MeniuDivizori și multipli
Divizibilitatea unei sume și a unei diferențe
Adunarea și înmulțirea numerelor naturale sunt întotdeauna posibile. Împărțirea, în schimb, nu dă întotdeauna un rezultat exact: 20 ÷ 4 = 5, dar 20 ÷ 3 = 6 (rest 2). Această pagină arată cum afli dacă o împărțire lasă rest – adesea fără să faci împărțirea. Pentru verificări rapide cu ajutorul cifrelor, vezi criteriile de divizibilitate.
Divizori și multipli
Dacă a ÷ b nu lasă rest, atunci a este multiplu al lui b (a este divizibil cu b), iar b este divizor, sau factor, al lui a.
12 ÷ 3 = 4 → 12 este multiplu al lui 3, iar 3 este divizor al lui 12.
12 ÷ 5 = 2 (rest 2) → 12 nu este multiplu al lui 5, iar 5 nu este divizor al lui 12.
| Număr | Divizorii lui | Multiplii lui |
|---|---|---|
| 7 | 1, 7 | 7, 14, 21, 28, 35, … |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 12, 24, 36, 48, 60, … |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | 15, 30, 45, 60, 75, … |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | 18, 36, 54, 72, 90, … |
- 1 este divizor al oricărui număr.
- Orice număr este divizor și multiplu al său.
- Un număr are puțini divizori, dar multiplii lui nu se termină niciodată.
Exemplu: aflarea tuturor divizorilor lui 36
Scrie 36 ca produs de două numere în toate felurile posibile, începând cu 1:
1 × 36 2 × 18 3 × 12 4 × 9 6 × 6
5 nu merge (36 ÷ 5 = 7 (rest 1)), iar când cei doi factori se întâlnesc în 6 × 6, te poți opri.
Divizorii lui 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Divizibilitatea unei sume
Dacă toți termenii sunt divizibili cu un număr, suma este și ea divizibilă cu acel număr.
6 + 14 = 20 – toate divizibile cu 2
12 + 18 + 30 = 60 – toate divizibile cu 6
25 + 50 + 75 = 150 – toate divizibile cu 25
De ce? 12 = 6 × 2 și 18 = 6 × 3, deci 12 + 18 = 6 × 2 + 6 × 3 = 6 × 5. Suma rămâne un număr întreg de șase.
Dacă toți termenii, mai puțin unul, sunt divizibili cu un număr, suma nu este divizibilă cu acel număr.
Cu 3: 15 ✓ + 10 ✗ = 25 ✗
Cu 5: 10 ✓ + 30 ✓ + 8 ✗ = 48 ✗
Atenție: dacă doi sau mai mulți termeni nu sunt divizibili, regula nu spune nimic – verifică direct suma. Cu 4: 7 + 5 = 12 este divizibil, dar 7 + 2 = 9 nu este.
Verificare fără împărțire
Descompune numărul într-o parte rotundă, care este clar divizibilă, plus o parte mică.
| Este divizibil? | Descompunerea | Răspuns |
|---|---|---|
| 742 cu 7 | 700 ✓ + 42 ✓ | Da (742 = 7 × 106) |
| 1854 cu 6 | 1800 ✓ + 54 ✓ | Da (1854 = 6 × 309) |
| 1236 cu 12 | 1200 ✓ + 36 ✓ | Da (1236 = 12 × 103) |
| 4545 cu 45 | 4500 ✓ + 45 ✓ | Da (4545 = 45 × 101) |
| 3927 cu 13 | 3900 ✓ + 27 ✗ | Nu |
Divizibilitatea unei diferențe
Dacă descăzutul și scăzătorul sunt divizibili cu un număr, diferența este și ea divizibilă cu acel număr.
40 − 12 = 28 – toate divizibile cu 4
90 − 36 = 54 – toate divizibile cu 9
Dacă exact unul dintre ei nu este divizibil cu un număr, diferența nu este divizibilă cu acel număr.
Cu 10: 40 ✓ − 12 ✗ = 28 ✗
Cu 6: 40 ✗ − 12 ✓ = 28 ✗
Atenție: dacă niciunul dintre ei nu este divizibil, verifică direct diferența. Cu 3: 11 − 5 = 6 este divizibil, dar 11 − 4 = 7 nu este.
Verificare fără împărțire
Urcă până la un număr rotund care este clar divizibil și scade partea mică.
| Este divizibil? | Descompunerea | Răspuns |
|---|---|---|
| 792 cu 8 | 800 ✓ − 8 ✓ | Da (792 = 8 × 99) |
| 686 cu 7 | 700 ✓ − 14 ✓ | Da (686 = 7 × 98) |
| 1176 cu 24 | 1200 ✓ − 24 ✓ | Da (1176 = 24 × 49) |
| 2340 cu 13 | 2600 ✓ − 260 ✓ | Da (2340 = 13 × 180) |
| 395 cu 4 | 400 ✓ − 5 ✗ | Nu |
Rezumat
| Numerele pe care le aduni sau le scazi | Suma sau diferența |
|---|---|
| sunt toate divizibile cu un număr | este divizibilă cu acel număr |
| sunt toate divizibile, mai puțin unul | nu este divizibilă |
| includ două sau mai multe care nu sunt divizibile | poate fi sau nu – verific-o |
Încearcă singur
Fă clic pe o întrebare ca să vezi răspunsul.
1. Scrie toți divizorii lui 24.
1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6
Divizori: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2. Scrie primii cinci multipli ai lui 9.
9, 18, 27, 36, 45
3. Fără să împarți, este 2114 divizibil cu 7?
2114 = 2100 + 14, iar ambii termeni sunt divizibili cu 7.
Da (2114 = 7 × 302)
4. Fără să împarți, este 1188 divizibil cu 12?
1188 = 1200 − 12, iar ambele numere sunt divizibile cu 12.
Da (1188 = 12 × 99)
5. Fără să împarți, este 1445 divizibil cu 7?
1445 = 1400 + 45. 1400 este divizibil cu 7, dar 45 nu.
Nu
6. Adevărat sau fals: 9 + 15 = 24 și 24 este divizibil cu 4, deci 9 și 15 trebuie să fie divizibile cu 4.
Fals. Nici 9, nici 15 nu sunt divizibile cu 4. Regula funcționează doar într-un sens: dacă termenii sunt divizibili, suma este și ea divizibilă, dar nu și invers.
