Progresia aritmetică

Calculator pentru progresii aritmetice

Scrie primul termen, rația și numărul de termeni. Apasă butonul ca să vezi rezultatul și calculele.

Ce este o progresie aritmetică?

O progresie aritmetică (sau șir aritmetic) este un șir de numere în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obține adunând la cel dinainte mereu același număr. Acest număr se notează cu $d$ și se numește rația progresiei.

Exemple

• $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots$ este o progresie aritmetică de rație ${d=1}.$
• $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ este o progresie aritmetică de rație ${d=3},$ deoarece ${7-4}={10-7}={13-10}={3}.$
• $20,\ 10,\ 0,\ -10,\ -20,\ \ldots$ este o progresie aritmetică de rație ${d=-10}.$
• $5,\ 5,\ 5,\ 5,\ \ldots$ este și ea o progresie aritmetică, de rație ${d=0}.$
• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ nu este o progresie aritmetică: diferențele ${2-1=1}$ și ${4-2=2}$ nu sunt egale. (Aici fiecare termen este dublul celui dinainte. Un astfel de șir este o progresie geometrică.)

Ca să afli rația, scade din orice termen pe cel dinainte: ${d=a_2-a_1}={a_3-a_2}=\ldots$

Pe această pagină: Calculator · Notații · Termenul general · Proprietăți · Suma primilor $n$ termeni · Probleme rezolvate · Exerciții

Notații

• $a_1$ este primul termen al progresiei;
• $a_n$ este termenul de pe locul $n$ (termenul general);
• $d$ este rația: ${d=a_{n+1}-a_n}$ pentru orice $n;$
• $S_n$ este suma primilor $n$ termeni: ${S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}.$ Suma termenilor unei progresii aritmetice se numește și serie aritmetică.

Dacă ${d\gt 0},$ fiecare termen este mai mare decât cel dinainte, iar progresia este crescătoare. Dacă ${d\lt 0},$ progresia este descrescătoare. Dacă ${d=0},$ toți termenii sunt egali, iar progresia este constantă.

Formula termenului general

Pornim de la $a_1$ și adunăm $d$ iar și iar:

${a_2=a_1+d},$   ${a_3}={a_2+d}={a_1+2d},$   ${a_4=a_1+3d},$   ${a_5=a_1+4d},$   $\ldots$

Ajungem la $a_n$ după ${n-1}$ pași, deci la $a_1$ am adunat rația $d$ de exact ${n-1}$ ori:

Exemplu. Află al douăzecilea termen al progresiei $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Aici ${a_1=4}$ și ${d=3},$ deci

${a_{20}}={a_1+19d}={4+19\cdot 3}={61}$

De la $a_1$ la $a_{20}$ sunt 19 pași, nu 20. De aceea rația se înmulțește cu ${n-1}$ și nu cu $n.$

Putem porni și de la orice alt termen $a_k.$ De la $a_k$ la $a_n$ sunt ${n-k}$ pași:

Exemplu. Într-o progresie aritmetică ${a_3=7}$ și ${a_8=22}.$ Află $a_1$ și $d.$

De la $a_3$ la $a_8$ sunt 5 pași, deci

${d}={\frac{a_8-a_3}{8-3}}={\frac{22-7}{5}}={3},$   ${a_1}={a_3-2d}={7-6}={1}$

Progresia este $1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Termenii se află pe o dreaptă

Formula termenului general se poate scrie și astfel: ${a_n}={a_1+(n-1)d}={dn+(a_1-d)}.$ Este o funcție de gradul întâi de rangul $n.$ Dacă desenăm punctele ${(n;\ a_n)},$ ele se află pe aceeași dreaptă, iar rația $d$ arată cât urcă dreapta la fiecare pas spre dreapta. Pentru progresia $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ avem ${a_n=3n+1}$:

Punctele ${(n;\ a_n)}$ ale progresiei ${a_n=3n+1}.$ Fiecare punct este cu ${d=3}$ mai sus decât cel dinainte.

Proprietăți

Fiecare termen este media aritmetică a vecinilor săi

Termenul dinainte este ${a_{n-1}=a_n-d}$ iar cel de după este ${a_{n+1}=a_n+d}.$ Când le adunăm, $d$ se reduce: ${a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n}.$ Prin urmare

Fiecare termen (în afară de primul) este media aritmetică a celui dinainte și a celui de după. De aici vine numele progresiei. Este adevărată și reciproca: dacă fiecare termen, în afară de primul, este media aritmetică a vecinilor săi, șirul este o progresie aritmetică.

Astfel, trei numere $a,$ $b,$ $c$ (în această ordine) formează o progresie aritmetică exact atunci când ${2b=a+c}.$

La fel, fiecare termen este media aritmetică a doi termeni aflați la aceeași distanță de el: ${a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}$ pentru ${k\lt n}.$

Termeni echidistanți de extreme

Doi termeni aflați la aceeași distanță de început și de sfârșit au întotdeauna aceeași sumă:

Motivul: dacă înaintăm un loc spre dreapta în față și un loc spre stânga în spate, primul termen crește cu $d$ iar al doilea scade cu $d.$ În general, dacă ${m+k=p+q},$ atunci ${a_m+a_k=a_p+a_q}.$

Exemplu. În progresia $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ 41,\ 51$:

${1+51}={11+41}={21+31}={52}$

${11}={\frac{1+21}{2}},$   ${21}={\frac{11+31}{2}},$   ${31}={\frac{21+41}{2}}$

Suma primilor $n$ termeni

Se spune că, pe când Carl Friedrich Gauss era elev, învățătorul le-a cerut copiilor din clasă să adune toate numerele de la 1 la 100. Gauss a răspuns aproape imediat: a adunat primul număr cu ultimul, al doilea cu penultimul și tot așa mai departe.

${1+100}={2+99}={3+98}=\ldots={50+51}={101}$

Sunt 50 de perechi, deci suma este ${50\cdot 101=5050}.$

Aceeași idee merge pentru orice progresie aritmetică. Scriem suma de două ori, a doua oară în ordine inversă:

$$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n\\S_n&=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1\end{aligned}$$

Adunăm cele două egalități coloană cu coloană. În fiecare coloană sunt doi termeni echidistanți de extreme, deci fiecare coloană are suma ${a_1+a_n}.$ Sunt $n$ coloane, prin urmare ${2S_n=(a_1+a_n)\,n}.$

Suma ${1+3+5+7+9}$ scrisă de două ori: coloanele albastre și cele portocalii formează un dreptunghi de ${5\times 10},$ deci ${2S_5=50}$ și ${S_5=25}.$

Prima formulă este comodă când cunoști ultimul termen; a doua, când cunoști rația.

Exemplul 1. ${1+2+3+\ldots+100}={\frac{(1+100)\cdot 100}{2}}={5050}.$

Exemplul 2. Suma primelor $n$ numere impare este

${1+3+5+\ldots+(2n-1)}={\frac{\bigl(1+(2n-1)\bigr)\,n}{2}}={n^2}$

De exemplu, ${1+3+5+7+9}={25}={5^2},$ cum se vede în desen.

Invers: de la sumă la termen. Dacă cunoaștem sumele, termenii se obțin prin scădere: ${a_1=S_1},$ iar pentru ${n\ge 2}$ avem ${a_n=S_n-S_{n-1}}.$

Probleme rezolvate

Problema 1. Este șirul $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$ o progresie aritmetică?

Rezolvare: Da. Fiecare termen este cu 10 unități mai mare decât cel dinainte, adică este o progresie aritmetică cu ${a_1=1}$ și ${d=10}.$ Termenul ei general este ${a_n}={1+(n-1)\cdot 10}={10n-9}.$

Problema 2. Află suma primilor 10 termeni ai progresiei $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$

Rezolvare: Aici ${a_1=1},$ ${d=10}$ și ${n=10}$:

${S_{10}}={\frac{(2\cdot 1+9\cdot 10)\cdot 10}{2}}={92\cdot 5}={460}$

Verificare cu cealaltă formulă: ${a_{10}}={1+9\cdot 10}={91}$ și ${S_{10}}={\frac{(1+91)\cdot 10}{2}}={460}.$

Problema 3. Este 100 un termen al progresiei $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots?$ Dar 200?

Rezolvare: Termenul general este ${a_n}={4+(n-1)\cdot 3}={3n+1}.$ Căutăm un număr natural $n$ astfel încât

${3n+1=100},$   ${3n=99},$   ${n=33}$

Deci ${a_{33}=100}.$ Pentru 200 obținem ${3n=199},$ și 199 nu se împarte exact la 3. Numărul 200 nu este termen al progresiei.

Problema 4. Intercalează trei numere între 2 și 14 astfel încât cele cinci numere să formeze o progresie aritmetică.

Rezolvare: Căutăm o progresie cu ${a_1=2}$ și ${a_5=14}.$ De la $a_1$ la $a_5$ sunt 4 pași:

${d}={\frac{14-2}{4}}={3}$

Numerele sunt $5,\ 8,\ 11,$ iar progresia este $2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14.$

Problema 5. Află suma tuturor numerelor de două cifre divizibile cu 3.

Rezolvare: Sunt numerele $12,\ 15,\ 18,\ \ldots,\ 99,$ o progresie aritmetică cu ${a_1=12}$ și ${d=3}.$ Câte sunt, aflăm din ${a_n=99}$:

${12+(n-1)\cdot 3=99},$   ${(n-1)\cdot 3=87},$   ${n-1=29},$   ${n=30}$

${S_{30}}={\frac{(12+99)\cdot 30}{2}}={111\cdot 15}={1665}$

Problema 6. Câți termeni ai progresiei $3,\ 7,\ 11,\ \ldots$ trebuie adunați ca să obținem 210?

Rezolvare: Aici ${a_1=3}$ și ${d=4}$:

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 3+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={\frac{(4n+2)\,n}{2}}={2n^2+n}$

Rezolvăm ${2n^2+n=210},$ adică ${2n^2+n-210=0}$:

${D}={1+4\cdot 2\cdot 210}={1681}={41^2},$   ${n}={\frac{-1+41}{4}}={10}$

Cealaltă rădăcină, ${\frac{-1-41}{4}=-10{,}5},$ nu este număr natural. Răspuns: 10 termeni. Verificare: ${a_{10}=3+9\cdot 4=39}$ și ${S_{10}}={\frac{(3+39)\cdot 10}{2}}={210}.$

Problema 7. Trei numere formează o progresie aritmetică. Suma lor este 15, iar produsul lor este 80. Află numerele.

Rezolvare: Este comod să notăm cu $x$ numărul din mijloc și cu ${x-d}$ și ${x+d}$ pe celelalte două. Atunci

${(x-d)+x+(x+d)}={3x}={15},$   de unde ${x=5}$

${(5-d)\cdot 5\cdot (5+d)}={80},$   ${25-d^2=16},$   ${d^2=9},$   ${d=\pm 3}$

Numerele sunt $2,\ 5,\ 8$ (cu ${d=3}$) sau $8,\ 5,\ 2$ (cu ${d=-3}$).

Problema 8. Suma primilor $n$ termeni ai unui șir este ${S_n=n^2+2n}$ pentru orice $n.$ Demonstrează că șirul este o progresie aritmetică și află termenul său general.

Rezolvare: ${a_1=S_1=3}.$ Pentru ${n\ge 2}$:

${a_n}={S_n-S_{n-1}}={n^2+2n-(n-1)^2-2(n-1)}={2n+1}$

Formula ${a_n=2n+1}$ dă și ${a_1=3}$ pentru ${n=1}.$ Cum ${a_{n+1}-a_n=2}$ pentru orice $n,$ șirul este o progresie aritmetică cu ${a_1=3}$ și ${d=2}$: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$

Problema 9. O sală are 15 rânduri. În primul rând sunt 20 de locuri, iar în fiecare rând următor sunt cu 2 locuri mai multe decât în cel dinainte. Câte locuri sunt în ultimul rând și câte sunt în total?

Rezolvare: Numărul de locuri pe rând formează o progresie aritmetică cu ${a_1=20},$ ${d=2}$ și ${n=15}$:

${a_{15}}={20+14\cdot 2}={48},$   ${S_{15}}={\frac{(20+48)\cdot 15}{2}}={510}$

În ultimul rând sunt 48 de locuri, iar în sală sunt 510 locuri în total.

Problema 10. Numerele ${\frac{1}{b+c}},$ ${\frac{1}{c+a}},$ ${\frac{1}{a+b}}$ formează o progresie aritmetică. Demonstrează că numerele $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ formează și ele o progresie aritmetică.

Rezolvare: Termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi:

${\frac{2}{c+a}}={\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}}={\frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)}}$

Numitorii nu sunt 0 (altfel fracțiile n-ar exista), deci putem înmulți pe diagonală:

${2(b+c)(a+b)}={(a+2b+c)(c+a)}$

Partea stângă este ${2ab+2b^2+2ac+2bc}.$ Partea dreaptă este ${(a+c)^2+2b(a+c)}={a^2+2ac+c^2+2ab+2bc}.$ Reducând termenii egali rămâne

${2b^2=a^2+c^2}$

Adică $b^2$ este media aritmetică a lui $a^2$ și $c^2,$ deci $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ formează o progresie aritmetică.

Exerciții

Încearcă mai întâi singur, apoi deschide răspunsul.

1. Află ${a_{15}}$ din progresia $2,\ 9,\ 16,\ \ldots$

${d=7},$ ${a_{15}}={2+14\cdot 7}={100}$

2. ${a_1=10}$ și ${d=-3}.$ Află ${a_{12}}$ și ${S_{12}}.$

${a_{12}}={10+11\cdot(-3)}={-23},$   ${S_{12}}={\frac{(10-23)\cdot 12}{2}}={-78}$

3. ${a_5=17}$ și ${a_{12}=45}.$ Află $a_1$ și $d.$

${d}={\frac{45-17}{12-5}}={4},$   ${a_1}={a_5-4d}={17-16}={1}$

4. Care termen al progresiei $5,\ 9,\ 13,\ \ldots$ este egal cu 101?

${a_n}={5+(n-1)\cdot 4}={4n+1},$   ${4n+1=101},$   ${n=25}.$ Este ${a_{25}}.$

5. Pentru ce valoare a lui $x$ numerele ${x+1},$ ${3x},$ ${4x+2}$ formează o progresie aritmetică?

${2\cdot 3x}={(x+1)+(4x+2)},$ adică ${6x=5x+3}$ și ${x=3}.$ Numerele sunt $4,\ 9,\ 14,$ de rație 5.

6. Află ${S_{20}}$ dacă ${a_1=3}$ și ${a_{20}=60}.$

${S_{20}}={\frac{(3+60)\cdot 20}{2}}={630}$

7. Află suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 200 care sunt divizibile cu 7.

Sunt numerele $7,\ 14,\ \ldots,\ 196.$ Cum ${196=7\cdot 28},$ sunt 28. ${S_{28}}={\frac{(7+196)\cdot 28}{2}}={203\cdot 14}={2842}$

8. Unghiurile unui triunghi formează o progresie aritmetică. Află unghiul din mijloc.

Unghiurile sunt ${\alpha-d},$ $\alpha,$ ${\alpha+d}$ iar suma lor este ${3\alpha=180^\circ}.$ Unghiul din mijloc este ${\alpha=60^\circ},$ oricare ar fi celelalte două.

9. ${S_5=40}$ și ${S_{10}=155}.$ Află $a_1$ și $d.$

${S_5}={\frac{(2a_1+4d)\cdot 5}{2}}={5a_1+10d}={40},$ adică ${a_1+2d=8}.$

${S_{10}}={\frac{(2a_1+9d)\cdot 10}{2}}={10a_1+45d}={155},$ adică ${2a_1+9d=31}.$

Din prima ecuație ${a_1=8-2d};$ apoi ${16-4d+9d=31},$ ${d=3}$ și ${a_1=2}.$

10. Un grădinar plantează 12 pomi în prima zi și în fiecare zi următoare cu 4 mai mulți decât în ziua dinainte. În câte zile va planta 168 de pomi?

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 12+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={2n^2+10n}.$ Din ${2n^2+10n=168}$ obținem ${n^2+5n-84=0}$ și ${n=7}$ (cealaltă rădăcină este $-12$). În 7 zile.

Vezi și: Progresia geometrică