Proprietățile funcțiilor continue

Intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul ei poate fi desenat fără să ridici creionul de pe hârtie: fără goluri, fără salturi, fără întreruperi. În această lecție vom transforma această idee într-o definiție precisă, bazată pe limite (vezi „Limite și metode de calcul”), și vom vedea care funcții sunt continue și la ce folosește continuitatea.

Pe această pagină: Continuitatea într-un punct · Tipuri de discontinuități · Pe un interval · Polinoame și funcții raționale · Funcții compuse · Continuitatea laterală · Teorema valorii intermediare · Probleme

Continuitatea într-un punct

Este ușor de văzut pe grafic dacă o funcție este continuă într-un punct $c.$ Acestea sunt patru moduri tipice în care graficul se poate rupe în ${x=c}\text{:}$

• În prima figură, $f$ nu este definită în $c\text{:}$ graficul are un gol.

• În a doua figură, limita la stânga și limita la dreapta sunt diferite, deci ${\lim_{x\to c}f(x)}$ nu există: graficul face un salt.

• În a treia figură, $f(c)$ este definit, dar valorile $f(x)$ cresc nemărginit aproape de $c\text{:}$ limita nu există (este infinită).

• În a patra figură, limita există și $f(c)$ este definit, dar cele două numere sunt diferite.

O funcție este continuă în $c$ atunci când nu se întâmplă niciuna dintre aceste lucruri:

Dacă cel puțin una dintre condiții nu este îndeplinită, $f$ este discontinuă în $c,$ iar $c$ se numește punct de discontinuitate al lui $f.$ Pe scurt, $f$ este continuă în $c$ dacă limita în $c$ se poate afla pur și simplu înlocuind ${x=c}.$

Exemplul 1. Funcția ${f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ este discontinuă în ${x=2},$ deoarece $f(2)$ nu este definit (nu este îndeplinită condiția 1). Să definim acum o funcție nouă, umplând golul cu valoarea $3\text{:}$

$$g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}, & \text{dacă } x\ne2,\\ 3, & \text{dacă } x=2.\end{cases}$$

Acum ${g(2)=3}$ este definit, și

${\lim_{x\to2}g(x)}={\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$

Limita există, dar ${\lim_{x\to2}g(x)\ne g(2)},$ deci $g$ rămâne discontinuă în $2$ (nu este îndeplinită condiția 3). Dacă am fi ales ${g(2)=4},$ funcția ar fi fost continuă în $2.$

Tipuri de discontinuități

Tip	Ce se întâmplă în $c$	Exemplu
înlăturabilă	limita există, dar $f(c)$ nu este definit sau nu este egal cu ea	${\frac{x^2-4}{x-2}}$ în ${x=2}$
de salt	cele două limite laterale există, dar sunt diferite	${\frac{|x|}{x}}$ în ${x=0}$
infinită	cel puțin una dintre limitele laterale este $+\infty$ sau $-\infty$	${\frac{1}{x^2}}$ în ${x=0}$

O discontinuitate înlăturabilă poate fi „reparată” definind sau redefinind o singură valoare a funcției, ca în exemplul 1. O discontinuitate de salt sau infinită, nu.

Nu toate discontinuitățile sunt de unul dintre aceste trei tipuri. De exemplu, ${\sin\frac{1}{x}}$ oscilează de infinit de multe ori între $-1$ și $1$ aproape de $0,$ deci în $0$ nu există niciuna dintre cele două limite laterale (vezi lecția următoare).

Continuitatea pe un interval

O funcție este continuă pe un interval deschis $(a,\,b)$ dacă este continuă în toate punctele lui $(a,\,b).$ Dacă o funcție este continuă în orice număr real, adică pe ${(-\infty,\,+\infty)},$ se spune că este continuă pe toată axa reală sau, pur și simplu, că este o funcție continuă.

Continuitatea polinoamelor și a funcțiilor raționale

Exemplul 2. Fie ${f(x)=x^2-2x+1}$ și fie $c$ un număr real oarecare. Din proprietățile limitelor,

${\lim_{x\to c}f(x)}={\lim_{x\to c}(x^2-2x+1)}={c^2-2c+1}={{f(c)}.}$

Așadar, $f$ este continuă în orice punct $c\text{:}$ este o funcție continuă. Același raționament este valabil pentru orice polinom:

Teoremă. Polinoamele sunt funcții continue: dacă $p$ este un polinom și $c$ este un număr real oarecare, atunci ${\lim_{x\to c}p(x)=p(c)}.$

Exemplul 3. Demonstrează că ${f(x)=|x|}$ este continuă pe toată axa reală.

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{dacă } x\ge0,\\ -x, & \text{dacă } x\lt0.\end{cases}$$

• Dacă ${c\gt0},$ valorile lui $x$ apropiate de $c$ sunt și ele pozitive, deci acolo ${f(x)=x}$ și ${\lim_{x\to c}|x|}={\lim_{x\to c}x}={c}={{f(c)}.}$

• Dacă ${c\lt0},$ valorile lui $x$ apropiate de $c$ sunt negative, deci acolo ${f(x)=-x}$ și ${\lim_{x\to c}|x|}={\lim_{x\to c}(-x)}={-c}={{f(c)}.}$

• Dacă ${c=0},$ studiem cele două părți: ${\lim_{x\to0^+}|x|}={\lim_{x\to0^+}x}={0}$ și ${\lim_{x\to0^-}|x|}={\lim_{x\to0^-}(-x)}={{0}.}$ Cele două limite laterale sunt egale cu $0,$ deci ${\lim_{x\to0}|x|}={0}={f(0)}.$

Prin urmare, $|x|$ este continuă în toate punctele, chiar și în vârful graficului ei (colțul).

Continuitatea se păstrează la cele patru operații aritmetice:

Demonstrație (pentru produs; celelalte cazuri sunt analoage). Cum $f$ și $g$ sunt continue în $c,$ avem ${\lim_{x\to c}f(x)=f(c)}$ și ${\lim_{x\to c}g(x)=g(c)}.$ Din proprietatea limitei unui produs,

${\lim_{x\to c}[f(x)\cdot g(x)]}={\lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)}={{f(c)\cdot g(c)},}$

care este valoarea lui ${f\cdot g}$ în $c.$

O funcție rațională este un raport de două polinoame, iar polinoamele sunt continue. Prin urmare, o funcție rațională este continuă în toate punctele în care numitorul ei nu este egal cu $0$, și discontinuă în zerourile numitorului.

Exemplul 4. Unde este continuă ${h(x)=\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}}?$

Numitorul este ${x^2-5x+6}={{(x-2)(x-3)},}$ care este egal cu $0$ pentru ${x=2}$ și ${x=3}.$ Prin urmare, $h$ este continuă în toate punctele, cu excepția lui ${x=2}$ și ${x=3}.$ Cele două discontinuități sunt de tipuri diferite. Pentru ${x\ne3},$

${h(x)}={\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}}={{\frac{x+3}{x-2}},}$

deci ${\lim_{x\to3}h(x)=6}\text{:}$ în ${x=3}$ discontinuitatea este înlăturabilă (un gol în $(3,\,6)$). În ${x=2}$ numărătorul ${x+3}$ tinde la $5$ iar numitorul tinde la $0\text{:}$ discontinuitatea este infinită, iar dreapta ${x=2}$ este o asimptotă verticală.

Continuitatea funcțiilor compuse

Spus în cuvinte: limita poate fi „băgată înăuntrul” unei funcții continue. De exemplu, ${f(x)=|x|}$ și ${g(x)=5-x^2}$ sunt continue pe toată axa reală, deci ${|5-x^2|}$ este și ea, și

${\lim_{x\to3}|5-x^2|}={\left|\lim_{x\to3}(5-x^2)\right|}={|{-4}|}={{4}.}$

Rădăcina pătrată ${\sqrt{x}}$ este continuă în orice ${x\gt0}$ (și la dreapta în $0;$ vezi secțiunea următoare). Prin urmare,

${\lim_{x\to3}\sqrt{x^2+7}}={\sqrt{\lim_{x\to3}(x^2+7)}}={\sqrt{16}}={{4}.}$

Continuitatea laterală și continuitatea pe un interval închis

Într-un capăt al unui interval, $x$ se poate apropia de punct doar dintr-o parte. Pentru aceste cazuri folosim limitele laterale.

La stânga în $c$	La dreapta în $c$
$f(c)$ este definit	$f(c)$ este definit
există ${\lim_{x\to c^-}f(x)}$	există ${\lim_{x\to c^+}f(x)}$
${\lim_{x\to c^-}f(x)}={f(c)}$	${\lim_{x\to c^+}f(x)}={f(c)}$

O funcție este continuă în $c$ dacă și numai dacă este continuă la stânga și la dreapta în $c.$

În prima figură nu este îndeplinită condiția 2, în a doua nu este îndeplinită condiția 3, iar funcția din a treia figură este continuă pe $[a,\,b].$

Exemplul 5. Demonstrează că ${f(x)=\sqrt{9-x^2}}$ este continuă pe $[-3,\,3].$

Funcția este definită pentru ${9-x^2\ge0},$ adică pentru ${-3\le x\le3}.$ Pentru orice $c$ din $(-3,\,3),$ prin teorema funcțiilor compuse,

${\lim_{x\to c}\sqrt{9-x^2}}={\sqrt{\lim_{x\to c}(9-x^2)}}={\sqrt{9-c^2}}={{f(c)},}$

deci $f$ este continuă pe $(-3,\,3).$ În capete folosim limite laterale (funcția nu este definită la dreapta lui $3$ și nici la stânga lui $-3$). Când ${x\to3^-}$ sau ${x\to-3^+},$ numărul ${9-x^2}$ tinde la $0$ luând valori pozitive, deci rădăcina lui pătrată tinde la $0\text{:}$

${\lim_{x\to3^-}\sqrt{9-x^2}}={0}={f(3)},$   ${\lim_{x\to-3^+}\sqrt{9-x^2}}={0}={{f(-3)}.}$

Prin urmare, $f$ este continuă la stânga în $3$ și la dreapta în $-3,$ și, în consecință, este continuă pe $[-3,\,3].$ Graficul ei este jumătatea superioară a cercului ${x^2+y^2=9}.$

Teorema valorii intermediare

Teorema valorii intermediare. Dacă $f$ este continuă pe intervalul închis $[a,\,b]$ și $k$ este un număr oarecare cuprins între $f(a)$ și $f(b),$ inclusiv, atunci există cel puțin un număr $c$ în $[a,\,b]$ astfel încât ${f(c)=k}.$

Geometric: graficul unei funcții continue care merge de la înălțimea $f(a)$ la înălțimea $f(b)$ trebuie să taie, cel puțin o dată, fiecare dreaptă orizontală ${y=k}$ aflată între aceste două înălțimi (în figură, de trei ori). Continuitatea este indispensabilă: o funcție cu un salt poate „sări peste” o valoare. De exemplu, ${\frac{|x|}{x}}$ ia valorile $-1$ și $1$ în $[-1,\,1],$ dar niciodată valoarea $0;$ nu este continuă în $[-1,\,1].$

Cel mai important caz particular este valoarea ${k=0}\text{:}$

Teorema lui Bolzano (rădăcinile funcțiilor continue). Dacă $f$ este continuă pe $[a,\,b]$ iar valorile $f(a)$ și $f(b)$ au semne opuse, atunci ecuația ${f(x)=0}$ are cel puțin o soluție în intervalul $(a,\,b).$

Exemplul 6. Demonstrează că ecuația ${x^3-x-1=0}$ are o soluție între $1$ și $2,$ și află-o aproximativ.

Membrul stâng nu se descompune ușor în factori, deci nu putem rezolva ecuația prin descompunere. Dar ${f(x)=x^3-x-1}$ este un polinom și, prin urmare, o funcție continuă, iar

${f(1)}={1-1-1}={-1}\lt{0},$   ${f(2)=8-2-1=5\gt0}.$

Din teorema lui Bolzano, există o soluție în $(1,\,2).$

O putem afla cu precizia dorită împărțind intervalul în două, din nou și din nou (metoda bisecției). Începem cu $[1,\,2],$ calculăm $f$ în mijloc și păstrăm jumătatea în care $f$ își schimbă semnul:

Mijlocul $m$	$f(m)$	Soluția se află în
1,5	0,875	[1; 1,5]
1,25	−0,297	[1,25; 1,5]
1,375	0,225	[1,25; 1,375]
1,3125	−0,052	[1,3125; 1,375]
1,34375	0,083	[1,3125; 1,34375]

Continuând așa, obținem soluția ${x\approx1{,}3247}.$ Este singura soluție în $(1,\,2),$ deoarece $f$ este crescătoare pe acest interval: pentru ${1\le x_1\lt x_2},$ ${f(x_2)-f(x_1)}={(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-1)}\gt{{0}.}$

Probleme pentru exersat

1. Este ${f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$ continuă în ${x=1}?$ Ce valoare trebuie să aibă $f(1)$ pentru ca ea să fie continuă?

Răspuns

Nu: $f(1)$ nu este definit. ${\lim_{x\to1}f(x)}={\lim_{x\to1}(x+1)}={{2},}$ deci, definind ${f(1)=2},$ funcția $f$ devine continuă în $1$ (este o discontinuitate înlăturabilă).

2. Este funcția

$$f(x)=\begin{cases}x+1, & \text{dacă } x\lt2,\\ 7-x^2, & \text{dacă } x\ge2\end{cases}$$

continuă în ${x=2}?$

Răspuns

${\lim_{x\to2^-}f(x)=3}$ și ${\lim_{x\to2^+}f(x)}={7-4}={3}={{f(2)}.}$ Cele două limite laterale sunt egale cu $f(2),$ deci $f$ este continuă în $2.$

3. Află valoarea lui $a$ pentru care funcția

$$f(x)=\begin{cases}ax+3, & \text{dacă } x\lt1,\\ x^2+2a, & \text{dacă } x\ge1\end{cases}$$

este continuă pe toată axa reală.

Răspuns

Cele două bucăți sunt polinoame, deci trebuie verificat doar ${x=1}\text{:}$ limita la stânga este ${a+3},$ iar limita la dreapta și $f(1)$ sunt egale cu ${1+2a}.$ Sunt egale când ${a+3=1+2a},$ adică pentru ${a=2}.$

4. Unde este continuă ${f(x)=\frac{x}{x^2+1}}?$

Răspuns

Pe toată axa reală: numitorul ${x^2+1}$ nu este niciodată egal cu $0.$

5. Află punctele de discontinuitate ale lui ${f(x)=\frac{x+1}{x^2-4x-5}}$ și indică care dintre ele sunt înlăturabile.

Răspuns

${{x^2-4x-5=(x-5)(x+1)}\text{:}}$ funcția este discontinuă în ${x=-1}$ și în ${x=5}.$ Pentru ${x\ne-1},$ ${f(x)=\frac{1}{x-5}},$ deci limita în $-1$ este ${-\frac{1}{6}}\text{:}$ înlăturabilă. În ${x=5}$ discontinuitatea este infinită.

6. Calculează ${\lim_{x\to2}\sqrt{x^3+1}}$ și ${\lim_{x\to-1}|x^3-3x|}.$

Răspuns

Prin continuitate: ${\sqrt{8+1}}={3}$ și ${|{-1}+3|}={2}.$

7. Este ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ continuă pe $[1,\,5]?$

Răspuns

Da. În $(1,\,5)$ este continuă prin teorema funcțiilor compuse, deoarece acolo ${x-1\gt0}$ și $\sqrt{x}$ este continuă în orice număr pozitiv; în capătul stâng, ${\lim_{x\to1^+}\sqrt{x-1}}={0}={f(1)},$ iar în capătul drept, ${\lim_{x\to5^-}\sqrt{x-1}}={2}={f(5)}.$

8. Demonstrează că ecuația ${x^3+2x-5=0}$ are o soluție în $(1,\,2).$

Răspuns

${f(x)=x^3+2x-5}$ este continuă, ${f(1)=-2\lt0}$ și ${f(2)=7\gt0}.$ Din teorema lui Bolzano, există o soluție în $(1,\,2)$ (este ${x\approx1{,}3283}$).

9. Demonstrează că ecuația ${x^5=x+3}$ are soluție.

Răspuns

Fie ${f(x)=x^5-x-3},$ o funcție continuă. ${f(1)=-3\lt0}$ și ${f(2)}={32-2-3}={27}\gt{0},$ deci există o soluție în $(1,\,2).$

Lecția următoare: Limitele și continuitatea funcțiilor trigonometrice. Lecția anterioară: Limite și metode de calcul.