Limite și metode de calcul

În lecția „Limite (introducere intuitivă)” am estimat limitele cu ajutorul tabelelor și al graficelor. În această lecție le vom calcula exact. Vom vedea:

• limitele a două funcții foarte simple: funcția constantă și ${y=x};$
• proprietățile limitelor, care permit obținerea, pornind de la aceste două, a limitelor unor funcții mai complicate;
• tehnici algebrice pentru cazurile în care proprietățile nu se pot aplica direct: descompunerea în factori, înmulțirea cu conjugata, studiul semnului, păstrarea termenilor dominanți.

Pe această pagină: Două limite de bază · Proprietățile limitelor · Polinoame · Funcții raționale · Nedeterminarea 0/0 · Număr împărțit la 0 · Limite la infinit · Strategie · Probleme

Două limite de bază

Începem cu două funcții:

• ${f(x)=k},$ funcția constantă ($k$ este un număr fix); graficul ei este o dreaptă orizontală;

• ${g(x)=x};$ graficul ei este dreapta care trece prin origine și are panta $1.$

Funcția constantă ${f(x)=k}$

Oricare ar fi $x,$ valoarea funcției constante este $k.$ De aceea, fie că $x$ tinde la un număr oarecare $a$ fie că crește sau descrește nelimitat, valoarea rămâne $k\text{:}$

Limita	Exemple
${\lim_{x\to a}k=k}$	${\lim_{x\to2}3=3},$   ${\lim_{x\to-2}3=3}$
${\lim_{x\to+\infty}k=k}$	${\lim_{x\to+\infty}3=3},$   ${\lim_{x\to+\infty}0=0}$
${\lim_{x\to-\infty}k=k}$	${\lim_{x\to-\infty}3=3},$   ${\lim_{x\to-\infty}0=0}$

Funcția ${g(x)=x}$

Valoarea acestei funcții este chiar $x.$ Dacă $x$ tinde la $a,$ valoarea tinde la $a.$ Dacă $x$ crește nelimitat, și valoarea crește nelimitat, iar dacă $x$ descrește nelimitat, și valoarea descrește nelimitat:

Limita
${\lim_{x\to a}x=a}$
${\lim_{x\to+\infty}x=+\infty}$
${\lim_{x\to-\infty}x=-\infty}$

Proprietățile limitelor

Spus în cuvinte: limita unei sume este suma limitelor, limita unui produs este produsul limitelor etc., cu condiția să existe limitele fiecărei funcții în parte (iar, în cazul unui cât, ca limita numitorului să nu fie $0$).

Observație. Proprietățile (a) și (c) sunt enunțate pentru două funcții, dar sunt adevărate pentru orice număr finit de funcții. Dacă există toate limitele ${\lim f_1(x)},$ ${\lim f_2(x)},$ …, ${\lim f_n(x)},$ atunci

${\lim\,[f_1(x)+\ldots+f_n(x)]}={{\lim f_1(x)+\ldots+\lim f_n(x)},}$

${\lim\,[f_1(x)\cdot\ldots\cdot f_n(x)]}={{\lim f_1(x)\cdot\ldots\cdot\lim f_n(x)}.}$

Dacă $f_1,$ $f_2,$ …, $f_n$ sunt toate aceeași funcție $f,$ a doua formulă dă limita unei puteri (pentru ${n=1},$ $2,$ $3,$ …, dacă există ${\lim f(x)}$):

$$\lim\,[f(x)]^n=\left[\lim f(x)\right]^n.$$

Două consecințe utile:

A) ${\lim_{x\to a}x^n}={\left[\lim_{x\to a}x\right]^n}={a^n},$   pentru ${n=1},$ $2,$ $3,$ …;

B) ${\lim\,[k\cdot g(x)]}={\lim k\cdot\lim g(x)}={{k\cdot\lim g(x)},}$ unde $k$ este o constantă: un factor constant se poate scoate în fața limitei.

Limite de polinoame

Un polinom este o funcție de forma

${p(x)}={c_0+c_1x+c_2x^2}+{\ldots+c_nx^n,}$

unde $c_0,$ $c_1,$ …, $c_n$ sunt constante (numere).

Exemplul 1. Află ${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}.$

${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}={\lim_{x\to5}x^2-4\lim_{x\to5}x+\lim_{x\to5}3}={5^2-4\cdot5+3}={{8}.}$

Am folosit proprietățile (a) și (b), consecințele A și B și limita unei constante. Rezultatul este valoarea polinomului în $5.$ Așa se întâmplă întotdeauna:

Teoremă. Pentru orice polinom ${p(x)}={c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}$ și orice număr real $a,$ are loc ${\lim_{x\to a}p(x)}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$

Demonstrație. Aplicăm proprietatea sumei, apoi consecința B (scoaterea factorului constant) și apoi consecința A:

${\lim_{x\to a}p(x)}={\lim_{x\to a}c_0+\lim_{x\to a}c_1x}+{\ldots+\lim_{x\to a}c_nx^n}={c_0+c_1\lim_{x\to a}x}+{\ldots+c_n\lim_{x\to a}x^n}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$

Așadar, limita unui polinom într-un punct se calculează prin înlocuire.

Limite de funcții raționale

O funcție rațională este un cât de două polinoame, ${r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}.$ Dacă ${q(a)\ne0},$ proprietatea câtului și teorema anterioară dau

$$\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.$$

Exemplul 2.

${\lim_{x\to2}\frac{5x^3+4}{x-3}}={\frac{\lim_{x\to2}(5x^3+4)}{\lim_{x\to2}(x-3)}}={\frac{5\cdot2^3+4}{2-3}}={\frac{44}{-1}}={{-44}.}$

Dacă ${q(a)=0},$ nu se poate folosi proprietatea câtului și există două cazuri:

• ${p(a)=0}$ (se anulează și numărătorul): „nedeterminarea ${\frac{0}{0}}$”. Limita poate fi orice număr, $+\infty$ sau $-\infty,$ sau poate să nu existe. Mai întâi trebuie simplificat.

• ${p(a)\ne0}\text{:}$ „forma ${\frac{\text{număr}}{0}}$”. Valorile fracției cresc nelimitat în valoare absolută, iar limitele laterale sunt $+\infty$ sau $-\infty.$

Nedeterminarea $0/0\text{:}$ mai întâi, simplificăm

Exemplul 3. Află ${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}.$

În ${x=2}$ atât numărătorul, cât și numitorul au valoarea $0.$ Dar limita folosește numai valorile ${x\ne2},$ așa că putem simplifica factorul comun ${x-2}\text{:}$

${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$

Funcția nu este definită în ${x=2}\text{:}$ graficul ei este dreapta ${y=x+2}$ cu un „gol” (un punct exclus) în $(2,\,4).$ Cu toate acestea, limita este $4.$

Exemplul 4.

${\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\lim_{x\to3}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\lim_{x\to3}\frac{x-2}{x+3}}={{\frac{1}{6}}.}$

Dacă $a$ este rădăcină a ambelor polinoame, amândouă sunt divizibile cu ${x-a}$ (vezi schema lui Horner), așa că factorul ${x-a}$ se poate simplifica întotdeauna. Dacă obții tot ${\frac{0}{0}},$ simplifică din nou ${x-a}.$

Exemplul 5 (un radical: înmulțirea cu conjugata). Află ${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}.$

Obținem din nou ${\frac{0}{0}}.$ Înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugata ${\sqrt{x}+2}$ și folosim faptul că ${{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4}\text{:}}$

${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}={\lim_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}}={\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$

Un număr nenul împărțit la $0\text{:}$ limite infinite

Cel mai simplu exemplu este ${\frac{1}{x}}$ în ${x=0}.$ Limitele următoare ne sunt sugerate de graficul ei și de tabel.

$x$	${\frac{1}{x}}$	Concluzie
1; 0,1; 0,01; 0,001; …	1; 10; 100; 1000; …	${\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty}$
−1; −0,1; −0,01; −0,001; …	−1; −10; −100; −1000; …	${\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty}$
1; 10; 100; 1000; …	1; 0,1; 0,01; 0,001; …	${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0}$
−1; −10; −100; −1000; …	−1; −0,1; −0,01; −0,001; …	${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0}$

Pentru orice număr real $a,$ graficul lui ${g(x)=\frac{1}{x-a}}$ este graficul lui ${f(x)=\frac{1}{x}}$ deplasat cu $a$ unități spre dreapta dacă ${a\gt0},$ și cu $|a|$ unități spre stânga dacă ${a\lt0}.$ Prin urmare,

${\lim_{x\to a^-}\frac{1}{x-a}=-\infty},$   ${\lim_{x\to a^+}\frac{1}{x-a}=+\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-a}=0},$   ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-a}=0}.$

În general, dacă numărătorul tinde la un număr ${L\ne0}$ iar numitorul tinde la $0,$ valoarea absolută a fracției crește nelimitat. Dacă fracția își păstrează semnul de o parte a lui $a$ (o funcție rațională și-l păstrează întotdeauna), acel semn decide, de partea respectivă, între $+\infty$ și $-\infty.$

Exemplul 6. Află ${\lim_{x\to4^+}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}.$

În ${x=4}$ numărătorul are valoarea ${2-4=-2}$ iar numitorul are valoarea $0.$ Marcăm pe axa numerelor zeroul numărătorului ($2$) și zerourile numitorului ($-2$ și $4$). Pentru valori mari ale lui $x$ fracția este negativă (termenii ei dominanți dau ${\frac{-x}{x^2}}={-\frac{1}{x}}$), iar semnul se schimbă în fiecare punct marcat, pentru că fiecare dintre ele provine dintr-un factor la puterea întâi (un factor ca ${(x-2)^2}$ nu ar schimba semnul):

Pentru $x$ puțin mai mare decât $4,$ numărătorul este aproape de $-2$ (este negativ), ${x-4}$ este un număr pozitiv foarte mic, iar ${x+2}$ este aproape de $6$ (este pozitiv). Prin urmare, numitorul este un număr pozitiv foarte mic, iar fracția este un număr negativ cu valoare absolută foarte mare:

$$\lim_{x\to4^+}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}=-\infty.$$

Pentru $x$ puțin mai mic decât $4,$ ${x-4}$ este negativ, fracția este pozitivă și ${\lim_{x\to4^-}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}={+\infty}.$ Limitele laterale sunt diferite, așa că limita (bilaterală) în $4$ nu există. Graficul are asimptotele verticale ${x=-2}$ și ${x=4}\text{:}$

Limite la infinit

Puterile lui $x$

Pentru ${n=1},$ $2,$ $3,$ …, puterea $x^n$ crește nelimitat când ${x\to+\infty}.$ Când ${x\to-\infty},$ o putere cu exponent par este pozitivă și crește nelimitat, iar una cu exponent impar este negativă și descrește nelimitat:

${\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty},$   ${n=1},$ $2,$ $3,$ …

${\lim_{x\to-\infty}x^n}={\begin{cases}+\infty, & n=2,\ 4,\ 6,\ \ldots\\ -\infty, & n=1,\ 3,\ 5,\ \ldots\end{cases}}$

Înmulțirea cu o constantă pozitivă nu schimbă o limită infinită, iar înmulțirea cu o constantă negativă îi schimbă semnul:

${\lim_{x\to+\infty}2x^5=+\infty},$   ${\lim_{x\to+\infty}(-7x^6)=-\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}2x^5=-\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}(-7x^6)=-\infty}.$

Pentru ${n=1},$ $2,$ $3,$ … limita unei puteri și tabelul de mai sus dau

${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0},}$   ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0}.}$

Aproape de $0$ graficele lui ${y=\frac{1}{x^n}}$ arată astfel: pentru $n$ par ambele ramuri urcă (${\lim_{x\to0}\frac{1}{x^n}=+\infty}$); pentru $n$ impar ramura din stânga coboară, iar cea din dreapta urcă, ca la ${y=\frac{1}{x}}$ (${\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^n}=-\infty},$ ${\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty}$).

Polinoame la infinit

Când ${x\to+\infty}$ sau ${x\to-\infty},$ un polinom se comportă ca termenul său de grad maxim (termenul dominant). Mai exact, dacă ${c_n\ne0},$ atunci

${\lim_{x\to+\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to+\infty}c_nx^n},}$

${\lim_{x\to-\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to-\infty}c_nx^n}.}$

De ce? Scoatem $x^n$ factor comun:

${c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}={{x^n\left(\frac{c_0}{x^n}+\ldots+\frac{c_{n-1}}{x}+c_n\right)}.}$

Când ${x\to\pm\infty},$ fiecare fracție din paranteză tinde la $0,$ așa că paranteza tinde la $c_n$ și întreaga expresie se comportă ca ${c_nx^n}.$ De exemplu, polinomul ${p(x)=x^3-6x^2+9x+1}$ și $x^3$ sunt foarte diferite aproape de origine, dar privite de departe graficele lor aproape coincid:

Diferența ${p(x)-x^3}={-6x^2+9x+1}$ nu tinde la $0\text{:}$ cele două grafice nu se apropie unul de altul. Diferența este mică doar în comparație cu $x^3,$ și asta e suficient ca cele două funcții să aibă aceleași limite la $+\infty$ și la $-\infty.$

Exemplul 7. ${\lim_{x\to-\infty}(x^3-6x^2+9x+1)}={\lim_{x\to-\infty}x^3}={-\infty}$   și   ${\lim_{x\to+\infty}(1+5x^3-2x^4)}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^4)}={{-\infty}.}$

Funcții raționale la infinit

Aceeași idee, aplicată numărătorului și numitorului, dă o metodă rapidă pentru funcțiile raționale. Dacă ${c_n\ne0}$ și ${d_m\ne0},$ atunci

${\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}{d_0+d_1x+\ldots+d_mx^m}}={{\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.}$

Adică, contează numai termenii dominanți:

• dacă ${n\lt m}$ (gradul numărătorului este mai mic), limita este $0;$

• dacă ${n=m},$ limita este ${\frac{c_n}{d_m}},$ câtul coeficienților dominanți;

• dacă ${n\gt m},$ limita este $+\infty$ sau $-\infty;$ care dintre ele o decide semnul lui ${\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.$

Exemplul 8.

a) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{2x^2}}={{\frac{3}{2}}.}$

Se obține același rezultat împărțind numărătorul și numitorul la $x^2\text{:}$ fracția ${\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}}$ tinde la ${\frac{3-0+0}{2+0}}={\frac{3}{2}}.$

b) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{4x+1}{x^2-3}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4x}{x^2}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x}}={{0}.}$

c) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3-1}{2x+5}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{2x}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2}}={{+\infty}.}$

d) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2x^3}{x+1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^3}{x}}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^2)}={{-\infty}.}$

O strategie pentru calculul limitelor

1. Înlocuiește ${x=a}.$ Dacă funcția este un polinom, o funcție rațională al cărei numitor nu este $0$ în $a,$ sau un radical de ordinul $n$ ${\sqrt[n]{r(x)}}$ dintr-o astfel de funcție (cu ${r(a)\gt0}$ dacă $n$ este par), numărul obținut este limita.
2. Dacă obții ${\frac{\text{număr}}{0}}$ cu un număr ${\ne0},$ limitele laterale sunt $+\infty$ sau $-\infty\text{:}$ află semnul fracției de fiecare parte a lui $a.$
3. Dacă obții ${\frac{0}{0}},$ mai întâi simplifică: descompune în factori și elimină factorul comun sau înmulțește cu conjugata. Apoi înlocuiește din nou.
4. Când ${x\to\pm\infty},$ păstrează numai termenii dominanți (sau împarte numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$ care apare la numitor).

Probleme de exersat

1. Află ${\lim_{x\to-1}(2x^3-x+4)}.$

Răspuns

Prin înlocuire: ${2(-1)^3-(-1)+4}={-2+1+4}={{3}.}$

2. Află ${\lim_{x\to3}\frac{x^2+1}{x-1}}.$

Răspuns

Numitorul nu este $0$ în $3\text{:}$ ${\frac{9+1}{3-1}}={5}.$

3. Află ${\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x+3}}.$

Răspuns

Nedeterminare ${\frac{0}{0}}.$ Cum ${x^2+2x-3}={(x+3)(x-1)},$ limita este ${\lim_{x\to-3}(x-1)}={-4}.$

4. Află ${\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}}.$

Răspuns

Cum ${x^3-1}={(x-1)(x^2+x+1)},$ limita este ${1+1+1}={3}.$

5. Află ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}}.$

Răspuns

Înmulțește cu conjugata ${\sqrt{x+9}+3}\text{:}$ fracția devine ${\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}}={{\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}},}$ iar limita este ${\frac{1}{3+3}}={\frac{1}{6}}.$

6. Află ${\lim_{x\to3^-}\frac{x+1}{x-3}}$ și ${\lim_{x\to3^+}\frac{x+1}{x-3}}.$

Răspuns

Numărătorul tinde la $4.$ Pentru ${x\lt3}$ numitorul este un număr negativ apropiat de zero: $-\infty.$ Pentru ${x\gt3}$ este un număr pozitiv apropiat de zero: $+\infty.$

7. Află ${\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}}.$

Răspuns

Numărătorul tinde la $3$ iar numitorul este un număr pozitiv apropiat de zero de ambele părți: $+\infty.$

8. Află ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+7}{5x^3+4x^2}}.$

Răspuns

Gradele sunt egale: ${\frac{2}{5}}.$

9. Află ${\lim_{x\to+\infty}\frac{6x-1}{2x^2+3}}.$

Răspuns

Gradul numărătorului este mai mic: $0.$

10. Află ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{x-4}}$ și ${\lim_{x\to-\infty}(1+x^2-4x^5)}.$

Răspuns

${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x}}={\lim_{x\to-\infty}x}={-\infty}.$ ${\lim_{x\to-\infty}(-4x^5)}={+\infty},$ pentru că $x^5$ este negativ pentru ${x\lt0}.$

Vezi și: Limite (introducere intuitivă), Limite de șiruri și calculatorul de asimptote.