Criterii de divizibilitate

Un număr întreg este divizibil cu un alt număr întreg atunci când împărțirea nu lasă rest. De exemplu, 84 este divizibil cu 7 pentru că 84 ÷ 7 = 12 cu restul 0, dar 85 nu este divizibil cu 7 pentru că 85 ÷ 7 = 12 cu restul 1.

Criteriile următoare permit verificarea divizibilității fără să faci împărțirea. Fiecare criteriu este însoțit de un număr care îl respectă și de altul care nu îl respectă.

Criteriile de divizibilitate dintr-o privire
Divizibil cu	Criteriul	Divizibil	Nedivizibil
2	Ultima cifră este pară: 0, 2, 4, 6 sau 8.	258 se termină în 8.	347 se termină în 7, care este impar.
3	Suma cifrelor este divizibilă cu 3.	246: 2 + 4 + 6 = 12, iar 12 = 3 × 4.	247: 2 + 4 + 7 = 13, care nu este divizibil cu 3.
4	Ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4.	316: 16 = 4 × 4.	530: 30 nu este divizibil cu 4.
5	Ultima cifră este 0 sau 5.	135 se termină în 5, 770 se termină în 0.	572 se termină în 2.
6	Numărul este divizibil și cu 2, și cu 3.	282 este par, iar 2 + 8 + 2 = 12.	471: 4 + 7 + 1 = 12, dar 471 este impar.
7	Se dublează ultima cifră și se scade din numărul format din celelalte cifre. Dacă rezultatul este divizibil cu 7, atunci și numărul inițial este (0 și rezultatele negative se pun și ele la socoteală). La numerele lungi, pasul se repetă.	203: 20 − 2 × 3 = 14 = 7 × 2. 119: 11 − 2 × 9 = −7. 2464: 246 − 2 × 4 = 238, apoi 23 − 2 × 8 = 7.	326: 32 − 2 × 6 = 20, care nu este divizibil cu 7.
8	Ultimele trei cifre formează un număr divizibil cu 8.	1112: 112 = 8 × 14.	1250: 250 = 8 × 31 + 2, deci restul este 2.
9	Suma cifrelor este divizibilă cu 9.	819: 8 + 1 + 9 = 18 = 9 × 2.	725: 7 + 2 + 5 = 14.
10	Ultima cifră este 0.	2340 se termină în 0.	2345 se termină în 5.
11	Pornind de la ultima cifră, se adună și se scad cifrele alternativ (+ − + − …). Dacă rezultatul este divizibil cu 11, atunci și numărul este (0 și rezultatele negative se pun și ele la socoteală).	4829: 9 − 2 + 8 − 4 = 11. 1331: 1 − 3 + 3 − 1 = 0.	1234: 4 − 3 + 2 − 1 = 2.
12	Numărul este divizibil și cu 3, și cu 4.	348: 3 + 4 + 8 = 15, iar 48 = 4 × 12.	138: 1 + 3 + 8 = 12, dar 38 nu este divizibil cu 4.
25	Ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75.	1375 se termină în 75.	1340 se termină în 40.

Atenție

Pentru 4 trebuie să te uiți la ultimele două cifre, nu doar la ultima: 34 se termină în 4 și, cu toate acestea, 34 nu este divizibil cu 4.
Două criterii se pot combina doar când numerele nu au niciun factor comun în afară de 1. Pentru 12 se folosesc 3 și 4, niciodată 2 și 6: 18 este divizibil cu 2 și cu 6, dar nu cu 12.
Orice număr divizibil cu 9 este divizibil cu 3, dar nu și invers: 12 este divizibil cu 3, iar suma cifrelor lui, 1 + 2 = 3, arată că nu este divizibil cu 9.

De ce funcționează criteriile?

2, 5 și 10. Orice număr este un număr de zeci plus ultima lui cifră, de exemplu 258 = 250 + 8. Un număr de zeci este întotdeauna divizibil cu 2, cu 5 și cu 10, pentru că 10 = 2 × 5. De aceea decide doar ultima cifră.

4, 25 și 8. 100 = 4 × 25, deci orice număr de sute este divizibil cu 4 și cu 25. În 316 = 300 + 16 contează doar 16. La fel, 1000 = 8 × 125, deci pentru 8 contează doar ultimele trei cifre.

3 și 9. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 și 1000 = 999 + 1. Prin urmare
246 = 2 × 100 + 4 × 10 + 6 = (2 × 99 + 4 × 9) + (2 + 4 + 6).
Prima paranteză este întotdeauna divizibilă cu 9, și deci cu 3, așa că numărul și suma cifrelor lui dau același răspuns.

11. 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1 și 1000 = 1001 − 1, unde 1001 = 11 × 91. Fiecare valoare pozițională este un multiplu de 11 plus sau minus 1; de aceea cifrele se adună și se scad alternativ.

7. Scriem numărul ca 10a + b, unde b este ultima cifră, iar a este numărul format din celelalte cifre. Atunci
2 × (10a + b) = 21a − (a − 2b).
21a este întotdeauna divizibil cu 7, deci 10a + b este divizibil cu 7 exact atunci când este a − 2b. (Dublarea unui număr nu schimbă faptul că este sau nu divizibil cu 7.)

6 și 12. Un număr divizibil cu 2 și cu 3 conține ambii factori, deci este divizibil cu 2 × 3 = 6. Același lucru se întâmplă cu 3 și 4, care dau 12. Acest lucru funcționează doar pentru că 2 și 3 (și, de asemenea, 3 și 4) nu au niciun factor comun; de aceea nu se pot folosi 2 și 6 pentru 12.

Exersare

Mai multe despre divizibilitate

Divizibilitatea cu 2
Divizibilitatea cu 3 și 9
Divizibilitatea cu 4
Divizibilitatea cu 5
Divizibilitatea cu 25