Procente

Calculator de procente

Scrie două numere pe oricare rând. Răspunsul și calculul apar pe măsură ce scrii.

Ce este un procent?

Procent înseamnă „la sută”, adică „la fiecare o sută”. Cuvântul vine din latinescul per centum, „la o sută”, iar semnul % înseamnă „din 100”. Astfel, 25% înseamnă 25 din 100. Unu la sută este o sutime, ${1\%=\frac{1}{100}=0{,}01}$, iar 25% din ceva reprezintă $\frac{25}{100}$ din acel lucru.

Sunt colorate 25 din cele 100 de pătrățele: ${25\%}={\frac{25}{100}}={\frac{1}{4}}$

Să presupunem că într-o cameră sunt 4 persoane. Atunci 100% dintre ele sunt cele 4 persoane, 50% este jumătate (2 persoane), 25% este un sfert (1 persoană), iar 0% este nimeni. Dacă mai intră 4 persoane, în cameră sunt 8 persoane, adică 200% din numărul inițial. Un procent poate fi mai mare decât 100%.

Pe această pagină vei învăța să transformi procentele în zecimale și în fracții și să rezolvi cele trei probleme de bază cu procente: calculul procentului dintr-un număr, aflarea procentului pe care îl reprezintă un număr din altul și calculul totalului pornind de la o parte. Apoi vom vedea creșterile și reducerile procentuale, procentele inverse și variațiile procentuale succesive. Dacă ai nevoie doar de un răspuns rapid, folosește calculatorul de procente.

Procente, zecimale și fracții

Un procent, un număr zecimal și o fracție sunt trei moduri de a scrie același număr: ${50\%}={0{,}5}={\frac{1}{2}}$.

Unele procente apar atât de des, încât merită să le știi pe de rost:

Procent	Zecimal	Fracție
$1\%$	$0{,}01$	$\frac{1}{100}$
$5\%$	$0{,}05$	$\frac{1}{20}$
$10\%$	$0{,}1$	$\frac{1}{10}$
$12{,}5\%$	$0{,}125$	$\frac{1}{8}$
$20\%$	$0{,}2$	$\frac{1}{5}$
$25\%$	$0{,}25$	$\frac{1}{4}$
$33\tfrac{1}{3}\%$	$0{,}333\ldots$	$\frac{1}{3}$
$50\%$	$0{,}5$	$\frac{1}{2}$
$75\%$	$0{,}75$	$\frac{3}{4}$
$100\%$	$1$	$1$
$150\%$	$1{,}5$	$\frac{3}{2}$

Atenție la procentele mici: ${8\%=0{,}08}$, nu $0{,}8$. Iar ${0{,}5\%=0{,}005}$ este jumătate din 1%, nu jumătate din ceva: jumătatea este 50%.

Cum calculăm procentul dintr-un număr

Exemplul 1. Calculează 20% din 40.

${20\%\ \text{din}\ 40}={0{,}2\times 40}=8$

Cuvântul „din” arată că trebuie să înmulțim.

Exemplul 2. O școală are 600 de elevi, iar 45% dintre ei merg la școală cu autobuzul. Câți elevi sunt?

${0{,}45\times 600}=270$

Exemplul 3. Un procent poate fi mai mare decât 100% sau mai mic decât 1%:

${120\%\ \text{din}\ 50}={1{,}2\times 50}=60$

${0{,}5\%\ \text{din}\ 3000}={0{,}005\times 3000}=15$

Exemplul 4. Cindy are nevoie de 8 m de furtun pentru grădina ei. La magazin este un colac de 30 m, dar o etichetă spune că 60% din furtun s-a vândut deja. Ajunge ce a rămas?

Rezolvare: S-au vândut ${{0{,}6\times 30}=18}$ m, deci au rămas ${{30-18}=12}$ m. Ajunge. Mai repede: a rămas ${{100\%-60\%}={40\%}}$ din colac, iar ${{0{,}4\times 30}=12}$ m.

Calculul mintal al procentelor

• 10%: împarte la 10. 10% din 360 este 36.
• 5%: ia jumătate din 10%. 5% din 360 este 18.
• 1%: împarte la 100. 1% din 360 este $3{,}6$.
• 50%, 25% și 20% sunt jumătatea, sfertul și a cincea parte. 25% din 360 este 90.
• Combină aceste procente: 15% este 10% plus 5%, deci 15% din 360 este ${{36+18}=54}$.
• Schimbă numerele între ele: $p\%$ din $a$ este același lucru cu $a\%$ din $p$, deoarece ${\frac{p}{100}\times a}={\frac{a}{100}\times p}$. 8% din 50 este greu de calculat mintal, dar 50% din 8 este ușor. Ambele dau 4.

De exemplu, un bacșiș de 15% la o notă de plată de $\$36$: 10% este $\$3{,}60$ și 5% este $\$1{,}80$, deci bacșișul este de $\$5{,}40$.

Ce procent reprezintă un număr din altul

Exemplul 1. Ce procent din 160 reprezintă 80?

${\frac{80}{160}\times 100\%}={0{,}5\times 100\%}={50\%}$

Exemplul 2. Ai obținut 45 de puncte din 60 la un test. Ce procent reprezintă?

${\frac{45}{60}\times 100\%}={0{,}75\times 100\%}={75\%}$

Exemplul 3. Un chestionar are 5 întrebări: trei valorează câte 3 puncte și două valorează câte 4 puncte. Ai răspuns corect la două dintre întrebările de 3 puncte și la una dintre cele de 4 puncte. Ce procent din puncte ai obținut?

Rezolvare: Chestionarul valorează ${{3\times 3+2\times 4}=17}$ puncte, iar tu ai obținut ${{2\times 3+4}=10}$ puncte:

${\frac{10}{17}\times 100\%}\approx{58{,}8\%}$

Împărțirea nu este exactă, deci răspunsul este rotunjit și se scrie ≈ („aproximativ egal cu”) în loc de =.

Exemplul 4. Ryan colecționează cartonașe sportive: are 32 de cartonașe de baseball, 25 de fotbal și 47 de baschet. Ce procent din colecția lui revine fiecărui sport?

Rezolvare: Totalul este numărul tuturor cartonașelor, ${{32+25+47}=104}$.

Baseball: ${\frac{32}{104}\times 100\%}\approx{30{,}8\%}$

Fotbal: ${\frac{25}{104}\times 100\%}\approx{24{,}0\%}$

Baschet: ${\frac{47}{104}\times 100\%}\approx{45{,}2\%}$

Împreună, cele trei părți formează toată colecția, deci procentele lor însumează 100%. Procentele rotunjite pot da o sumă puțin mai mare sau puțin mai mică, de exemplu $99{,}9\%$ sau $100{,}1\%$.

Exemplul 5. Partea poate fi mai mare decât totalul. Ce procent din 40 reprezintă 45?

${\frac{45}{40}\times 100\%}={1{,}125\times 100\%}={112{,}5\%}$

Cum aflăm totalul pornind de la o parte

Exemplul 1. Din ce număr reprezintă 12 un procent de 30%?

${12\div 0{,}3}=40$

Verificare: ${{0{,}3\times 40}=12}$ ✓

Exemplul 2. Într-o clasă, 6 elevi poartă ochelari. Ei reprezintă 20% din clasă. Câți elevi sunt în clasă?

${6\div 0{,}2}=30$

Poți trece și prin 10%: dacă 20% din clasă sunt 6 elevi, atunci 10% sunt 3 elevi, iar 100% sunt ${{10\times 3}=30}$ elevi.

Exemplul 3. Ai economisit $\$150$. Aceasta reprezintă 60% din prețul unei biciclete. Cât costă bicicleta?

${150\div 0{,}6}={\$250}$

O formulă pentru cele trei probleme

Cele trei probleme provin dintr-o singură formulă, care leagă partea, procentul și totalul:

Cunoști două dintre cele trei numere și cauți al treilea. Cele trei întrebări de mai jos folosesc aceleași numere, deoarece 8 este 20% din 40:

Întrebarea	Rezolvarea
Cât este 20% din 40? (partea)	${0{,}2\times 40}=8$
Ce procent din 40 reprezintă 8? (procentul)	${\frac{8}{40}\times 100\%}={20\%}$
Din ce număr reprezintă 8 un procent de 20%? (totalul)	${8\div 0{,}2}=40$

Creșterea și scăderea procentuală

Când o cantitate se modifică, variația procentuală compară schimbarea cu valoarea inițială (cea anterioară):

Exemplul 1. Aveai 80 de timbre și ai continuat să colecționezi până ai ajuns la 120. Cu ce procent a crescut colecția ta?

${\frac{120-80}{80}\times 100\%}={\frac{40}{80}\times 100\%}={50\%}$

Exemplul 2. Apoi ai schimbat unele dintre cele 120 de timbre pe un joc de la un prieten și ți-au rămas 100. Cu ce procent a scăzut numărul de timbre?

${\frac{100-120}{120}\times 100\%}={-\frac{20}{120}\times 100\%}\approx{-16{,}7\%}$

Numărul de timbre a scăzut cu aproximativ $16{,}7\%$. Schimbarea de 20 de timbre se compară cu 120, numărul pe care îl aveai înainte de schimbare.

Exemplul 3. Populația unui oraș a crescut de la 12 000 la 12 600 de locuitori, adică cu 600 de persoane:

${\frac{600}{12\,000}\times 100\%}={5\%}$

Cum mărim sau micșorăm un număr cu un procent

Când mărești un număr cu $p\%$, îi adaugi $p\%$ din el însuși, deci obții ${100\%+p\%}$ din număr. Când îl micșorezi cu $p\%$, obții ${100\%-p\%}$ din număr. De aceea poți face acest lucru dintr-un singur pas, înmulțind cu un multiplicator:

Exemplul 4. Un joc video costa $\$40$. Apoi prețul lui a crescut cu 20%. Care este noul preț?

În doi pași: prețul a crescut cu ${{0{,}2\times 40}={\$8}}$, deci noul preț este ${{40+8}={\$48}}$. Într-un singur pas: ${{40\times 1{,}2}={\$48}}$.

Exemplul 5. O jachetă costă $\$250$. Este la reducere cu 30%, deci costă ${{250\times 0{,}7}={\$175}}$.

„Mai mult decât” și „mai puțin decât”

Procentul se calculează întotdeauna față de numărul cu care compari. De aceea ambele afirmații sunt adevărate:

• 50 este cu 25% mai mult decât 40, deoarece ${\frac{10}{40}}={25\%}$;
• 40 este cu 20% mai puțin decât 50, deoarece ${\frac{10}{50}}={20\%}$.

Diferența este 10 în ambele cazuri, dar se compară cu numere diferite.

Procente inverse: aflarea valorii inițiale

Uneori cunoști valoarea de după o variație procentuală și ai nevoie de valoarea de dinainte. Atunci împarte la multiplicator:

Exemplul 1. Cu o reducere de 20%, o jachetă costă $\$64$. Cât costa înainte de reducere?

Rezolvare: Prețul redus este ${{100\%-20\%}={80\%}}$ din prețul inițial, deci

${\text{prețul inițial}}={64\div 0{,}8}={\$80}$

Verificare: 20% din $\$80$ sunt $\$16$, iar ${{80-16}=64}$ ✓. Un model cu bare arată același lucru:

80% din preț sunt $\$64$, deci 10% sunt $\$8$ și 100% sunt $\$80$.

Atenție: nu aduna 20% din prețul redus. ${{64+0{,}2\times 64}={\$76{,}80}}$ este greșit, deoarece reducerea a fost de 20% din prețul inițial, nu de 20% din $\$64$.

Exemplul 2. Un preț cu TVA de 16% este de $\$58$. Fără TVA, prețul era ${{58\div 1{,}16}={\$50}}$.

Exemplul 3. După o mărire de 25%, un salariu este de $\$2\,500$ pe lună. Înainte de mărire era de ${{2\,500\div 1{,}25}={\$2\,000}}$.

O variație procentuală după alta

Când o variație procentuală urmează după alta, al doilea procent se calculează față de valoarea nouă, nu față de cea inițială. De aceea procentele nu se pot aduna pur și simplu: trebuie înmulțiți multiplicatorii.

Exemplul 1. Un preț crește cu 10% și apoi scade cu 10%. Nu revine la valoarea inițială:

${1{,}1\times 0{,}9}={0{,}99}$

Prețul final este 99% din cel inițial, adică este cu 1% mai mic. De exemplu, $\$100$ devin $\$110$ și apoi $\$99$.

Exemplul 2. O reducere de 20% urmată de încă una de 10% nu este o reducere de 30%:

${0{,}8\times 0{,}9}={0{,}72}$

Plătești 72% din preț, deci reducerea totală este de 28%.

Exemplul 3. Prețul unei acțiuni scade cu 50%. Ca să revină la valoarea anterioară, trebuie să crească cu 100%, deoarece ${{0{,}5\times 2}=1}$.

Exemplul 4. Un oraș crește cu 5% pe an timp de 3 ani:

${1{,}05\times 1{,}05\times 1{,}05}={1{,}05^3}\approx{1{,}158}$

În total, orașul crește cu aproximativ $15{,}8\%$, nu cu 15%, deoarece în fiecare an cei 5% se calculează față de un număr mai mare. Economiile cu dobândă compusă cresc la fel. Calculatorul de dobândă compusă de mai jos face aceste calcule pentru tine.

Procente sau puncte procentuale?

Când se modifică o cantitate care este deja un procent, există două moduri de a descrie schimbarea. Să presupunem că o bancă își mărește rata dobânzii de la 4% la 5%:

• rata a crescut cu 1 punct procentual, deoarece ${{5-4}=1}$;
• rata a crescut cu 25%, deoarece ${\frac{5-4}{4}\times 100\%}={25\%}$.

Ambele afirmații sunt adevărate, dar spun lucruri diferite, deci fraza „rata a crescut cu 1%” poate crea confuzie. Când scazi un procent din altul, vorbește despre „puncte procentuale”.

Procentele în viața de zi cu zi

Procentele permit compararea unor părți din totaluri diferite pe aceeași scară, raportată la 100. De aceea apar peste tot:

• cumpărături: reduceri și taxe;
• bani: dobânzi la economii și la credite, bacșișuri, scumpiri;
• școală: rezultate la teste și note;
• știri: rezultate electorale, sondaje, creșterea populației;
• știință: concentrația unei soluții, umiditatea aerului, nutrienții de pe o etichetă.

Exemplul 1. În grupa A au promovat un test 18 din cei 24 de elevi. În grupa B au promovat 21 din cei 30 de elevi. Care grupă s-a descurcat mai bine?

Rezolvare: În grupa B au promovat mai mulți elevi, dar și grupa B este mai mare. Compară procentele:

Grupa A: ${\frac{18}{24}\times 100\%}={75\%}$

Grupa B: ${\frac{21}{30}\times 100\%}={70\%}$

Grupei A i-a mers mai bine.

Exemplul 2. Tom are un mic magazin alimentar. În prima lună a cumpărat marfă de $\$650$ și a vândut-o cu $\$800$. În a doua lună a cumpărat marfă de $\$800$ și a vândut-o cu $\$1\,200$. I-a mers mai bine afacerii în a doua lună?

Rezolvare: Câștigul lui a crescut de la ${{800-650}={\$150}}$ la ${{1\,200-800}={\$400}}$, dar a cheltuit și mai mult. Ca să vezi cât de bine a lucrat banul, compară câștigul fiecărei luni cu banii cheltuiți:

${\frac{150}{650}\times 100\%}\approx{23{,}1\%}$

${\frac{400}{800}\times 100\%}={50\%}$

În prima lună, fiecare $\$100$ cheltuit de Tom i-a adus aproximativ $\$23$ câștig, iar în a doua lună, $\$50$. Așadar afacerea lui nu doar că a crescut, ci a devenit și mai profitabilă.

Probleme rezolvate

Problema 1. Prețul unui televizor a scăzut de la $\$900$ la $\$765$. Cu ce procent s-a redus prețul?

Rezolvare: Prețul a scăzut cu ${{900-765}={\$135}}$. Compară cu prețul anterior:

${\frac{135}{900}\times 100\%}={15\%}$

Problema 2. 200 g de apă sărată conțin 15% sare. Cât de multă sare este? Ce procent de sare va fi dacă adaugi 100 g de apă?

Rezolvare: Sunt ${{0{,}15\times 200}=30}$ g de sare. După adăugarea apei, sunt ${{200+100}=300}$ g de apă sărată, dar tot 30 g de sare:

${\frac{30}{300}\times 100\%}={10\%}$

Problema 3. La un scrutin cu doi candidați au votat 2400 de persoane. Candidatul A a obținut 55% din voturi. Cu câte voturi a obținut A mai mult decât B?

Rezolvare: B a obținut ${{100\%-55\%}={45\%}}$ din voturi. Diferența este ${{55\%-45\%}={10\%}}$ din voturi:

${0{,}1\times 2400}=240$

Verificare: A a obținut ${{0{,}55\times 2400}=1320}$ voturi, iar B a obținut ${{0{,}45\times 2400}=1080}$ voturi, și ${{1320-1080}=240}$.

Problema 4. Cu o reducere de 25%, o cămașă costă $\$18$. Cât costa înainte de reducere?

Rezolvare: $\$18$ reprezintă ${{100\%-25\%}={75\%}}$ din prețul anterior:

${18\div 0{,}75}={\$24}$

Problema 5. Un oraș cu 50 000 de locuitori a pierdut 10% din populație într-un an și a crescut cu 10% în anul următor. Câte persoane locuiesc acolo acum?

${50\,000\times 0{,}9\times 1{,}1}={49\,500}$

Sunt cu 500 de persoane mai puțin decât la început, o scădere de 1%.

Problema 6. Un magazin a mărit toate prețurile cu 25%. Mai târziu a pus totul la reducere cu 20%. Sunt prețurile de la reducere mai mari sau mai mici decât prețurile dinaintea măririi?

Rezolvare: ${{1{,}25\times 0{,}8}=1}$, deci prețurile de la reducere sunt exact egale cu cele de dinainte.

Problema 7. Șomajul a scăzut de la 8% la 6%. Descrie schimbarea în puncte procentuale și în procente.

Rezolvare: Șomajul a scăzut cu ${{8-6}=2}$ puncte procentuale. Ca variație procentuală,

${\frac{6-8}{8}\times 100\%}={-25\%}$

adică șomajul a scăzut cu 25%.

Exersare

Rezolvă fiecare problemă și apoi deschide-o ca să-ți verifici răspunsul.

1. Scrie 45% ca zecimal și ca fracție ireductibilă.

${45\%}={0{,}45}={\frac{45}{100}}={\frac{9}{20}}$

2. Scrie $\frac{7}{8}$ ca procent.

${7\div 8}={0{,}875}={87{,}5\%}$

3. Calculează 35% din 240.

${0{,}35\times 240}=84$

4. Ce procent din 36 reprezintă 27?

${\frac{27}{36}\times 100\%}={75\%}$

5. Din ce număr reprezintă 18 un procent de 45%?

${18\div 0{,}45}=40$

6. O pereche de pantofi costă $\$60$ și are o reducere de 15%. Care este prețul redus?

${60\times 0{,}85}={\$51}$

7. Valoarea unei mașini a scăzut de la $\$25\,000$ la $\$21\,000$. Cu ce procent a scăzut?

${\frac{25\,000-21\,000}{25\,000}\times 100\%}={\frac{4000}{25\,000}\times 100\%}={16\%}$

8. După o scumpire de 10%, un bilet de autobuz costă $\$2{,}75$. Cât costa înainte?

${{2{,}75\div 1{,}1}={\$2{,}50}}$

9. Un preț crește cu 30% și apoi scade cu 30%. Care este variația totală?

${{1{,}3\times 0{,}7}=0{,}91}$, deci prețul ajunge cu 9% mai mic decât la început.

10. Care este mai mare: 40% din 70 sau 70% din 40?

Sunt egale: ${{0{,}4\times 70}=28}$ și ${{0{,}7\times 40}=28}$.