Funcții și limite

Funcțiile sunt peste tot în matematică: aria unui pătrat depinde de latura lui, prețul unei curse cu taxiul depinde de distanță, înălțimea unei mingi aruncate depinde de timp. În această lecție răspundem la patru întrebări: ce este o funcție, cum se scriu funcțiile, ce numere putem introduce într-o funcție (domeniul de definiție) și ce valori ies din ea (mulțimea valorilor). La final facem o primă privire asupra limitelor: ce se întâmplă cu o funcție în apropierea unui punct, chiar și a unui punct în care ea nu este definită.

Pe această pagină: Ce este o funcție · Notația funcțiilor · Domeniul de definiție · Mulțimea valorilor · Funcții definite pe porțiuni · Prima privire asupra limitelor · Probleme rezolvate · Exerciții

Ce este o funcție?

Variabila $x$ se numește variabilă independentă (sau argument): valoarea ei o alegem noi. Variabila $y$ este variabila dependentă: valoarea ei depinde de valoarea aleasă pentru $x.$ Îți poți imagina o funcție ca pe o mașină: introduci un număr $x,$ și mașina îți dă înapoi un singur număr $y.$

Exemplu. Ecuația ${y=4x+1}$ definește pe $y$ ca funcție de $x\text{:}$ pentru fiecare $x$ înmulțim cu 4 și adunăm 1 și obținem întotdeauna exact un număr.

$x$	${y=4x+1}$
$2$	$9$
$1$	$5$
$0$	$1$
${-\frac14}$	$0$
$\sqrt3$	${4\sqrt3+1}$

O relație care nu este funcție. În ecuația ${y=\pm\sqrt x}$ mărimea $y$ nu este funcție de $x,$ deoarece fiecare $x$ pozitiv dă două valori pentru $y.$ Pentru ${x=4}$ obținem ${y=\pm\sqrt4},$ adică ${y=2}$ și ${y=-2}.$ Aceeași relație se poate scrie ca ${y^2=x}.$

Dacă păstrăm numai rădăcina nenegativă, ${y=\sqrt x},$ avem din nou o funcție: pentru ${x=4}$ dă doar ${y=2}.$

Testul dreptei verticale

Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor $(x,\,y)$ din planul cartezian în care $x$ este în domeniul de definiție, iar $y$ este valoarea funcției în $x.$ Deoarece fiecărei valori a lui $x$ îi corespunde o singură valoare a lui $y,$ o dreaptă verticală poate tăia graficul unei funcții cel mult o dată:

Dreapta ${x=4}$ taie graficul lui ${y=\sqrt x}$ o dată, dar taie curba ${y^2=x}$ de două ori.

Observă că definiția nu interzice ca două valori diferite ale lui $x$ să dea aceeași valoare a lui $y.$ Pentru ${y=x^2},$ atât ${x=2}$ cât și ${x=-2}$ dau ${y=4},$ și totuși ${y=x^2}$ este o funcție: fiecărei valori a lui $x$ îi corespunde o singură valoare a lui $y.$ (O dreaptă orizontală poate tăia un grafic de mai multe ori.)

Notația funcțiilor

Funcțiile se denumesc cu litere. Dacă folosim litera $f$ pentru o funcție, scriem

$$y=f(x)$$

și citim „$y$ egal cu $f$ de $x$”. Expresia $f(x)$ este valoarea funcției $f$ în $x$. Astfel, în loc de ${y=x^2}$ putem scrie ${f(x)=x^2},$ iar cele două expresii reprezintă aceeași funcție.

Litera cea mai folosită este $f,$ dar orice literă sau simbol poate denumi o funcție: ${y=F(x)},$ ${y=g(x)},$ ${y=h(x)},$ ${y=\varphi(x)}.$ Folosirea unor litere diferite este utilă când lucrăm cu mai multe funcții deodată.

Notația $f(x)$ nu înseamnă „$f$ ori $x$”. Este numărul pe care îl dă funcția $f$ pentru intrarea $x.$

Cum evaluezi o funcție

Ca să afli $f(a),$ înlocuiește fiecare $x$ din formulă cu $a,$ scris între paranteze și simplifică.

Exemplul 1. Fie ${\varphi(x)=\frac{1}{x^3-1}}.$ Atunci

${\varphi\left(\sqrt[3]{7}\right)}={\frac{1}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^3-1}}={\frac{1}{7-1}}={\frac16}$

dar $\varphi(1)$ nu există: înlocuind obținem ${\frac{1}{1^3-1}},$ iar numitorul este 0. Nu se poate împărți la 0, deci funcția $\varphi$ nu este definită în ${x=1}.$

Exemplul 2. Fie ${F(x)=2x^2-1}.$ În paranteză putem pune un număr, o altă literă sau o expresie întreagă:

${F(3)=2\cdot 3^2-1=17}$

${F(d)=2d^2-1}$

${F(t-1)}={2(t-1)^2-1}={2(t^2-2t+1)-1}={2t^2-4t+1}$

Exemplul 3. Litera variabilei nu contează. Formulele

${g(c)=c^2-4c}$   și   ${g(x)=x^2-4x}$

definesc aceeași funcție: „ridică numărul la pătrat și scade din el de 4 ori numărul”. De exemplu, ambele dau ${g(5)=25-20=5}.$

Domeniul de definiție al unei funcții

Domeniul maxim de definiție

Uneori domeniul de definiție este dat odată cu formula, de exemplu ${f(x)=x^2},$ ${0\le x\le 5}.$ Dacă o funcție este dată printr-o formulă și nu se indică domeniul, atunci domeniul este mulțimea tuturor numerelor reale pentru care formula are sens și dă o valoare reală. Această mulțime se numește domeniul maxim de definiție al funcției. În practică, scoatem din numerele reale:

• numerele pentru care un numitor este 0;
• numerele pentru care expresia de sub o rădăcină pătrată (sau de sub orice radical de ordin par) devine negativă.

Mai târziu vei întâlni și alte condiții de acest fel; de exemplu, argumentul unui logaritm trebuie să fie pozitiv. Domeniile se scriu cu intervale: „toate numerele reale, cu excepția lui 1” este ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Exemplul 4. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Numitorul este 0 pentru ${x=1},$ deci domeniul maxim de definiție este mulțimea numerelor reale, cu excepția lui 1: ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Exemplul 5. ${y=\sqrt{x-2}}.$ Avem nevoie de ${x-2\ge 0},$ adică ${x\ge 2}.$ Domeniul este ${[2,\,+\infty)}.$ Numărul 2 aparține domeniului, deoarece ${\sqrt0=0}.$

Exemplul 6. O fracție în interiorul altei fracții:

${h(x)=\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x-3}}}$

Fracția din interior cere ${x\ne 3}.$ Fracția din exterior cere ca numitorul ei să fie diferit de 0: ${\frac{x-1}{x-3}\ne 0},$ adică ${x\ne 1}.$ Prin urmare, domeniul este

$$(-\infty,\,1)\cup(1,\,3)\cup(3,\,+\infty)$$

Pentru aceste valori ale lui $x$ putem simplifica: ${h(x)=\frac{x-3}{x-1}}.$ Dar formula simplificată dă 0 în ${x=3},$ în timp ce $h(3)$ nu există. Mai întâi află domeniul și apoi simplifică.

Exemplul 7. ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}.$ Domeniul este mulțimea numerelor reale, cu excepția lui 2. Pentru ${x\ne 2}$ putem simplifica fracția:

${h(x)}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2,\quad x}\ne{2}$

Prin urmare, graficul lui $h$ este dreapta ${y=x+2}$ fără punctul $(2,\,4).$ Vom reveni la această funcție în secțiunea „Prima privire asupra limitelor”.

Mulțimea valorilor unei funcții

Pe un grafic, domeniul este „umbra” graficului pe axa $x,$ iar mulțimea valorilor este umbra lui pe axa $y.$ De exemplu, ${y=\sqrt{4-x^2}}$ este semicercul de sus al cercului cu centrul în origine și raza 2. Domeniul lui este ${[-2,\,2]}$ iar mulțimea valorilor este $[0,\,2].$

Ca să afli mulțimea valorilor pornind de la o formulă, întreabă-te: pentru ce valori ale lui $y$ ecuația ${f(x)=y}$ are o soluție $x$ în domeniu?

Exemplul 8. ${f(x)=x^2}.$ Un pătrat nu este niciodată negativ și orice număr ${y\ge 0}$ este un pătrat: ${y=\left(\sqrt y\right)^2}.$ Prin urmare, mulțimea valorilor este ${[0,\,+\infty)}.$

Exemplul 9. ${y=4x+1}.$ Pentru orice număr $y$ ecuația ${4x+1=y}$ are soluția ${x=\frac{y-1}{4}}.$ Mulțimea valorilor este mulțimea tuturor numerelor reale.

Exemplul 10. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Îl exprimăm pe $x\text{:}$

${y(x-1)}={x+1\ \Rightarrow\ yx-y}={x+1\ \Rightarrow\ x(y-1)}={y+1}$

Dacă ${y\ne 1},$ atunci ${x=\frac{y+1}{y-1}},$ și această valoare a lui $x$ nu este niciodată egală cu 1 (din ${\frac{y+1}{y-1}=1}$ am obține ${y+1=y-1},$ ceea ce este imposibil). Dacă ${y=1},$ ecuația devine ${0=2},$ care nu are soluție. Prin urmare, mulțimea valorilor este mulțimea numerelor reale, cu excepția lui 1: ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Exemplul 11. Funcția ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ din exemplul 7 este egală cu ${x+2}$ pentru ${x\ne 2}.$ Orice număr $y$ se atinge în ${x=y-2},$ cu excepția lui ${y=4},$ care ar cere ${x=2},$ iar 2 nu este în domeniu. Prin urmare, mulțimea valorilor este mulțimea numerelor reale, cu excepția lui 4: ${(-\infty,\,4)\cup(4,\,+\infty)}.$

Funcții definite pe porțiuni

O funcție poate fi dată prin formule diferite pe părți diferite ale domeniului ei. O astfel de funcție se numește funcție definită pe porțiuni (sau funcție cu mai multe ramuri). Cel mai cunoscut exemplu este valoarea absolută (modulul):

$$|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{cases}$$

Pentru ${x\ge 0}$ folosim prima formulă: ${|5|=5}.$ Pentru ${x\lt 0}$ folosim a doua: ${|{-3}|=-(-3)=3}.$ Graficul este format din două semidrepte care se întâlnesc în origine. Domeniul lui $|x|$ este mulțimea numerelor reale, iar mulțimea valorilor este ${[0,\,+\infty)}.$

Ca să evaluezi o funcție definită pe porțiuni, verifică mai întâi ce condiție îndeplinește valoarea dată a lui $x$ și folosește numai formula corespunzătoare. Mai multe despre $|x|\text{:}$ în valori absolute.

Prima privire asupra limitelor

Să revenim la funcția ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ din exemplul 7. Valoarea $h(2)$ nu există: în ${x=2}$ atât numărătorul, cât și numitorul sunt 0. Dar putem calcula $h(x)$ pentru numere $x$ apropiate de 2:

$x$	$h(x)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2$	nu este definit
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

Cu cât $x$ se apropie mai mult de 2, din oricare dintre cele două părți, cu atât $h(x)$ se apropie mai mult de 4. Spunem că limita lui $h(x)$ când $x$ tinde la 2 este 4 și scriem

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$$

Pe grafic: când $x$ se apropie de 2 din oricare dintre cele două părți, punctele graficului se apropie de cercul gol din $(2,\,4),$ deși punctul $(2,\,4)$ nu aparține graficului. O limită descrie valorile unei funcții în apropierea unui punct, nu în punct. Putem confirma această limită prin simplificare: pentru ${x\ne 2}$ avem ${h(x)=x+2},$ iar ${x+2}$ se apropie de ${2+2=4}.$

Limitele funcțiilor sunt explicate pas cu pas în lecțiile „Limite (introducere intuitivă)” și „Limite și metode de calcul”. Limita unui șir este explicată în lecția „Limitele șirurilor”.

Probleme rezolvate

Problema 1. Care dintre aceste ecuații definesc pe $y$ ca funcție de $x?$ a) ${y=3x-5};$   b) ${y^2=x+1};$   c) ${y=x^2-1};$   d) ${x^2+y^2=25}$

Rezolvare: a) Da: fiecare $x$ dă un singur număr ${3x-5}.$ b) Nu: pentru ${x=3}$ obținem ${y^2=4},$ deci ${y=2}$ sau ${y=-2}.$ c) Da: fiecare $x$ dă un singur număr ${x^2-1}.$ Este permis ca ${x=1}$ și ${x=-1}$ să dea aceeași valoare ${y=0}.$ d) Nu: pentru ${x=3}$ obținem ${y^2=16},$ deci ${y=4}$ sau ${y=-4}.$ Este un cerc, iar o dreaptă verticală îl poate tăia de două ori.

Problema 2. Fie ${f(x)=x^2-3x+2}.$ Află $f(0),$ ${f(-2)}$ și ${f(a+1)}.$

Rezolvare:

${f(0)=0-0+2=2}$

${f(-2)}={(-2)^2-3\cdot(-2)+2}={4+6+2}={12}$

${f(a+1)}={(a+1)^2-3(a+1)+2}={a^2+2a+1-3a-3+2}={a^2-a}$

Problema 3. Află domeniul de definiție al funcției ${f(x)=\frac{2x+1}{x^2-9}}.$

Rezolvare: Numitorul nu poate fi 0: ${x^2-9=0}$ pentru ${x=3}$ și ${x=-3}.$ Domeniul este

$$(-\infty,\,-3)\cup(-3,\,3)\cup(3,\,+\infty)$$

Problema 4. Află domeniul de definiție al funcției ${g(x)=\sqrt{6-2x}}.$

Rezolvare: Avem nevoie de ${6-2x\ge 0},$ adică ${2x\le 6},$ deci ${x\le 3}.$ Domeniul este ${(-\infty,\,3]}.$

Problema 5. Află domeniul de definiție al funcției ${h(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-1}}.$

Rezolvare: Sunt două condiții: ${x+4\ge 0}$ (din cauza rădăcinii pătrate) și ${x-1\ne 0}$ (din cauza numitorului). Deci ${x\ge -4}$ și ${x\ne 1}.$ Domeniul este ${[-4,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Problema 6. Află mulțimea valorilor funcției a) ${f(x)=x^2+3};$   b) ${g(x)=2-\sqrt x}.$

Rezolvare: a) ${x^2\ge 0},$ deci ${x^2+3\ge 3}.$ Orice ${y\ge 3}$ se atinge: ${x=\sqrt{y-3}}$ dă ${f(x)=y}.$ Mulțimea valorilor este ${[3,\,+\infty)}.$
b) Domeniul este ${[0,\,+\infty)}.$ Rădăcina $\sqrt x$ ia toate valorile ${\ge 0},$ deci ${2-\sqrt x}$ ia toate valorile ${\le 2}.$ Mulțimea valorilor este ${(-\infty,\,2]}.$

Problema 7. Află mulțimea valorilor funcției ${y=\frac{2x-1}{x+3}}.$

Rezolvare: Domeniul este mulțimea numerelor reale, cu excepția lui ${-3}.$ Îl exprimăm pe $x\text{:}$

${y(x+3)}={2x-1\ \Rightarrow\ yx+3y}={2x-1\ \Rightarrow\ x(y-2)}={-3y-1}$

Dacă ${y\ne 2},$ atunci ${x=\frac{3y+1}{2-y}}$ (nu este niciodată ${-3}\text{:}$ ${\frac{3y+1}{2-y}=-3}$ dă ${1=-6}$). Dacă ${y=2},$ obținem ${0=-7},$ fără soluție. Mulțimea valorilor este mulțimea numerelor reale, cu excepția lui 2: ${(-\infty,\,2)\cup(2,\,+\infty)}.$

Problema 8. Află ${f(-3)},$ $f(1)$ și $f(2)$ pentru funcția

$$f(x)=\begin{cases}2x+1, & x\lt 1\\ x^2, & x\ge 1\end{cases}$$

Rezolvare: Deoarece ${-3\lt 1},$ folosim prima formulă: ${f(-3)}={2\cdot(-3)+1}={-5.}$ Pentru ${x=1}$ este îndeplinită condiția ${x\ge 1},$ deci ${f(1)=1^2=1}.$ În sfârșit, ${f(2)=2^2=4}.$

Problema 9. Fie ${f(x)=x^2}.$ Simplifică ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ pentru ${h\ne 0}$ (aici $h$ este un număr, nu o funcție).

Rezolvare:

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(x+h)^2-x^2}{h}}={\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}={\frac{h(2x+h)}{h}}={2x+h}$

Când $h$ tinde la 0, această expresie tinde la $2x.$ Această limită este derivata funcției $x^2.$

Problema 10. Estimează ${\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}}$ cu un tabel de valori și apoi verifică prin simplificare.

Rezolvare: Pentru ${x=2{,}9};$ $2{,}99;$ $3{,}01$ și $3{,}1$ fracția este, respectiv, $5{,}9;$ $5{,}99;$ $6{,}01$ și $6{,}1.$ Se pare că limita este 6. Verificare: pentru ${x\ne 3}$

${\frac{x^2-9}{x-3}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}}={x+3,}$   și   ${x+3}$ tinde la ${3+3=6}.$

Exerciții

Încearcă mai întâi singur(ă) și apoi deschide răspunsul.

1. Fie ${f(x)=3x-7}.$ Află $f(2),$ ${f(-1)}$ și $f(0).$

${f(2)=-1},$ ${f(-1)=-10},$ ${f(0)=-7}.$

2. Fie ${g(x)=x^2+x}.$ Află ${g(-3)}$ și ${g(t+1)}.$

${g(-3)=9-3=6}$ și ${g(t+1)}={(t+1)^2+(t+1)}={t^2+3t+2.}$

3. Este $y$ funcție de $x$ dacă ${x=y^2-1}?$

Nu. Pentru ${x=3}$ obținem ${y^2=4},$ deci ${y=2}$ sau ${y=-2}\text{:}$ aceeași valoare a lui $x$ dă două valori ale lui $y.$

4. Află domeniul de definiție al funcției ${y=\frac{5}{x+4}}.$

Toate numerele reale, cu excepția lui ${-4}\text{:}$ ${(-\infty,\,-4)\cup(-4,\,+\infty)}.$

5. Află domeniul de definiție al funcției ${y=\sqrt{2x+6}}.$

${2x+6\ge 0},$ deci ${x\ge -3}.$ Domeniul este ${[-3,\,+\infty)}.$

6. Află domeniul de definiție al funcției ${y=\frac{x}{x^2-5x+6}}.$

${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}\ne{0,}$ deci domeniul este ${(-\infty,\,2)\cup(2,\,3)\cup(3,\,+\infty).}$

7. Află domeniul de definiție al funcției ${y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}}.$

Rădăcina cere ${x-1\ge 0}$ iar numitorul cere ${\sqrt{x-1}\ne 0},$ deci ${x-1\gt 0}.$ Domeniul este ${(1,\,+\infty)}.$

8. Află mulțimea valorilor funcției ${y=4-x^2}.$

${x^2\ge 0},$ deci ${4-x^2\le 4},$ și orice ${y\le 4}$ se atinge în ${x=\sqrt{4-y}}.$ Mulțimea valorilor este ${(-\infty,\,4]}.$

9. Află mulțimea valorilor funcției ${y=\frac{x}{x-2}}.$

${y(x-2)=x}$ dă ${x(y-1)=2y}.$ Pentru ${y\ne 1}\text{:}$ ${x=\frac{2y}{y-1}}$ (nu este niciodată 2, deoarece ${2y=2y-2}$ este imposibil); pentru ${y=1}\text{:}$ ${0=2},$ fără soluție. Mulțimea valorilor este ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

10. Află ${f(-2)},$ $f(0)$ și $f(3)$ dacă $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\lt 0\\ x+1, & x\ge 0\end{cases}$

${f(-2)=(-2)^2=4},$ ${f(0)=0+1=1},$ ${f(3)=3+1=4}.$

11. Află ${\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}}.$

Pentru ${x\ne 1}\text{:}$ ${\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={x+1,}$ care tinde la 2. Limita este 2.

12. Fie ${f(x)=2x+3}.$ Simplifică ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ pentru ${h\ne 0}.$

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(2(x+h)+3)-(2x+3)}{h}}={\frac{2h}{h}}={2.}$

Lecția următoare: Operații cu funcții. Mai multe exemple de domeniu și mulțimea valorilor: Domeniul de definiție și mulțimea valorilor.