${n=1}$ regula dă ${(x)'=1}.$ Un radical sau o fracție cu o putere a lui $x$ la numitor se scrie mai întâi ca putere:

${(\sqrt{x})'}={\left(x^{\frac12}\right)'}={\frac12x^{\frac12-1}}={\frac12x^{-\frac12}}={\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

${\left(\frac1x\right)'}={(x^{-1})'}={-1\cdot x^{-1-1}}={-x^{-2}}={-\frac{1}{x^2}}$

Constantă înmulțită cu o funcție

Un factor constant iese în fața derivatei. Exemplu:

${(7x^3)'}={7\cdot(x^3)'}={7\cdot 3x^2}={21x^2}$

Derivata unei sume și a unei diferențe

Derivata unei sume este suma derivatelor. Acest lucru este valabil pentru orice număr de termeni, așa că un polinom se derivează termen cu termen.

Exemplu. Fie ${f(x)=x^2+x+1}$ și ${g(x)=x^5+7},$ și să luăm ${y=f(x)+g(x)}.$ Atunci

${y'}={(x^2+x+1)'}+{(x^5+7)'}={(x^2)'+(x)'+(1)'}+{(x^5)'+(7)'}={2x+1+0+5x^4+0}={5x^4+2x+1}$

Derivata unui produs

Exemplu.

${(x^2\sin x)'}={(x^2)'\cdot\sin x+x^2\cdot(\sin x)'}={2x\cdot\sin x+x^2\cdot\cos x}$

Regula constantei înmulțite cu o funcție este un caz particular al regulii produsului. Dacă ${f=C},$ atunci

${(C\cdot g)'}={C'\cdot g+C\cdot g'}={0\cdot g+C\cdot g'}={C\cdot g'}$

Derivata unui cât

Atenție la ordinea de la numărător: mai întâi ${f'\cdot g}$ și apoi minus ${f\cdot g'}.$ Pentru ${f=1}$ regula dă ${\left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}}.$

Exemplu.

${\left(\frac{x}{x+1}\right)'}={\frac{(x)'\cdot(x+1)-x\cdot(x+1)'}{(x+1)^2}}={\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}}={\frac{x+1-x}{(x+1)^2}}={\frac{1}{(x+1)^2}}$

Regula lanțului (derivata funcției compuse)

Fie ${y=f(u)},$ unde ${u=u(x)}$ este la rândul ei o funcție de $x$ (o funcție de funcție). Atunci

Mai întâi derivăm funcția exterioară ca și cum $u$ ar fi variabila, apoi înmulțim cu derivata funcției interioare $u.$

Exemplul 1. ${y=\sin(x^2)}.$ Aici ${u=x^2}$ și ${f(u)=\sin u},$ deci ${f'(u)=\cos u}$ și ${u'=2x}$:

${y'}={f'(u)\cdot u'}={\cos(x^2)\cdot 2x}={2x\cos(x^2)}$

Exemplul 2. ${y=(3x+1)^5}.$ Funcția exterioară este ${f(u)=u^5},$ cu ${f'(u)=5u^4},$ iar cea interioară este ${u=3x+1},$ cu ${u'=3}$:

${y'}={f'(u)\cdot u'}={5(3x+1)^4\cdot 3}={15(3x+1)^4}$

Exemplul 3. Când avem trei funcții una în alta, regula se aplică de două ori:

${\left(e^{\sin 2x}\right)'}={e^{\sin 2x}\cdot(\sin 2x)'}={e^{\sin 2x}\cdot\cos 2x\cdot(2x)'}={e^{\sin 2x}\cdot\cos 2x\cdot 2}={2\cos 2x\cdot e^{\sin 2x}}$

Tabelul derivatelor

Derivatele funcțiilor de bază (elementare).

Derivata
$(x^n)'=n\,x^{n-1}$
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2}$
$(e^x)'=e^x$
$(a^x)'=a^x\ln a$
$(\ln x)'=\frac1x$
$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$
$(\sin x)'=\cos x$
$(\cos x)'=-\sin x$
$(\operatorname{tg} x)'=\frac{1}{\cos^2x}$
$(\operatorname{ctg} x)'=-\frac{1}{\sin^2x}$
$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\operatorname{arctg} x)'=\frac{1}{1+x^2}$
${(\operatorname{arcctg} x)'}={-\frac{1}{1+x^2}}$

Formulele sunt valabile acolo unde funcțiile sunt definite: ${x\gt 0}$ pentru $\ln x$ și $\log_a x,$ și, de asemenea, pentru derivata lui $\sqrt{x};$ ${a\gt 0}$ și ${a\ne 1}$ pentru $a^x$ și $\log_a x;$ ${\cos x\ne 0}$ pentru $\operatorname{tg} x;$ ${\sin x\ne 0}$ pentru $\operatorname{ctg} x;$ ${-1\lt x\lt 1}$ pentru derivatele lui $\arcsin x$ și $\arccos x.$ În plus, ${(\ln|x|)'=\frac1x}$ pentru orice ${x\ne 0}.$ Deoarece ${\frac{1}{\cos^2x}=1+\operatorname{tg}^2x},$ derivata lui $\operatorname{tg} x$ se poate scrie și ca ${1+\operatorname{tg}^2x}.$

Probleme rezolvate

Problema 1. Calculează derivata lui ${{f(x)=3x^4-5x^2+7x-2}.}$

Rezolvare: Derivăm termen cu termen, cu regula puterii și regula constantei înmulțite cu o funcție:

${f'(x)}={(3x^4)'-(5x^2)'}+{(7x)'-(2)'}={3\cdot(x^4)'-5\cdot(x^2)'}+{7\cdot(x)'-0}={3\cdot 4x^3-5\cdot 2x}+{7\cdot 1-0}={12x^3-10x+7}$

Problema 2. ${f(x)=10x+4y},$ unde $y$ nu depinde de $x.$ Calculează $f'(x).$

Rezolvare: Derivăm în raport cu $x.$ Numărul $y$ nu se schimbă când se schimbă $x,$ deci $4y$ este o constantă și ${(4y)'=0}.$ După regula sumei

${f'(x)}={(10x)'+(4y)'}={10\cdot(x)'+0}={10\cdot 1+0}={10}$

Problema 3. Calculează derivata lui ${y=\sqrt[3]{x^2}+\frac{2}{x^3}}.$

Rezolvare: Mai întâi scriem cei doi termeni ca puteri ale lui $x$: ${y=x^{\frac23}+2x^{-3}}.$ După regula puterii

${y'}={\left(x^{\frac23}\right)'+(2x^{-3})'}={\left(x^{\frac23}\right)'+2\cdot(x^{-3})'}={\frac23x^{\frac23-1}+2\cdot(-3)x^{-3-1}}={\frac23x^{-\frac13}-6x^{-4}}={\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{6}{x^4}}$

Problema 4. Calculează derivata lui ${y=x^3e^x}.$

Rezolvare: Aplicăm regula produsului cu ${f=x^3}$ și ${g=e^x}$:

${y'}={(x^3)'\cdot e^x+x^3\cdot(e^x)'}={3x^2\cdot e^x+x^3\cdot e^x}={x^2e^x(x+3)}$

Problema 5. Calculează derivata lui ${f(x)=\frac{x^{10}}{4{,}15+\cos x}}.$

Rezolvare: $f$ este câtul dintre ${h(x)=x^{10}}$ și ${g(x)=4{,}15+\cos x}.$ Derivatele lor sunt ${h'(x)=10x^9}$ și ${{g'(x)=0-\sin x=-\sin x}.}$ Numitorul nu este niciodată 0, deoarece ${\cos x\ge -1}.$ După regula câtului

${f'(x)}={\frac{h'(x)\cdot g(x)-h(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)-x^{10}(-\sin x)}{(4{,}15+\cos x)^2}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)+x^{10}\sin x}{(4{,}15+\cos x)^2}}$

Problema 6. Deduce formula ${(\operatorname{tg} x)'=\frac{1}{\cos^2x}}$ cu regula câtului.

Rezolvare: ${\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}},$ deci

${(\operatorname{tg} x)'}={\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2x}}={\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}}={\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}={\frac{1}{\cos^2x}}$

În ultimul pas am folosit ${\sin^2x+\cos^2x=1}.$

Problema 7. Calculează derivata lui ${y=\ln(\sin x)}.$

Rezolvare: Este o funcție compusă. Funcția exterioară este ${f(u)=\ln u}$ iar cea interioară este ${u=\sin x}.$ Din tabel, ${f'(u)=\frac1u}$ și ${u'=\cos x}.$ După regula lanțului

${y'}={f'(u)\cdot u'}={\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x}={\frac{\cos x}{\sin x}}={\operatorname{ctg} x}$

Funcția este definită doar acolo unde ${\sin x\gt 0}.$

Problema 8. Calculează derivata lui ${y=\sqrt{x^2+1}}.$

Rezolvare: Aplicăm regula lanțului cu funcția exterioară ${f(u)=\sqrt{u}}$ și cea interioară ${u=x^2+1}.$ Din tabel, ${f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}},$ și ${u'}={(x^2)'+(1)'}={2x}$:

${y'}={f'(u)\cdot u'}={\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x}={\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

Problema 9. Calculează derivata lui ${y=\sin^2 3x}.$

Rezolvare: ${\sin^2 3x=(\sin 3x)^2},$ deci avem trei funcții una în alta: pătratul, sinusul și $3x.$ Aplicăm regula lanțului de două ori:

${y'}={2\sin 3x\cdot(\sin 3x)'}={2\sin 3x\cdot\cos 3x\cdot(3x)'}={2\sin 3x\cdot\cos 3x\cdot 3}={6\sin 3x\cos 3x}={3\sin 6x}$

În ultimul pas am folosit ${2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha}.$

Problema 10. ${f(x)=x^3-2x}.$ Calculează $f'(2)$ și ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă ${x=2}.$

Rezolvare: ${f'(x)}={(x^3)'-(2x)'}={3x^2-2\cdot(x)'}={3x^2-2\cdot 1}={3x^2-2},$ deci ${f'(2)}={3\cdot 2^2-2}={12-2}={10}.$ Aceasta este panta tangentei. Deoarece ${f(2)}={2^3-2\cdot 2}={8-4}={4},$ punctul de tangență este ${(2,\ 4)}.$ Ecuația tangentei este

${y}={f(2)+f'(2)(x-2)}={4+10(x-2)}={4+10x-20}={10x-16}$

Exerciții

Calculează derivatele. Încearcă mai întâi singur și apoi deschide răspunsul.

1. ${y=4x^3-6x+1}$

${y'}={(4x^3)'-(6x)'+(1)'}={4\cdot(x^3)'-6\cdot(x)'+0}={4\cdot 3x^2-6\cdot 1+0}={12x^2-6}$

2. ${y=\frac{1}{x^2}}$

${y'}={\left(\frac{1}{x^2}\right)'}={(x^{-2})'}={-2x^{-2-1}}={-2x^{-3}}={-\frac{2}{x^3}}$

3. ${y=x\ln x}$

${y'}={(x)'\cdot\ln x+x\cdot(\ln x)'}={1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x}={\ln x+1}$

4. ${y=\frac{x^2}{x-1}}$

${y'}={\frac{(x^2)'\cdot(x-1)-x^2\cdot(x-1)'}{(x-1)^2}}={\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}}={\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}}={\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}}$

5. ${y=e^{-x^2}}$

${y'}={e^{-x^2}\cdot(-x^2)'}={e^{-x^2}\cdot(-2x)}={-2x\,e^{-x^2}}$

6. ${y=\cos(5x+1)}$

${y'}={-\sin(5x+1)\cdot(5x+1)'}={-\sin(5x+1)\cdot 5}={-5\sin(5x+1)}$

7. ${y=\ln(x^2+4)}$

${y'}={\frac{1}{x^2+4}\cdot(x^2+4)'}={\frac{1}{x^2+4}\cdot 2x}={\frac{2x}{x^2+4}}$

8. ${y=\operatorname{arctg} 2x}$

${y'}={\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot(2x)'}={\frac{1}{1+4x^2}\cdot 2}={\frac{2}{1+4x^2}}$

9. ${y=x^2\cos x}$

${y'}={(x^2)'\cdot\cos x+x^2\cdot(\cos x)'}={2x\cos x+x^2\cdot(-\sin x)}={2x\cos x-x^2\sin x}$

10. ${f(x)=x^4-3x^2}.$ Calculează $f'(1).$

${f'(x)}={(x^4)'-(3x^2)'}={(x^4)'-3\cdot(x^2)'}={4x^3-3\cdot 2x}={4x^3-6x},$ deci ${f'(1)}={4\cdot 1^3-6\cdot 1}={4-6}={-2}$

Îți poți verifica răspunsurile cu calculatorul de la începutul paginii, care arată rezolvarea pas cu pas.