Fracții

Pe această pagină: Ce este o fracție · Exemple · Împărțirea · Subunitare și supraunitare · Axa numerelor · Echivalente · Compararea · Operații · Fracție dintr-un număr · Test

Ce este o fracție?

Împarte un întreg (o tabletă de ciocolată, o pizza, un segment) în părți egale și ia câteva dintre aceste părți. Partea pe care ai luat-o se scrie ca o fracție.

Bara de mai sus este împărțită în $5$ părți egale și $3$ dintre ele sunt colorate. Partea colorată este $\frac{3}{5}$ din bară. Se citește „trei cincimi”.

În $\frac{3}{5}$ numărătorul este $3$ iar numitorul este $5.$ O fracție se poate scrie și pe un singur rând: 3/5.

Părțile trebuie să fie egale. Dacă o pizza este tăiată în $4$ bucăți de mărimi diferite, bucățile acelea nu sunt sferturi din pizza.

Cum se citesc fracțiile

Numărătorul se citește ca un număr cardinal (unu, trei, cinci), iar numitorul se citește cu terminația -ime (cincime, optime, zecime). Când numărătorul este mai mare decât $1,$ numitorul se pune la plural: $\frac{1}{5}$ este „o cincime”, $\frac{3}{5}$ este „trei cincimi”, $\frac{5}{8}$ este „cinci optimi”, iar $\frac{7}{10}$ este „șapte zecimi”. Trei numitori au cuvinte proprii: cu doi se spune „doime” sau „jumătate”, cu trei „treime”, iar cu patru „sfert”. Astfel, $\frac{1}{2}$ este „o doime” (jumătatea), $\frac{1}{4}$ este „un sfert”, $\frac{3}{4}$ este „trei sferturi”, iar $\frac{3}{2}$ este „trei doimi”. La numitorii mai mari de zece se adaugă de obicei terminația -ime: „cinci douăsprezecimi”, „trei cincisprezecimi”.

Exemple de fracții

Exemplul 1. Lucia, Sofia și Matei își împart în părți egale o tabletă de ciocolată. Ce parte din tabletă îi revine fiecăruia? Ce parte au Lucia și Sofia împreună?

Rup tableta în $3$ bucăți egale, deci fiecăruia îi revine $\frac{1}{3}$ din tabletă. Cele două fete împreună au $2$ din cele $3$ bucăți, adică $\frac{2}{3}$ din tabletă. Matei are $\frac{1}{3}$ rămasă. Cele trei bucăți formează tableta întreagă: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1}.$

Exemplul 2. Ce parte din baloane sunt galbene?

Răspuns

Sunt $5$ baloane și $2$ dintre ele sunt galbene, deci $\frac{2}{5}$ din baloane sunt galbene. Celelalte $3$ baloane, $\frac{3}{5}$ din total, sunt verzi.

Exemplul 3. Ce parte din cutie este goală?

Răspuns

Cutia are $8$ locuri și $1$ dintre ele este gol, deci $\frac{1}{8}$ din cutie este goală. Cele $7$ mere ocupă $\frac{7}{8}$ din cutie.

Fracția este o împărțire

Se împart trei pizza în părți egale între patru copii. Taie fiecare pizza în $4$ sferturi. Se obțin $12$ sferturi și fiecărui copil îi revin $3$ dintre ele: $\frac{3}{4}$ de pizza. Prin urmare, ${3:4=\frac{3}{4}}.$

Linia de fracție arată o împărțire: ${\frac{a}{b}=a : b}.$

Așadar, o fracție este un număr. Făcând împărțirea, se obține un număr zecimal sau un număr întreg: ${\frac{3}{4}=3:4=0{,}75},$ ${\frac{1}{2}=0{,}5}$ și ${\frac{6}{3}=2}.$

Numitorul nu este niciodată $0.$ Un întreg nu se poate împărți în $0$ părți, iar împărțirea la zero nu este definită. În orice fracție $\frac{a}{b}$ se respectă că ${b\ne 0}.$

În algebră, numărătorul și numitorul pot fi și numere întregi negative (numitorul tot nu poate fi $0$), de exemplu, ${\frac{-2}{3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}}.$ Numerele care se pot scrie ca o fracție $\frac{a}{b},$ unde $a$ și $b$ sunt numere întregi și ${b\ne 0},$ se numesc numere raționale. În restul acestei pagini, numărătorii și numitorii sunt numere întregi pozitive.

Fracții subunitare și supraunitare

O fracție este subunitară dacă numărătorul ei este mai mic decât numitorul, de exemplu, $\frac{3}{4},$ $\frac{5}{8}$ și $\frac{1}{10}.$ Luăm mai puține părți decât are întregul, deci o fracție subunitară este mai mică decât $1.$

O fracție este supraunitară dacă numărătorul ei este mai mare sau egal cu numitorul, de exemplu, $\frac{7}{4},$ $\frac{5}{5}$ și $\frac{9}{2}.$ O fracție supraunitară este mai mare sau egală cu $1.$ De exemplu, ${\frac{5}{5}=1},$ deoarece $5$ cincimi formează întregul.

O fracție supraunitară poate fi și un număr întreg: ${\frac{8}{4}=2}$ și ${\frac{12}{4}=3}.$ Orice număr întreg se poate scrie ca o fracție cu numitorul $1,$ și, de asemenea, cu orice alt numitor: ${5=\frac{5}{1}=\frac{10}{2}=\frac{15}{3}}.$

Fracții pe axa numerelor

Fiecare fracție este un punct pe axa numerelor. Ca să marchezi $\frac{3}{4},$ împarte segmentul de la $0$ la $1$ în $4$ părți egale și numără $3$ părți spre dreapta de la $0$ (punctul albastru). Ca să marchezi $\frac{7}{4},$ numără $7$ dintre aceste părți (punctul portocaliu).

Fracțiile subunitare se află între $0$ și $1.$ Punctul $\frac{4}{4}$ este numărul $1,$ iar fracția supraunitară $\frac{7}{4}$ se află la dreapta lui $1.$

Același punct poate avea mai multe nume: $\frac{2}{4}$ și $\frac{1}{2}$ sunt același punct, și tot așa sunt $\frac{6}{4}$ și $\frac{3}{2}.$ Dintre două fracții, cea mai mare este cea care se află mai la dreapta pe axa numerelor.

Fracții echivalente

Cele trei cercuri de mai jos au aceeași mărime. Primul este împărțit în $2$ părți egale, al doilea în $4$ iar al treilea în $6,$ și în fiecare este colorată jumătate din cerc.

Partea colorată este aceeași în cele trei cercuri, deci ${\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}}.$ Fracțiile care sunt egale între ele se numesc fracții echivalente.

Obținem $\frac{2}{4}$ din $\frac{1}{2}$ înmulțind numărătorul și numitorul cu $2\text{:}$ fiecare jumătate se taie în $2$ bucăți, deci sunt de două ori mai multe părți și, de asemenea, de două ori mai multe părți colorate. La fel, $\frac{3}{6}$ este $\frac{1}{2}$ cu cele două numere înmulțite cu $3.$

Amplificarea unei fracții

Ca să scrii $\frac{3}{4}$ cu numitorul $20,$ întreabă-te cu ce număr trebuie înmulțit $4$ ca să se obțină $20.$ Răspunsul este $5,$ deci înmulțește și numărătorul cu $5\text{:}$

${\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}}$

Aceasta se numește amplificarea unei fracții. Așa se scriu fracțiile cu un numitor comun înainte de a le aduna, a le scădea sau a le compara.

Simplificarea fracțiilor

Ca să simplifici o fracție, împarte numărătorul și numitorul ei la același număr mai mare decât $1$ (un divizor comun). Valoarea fracției nu se schimbă, dar numerele devin mai mici. O fracție este ireductibilă (nu se mai poate simplifica) când numărătorul și numitorul ei nu au alt divizor comun decât $1,$ cum sunt $\frac{3}{4}$ sau $\frac{5}{8}.$

Exemplu: simplifică $\frac{18}{24}.$ Ambele numere sunt pare, deci împarte-le la $2\text{:}$ ${\frac{18}{24}=\frac{9}{12}}.$ Atât $9$ cât și $12$ sunt divizibile cu $3\text{:}$ ${\frac{9}{12}=\frac{3}{4}}.$

Este mai rapid să împarți dintr-o dată la cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numărătorului și numitorului. C.m.m.d.c. al lui $18$ și $24$ este $6,$ deci

${\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}}.$

Sunt egale două fracții?

Două fracții $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ sunt egale dacă produsele pe diagonală sunt egale, și numai în acest caz: ${a\cdot d=b\cdot c}.$

Exemplu: $\frac{6}{8}$ și $\frac{9}{12}.$ Produsele pe diagonală sunt ${6\cdot 12=72}$ și ${8\cdot 9=72}.$ Sunt egale, deci ${\frac{6}{8}=\frac{9}{12}}$ (cele două fracții sunt egale cu $\frac{3}{4}$). În schimb, ${\frac{2}{3}\ne\frac{3}{5}},$ deoarece ${2\cdot 5=10}$ și ${3\cdot 3=9}.$

Compararea fracțiilor

Fracții cu același numitor

Dintre două fracții cu același numitor, este mai mare cea care are numărătorul mai mare.

Părțile au aceeași mărime, deci cu cât se iau mai multe părți, cu atât fracția este mai mare: ${\frac{4}{5}\gt\frac{3}{5}\gt\frac{2}{5}}.$

Fracții cu același numărător

Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare cea care are numitorul mai mic.

Cu cât întregul are mai puține părți, cu atât fiecare parte este mai mare: un sfert de pizza este mai mare decât o cincime. De aceea ${\frac{3}{4}\gt\frac{3}{5}\gt\frac{3}{20}}.$

Numărători și numitori diferiți

Scrie fracțiile cu un numitor comun și compară numărătorii lor.

Exemplu: compară $\frac{3}{4}$ și $\frac{5}{7}.$ Un numitor comun este ${4\cdot 7=28},$ și ${\frac{3}{4}=\frac{21}{28}},$ ${\frac{5}{7}=\frac{20}{28}}.$ Deoarece ${21\gt 20},$ rezultă că ${\frac{3}{4}\gt\frac{5}{7}}.$

Cu produsele pe diagonală se ajunge mai repede la același răspuns. Înmulțește numărătorul fiecărei fracții cu numitorul celeilalte: ${3\cdot 7=21}$ pentru $\frac{3}{4}$ și ${5\cdot 4=20}$ pentru $\frac{5}{7}.$ Este mai mare fracția care are produsul mai mare: ${21\gt 20},$ deci ${\frac{3}{4}\gt\frac{5}{7}}.$

Uneori ajută numărul $\frac{1}{2}.$ Avem ${\frac{4}{9}\lt\frac{1}{2}},$ deoarece $4$ este mai mic decât jumătatea lui $9,$ și ${\frac{5}{8}\gt\frac{1}{2}},$ deoarece $5$ este mai mare decât jumătatea lui $8.$ Deci ${\frac{4}{9}\lt\frac{5}{8}}$ fără să facem niciun calcul.

Schimbarea numai a numărătorului sau numai a numitorului

Dacă numărătorul se înmulțește cu un număr, iar numitorul nu se schimbă, fracția se înmulțește cu acel număr: ${\frac{2\cdot 3}{7}=\frac{6}{7}},$ care este de $3$ ori $\frac{2}{7}.$

Dacă numitorul se înmulțește cu un număr diferit de $0$ iar numărătorul nu se schimbă, fracția se împarte la acel număr: ${\frac{2}{7\cdot 3}=\frac{2}{21}},$ care este a treia parte din $\frac{2}{7}.$

Operații cu fracții

Iată regulile, fiecare cu un exemplu. Calculatorul de la începutul paginii rezolvă pas cu pas probleme de acest fel.

Adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor

${\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}}$

${\frac{4}{5}-\frac{2}{5}=\frac{4-2}{5}=\frac{2}{5}}$

O cincime plus două cincimi sunt trei cincimi, la fel cum $1$ măr plus $2$ mere sunt $3$ mere. Numitorul arată doar mărimea părților.

Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi scrie fracțiile cu un numitor comun: un număr care este divizibil cu ambii numitori. Cel mai comod este cel mai mic numitor comun, adică cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numitorilor.

Exemplu: ${\frac{5}{6}+\frac{3}{4}}.$ C.m.m.m.c. al lui $6$ și $4$ este $12.$ Deoarece ${12:6=2}$ și ${12:4=3},$ înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu $2$ iar pe cei ai celei de-a doua cu $3\text{:}$

${\frac{5}{6}+\frac{3}{4}}={\frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}+\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}={\frac{10}{12}+\frac{9}{12}}={\frac{19}{12}}$

Produsul numitorilor este întotdeauna un numitor comun. Așa se obține o regulă pentru două fracții oarecare:

${\frac{3}{5}-\frac{1}{2}}={\frac{3\cdot 2-5\cdot 1}{5\cdot 2}}={\frac{6-5}{10}}={\frac{1}{10}}$

Cu numitori mai mari, produsul dă numere mai mari și de multe ori trebuie să simplifici rezultatul: ${\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{6+4}{24}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}}.$ Cu cel mai mic numitor comun $12$ este mai scurt: ${\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}}.$

Înmulțirea fracțiilor

${\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{8}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 8}=\frac{21}{40}}$

Este mai ușor să simplifici înainte de a înmulți. În ${\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}}$ împarte $4$ și $8$ la $4,$ și $3$ și $9$ la $3\text{:}$

${\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}}={\frac{4\cdot 3}{9\cdot 8}}={\frac{1\cdot 1}{3\cdot 2}}={\frac{1}{6}}$

Ca să înmulțești o fracție cu un număr întreg, înmulțește doar numărătorul: ${3\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot 2}{5}=\frac{6}{5}}.$

Împărțirea fracțiilor

Două numere sunt inverse dacă produsul lor este $1.$ Ca să obții inversa unei fracții, schimbă între ele numărătorul și numitorul: inversa lui $\frac{2}{9}$ este $\frac{9}{2},$ iar inversul lui $5$ este $\frac{1}{5}.$ Numărul $0$ nu are invers.

${\frac{3}{5}:\frac{2}{9}=\frac{3}{5}\cdot\frac{9}{2}=\frac{27}{10}}$

De ce funcționează? Câte doimi sunt în $3$ întregi? Fiecare întreg are $2$ doimi, deci sunt $6$ doimi: ${3:\frac{1}{2}=3\cdot 2=6}.$ A împărți la $\frac{1}{2}$ este același lucru cu a înmulți cu $2.$

Fracție dintr-un număr

Fracția unui număr. Câte mere reprezintă $\frac{3}{4}$ din $20$ mere? Un sfert din $20$ este ${20:4=5},$ iar trei sferturi sunt ${3\cdot 5=15}$ mere. Ca să calculezi o fracție dintr-un număr, înmulțește numărul cu fracția:

${\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{3\cdot 20}{4}=15}$

Un număr când se cunoaște o fracție din el. Cei $\frac{2}{5}$ dintre elevii unei clase sunt $12$ elevi. Câți elevi are clasa? Două cincimi sunt $12$ elevi, deci o cincime sunt ${12:2=6}$ elevi, iar toată clasa (cinci cincimi) are ${5\cdot 6=30}$ elevi. Ca să calculezi un număr când cunoști o fracție din el, împarte la fracție:

${12:\frac{2}{5}=12\cdot\frac{5}{2}=30}$

Ce parte este un număr din altul. În aceeași clasă, $8$ dintre cei $30$ elevi poartă ochelari. Sunt ${\frac{8}{30}=\frac{4}{15}}$ din clasă: partea se pune la numărător, iar totalul, la numitor. Întrebările 1–3 din testul de mai jos sunt de acest fel.

Test despre fracții

Alege un răspuns pentru fiecare întrebare și dă clic pe Trimite. Sub fiecare întrebare la care ai răspuns va apărea o explicație. Întrebările marcate cu * sunt mai grele.