Cum reprezinți grafic funcțiile de gradul al doilea (parabole)

O funcție de gradul al doilea este o funcție de forma ${f(x)=ax^2+bx+c},$ unde $a,$ $b$ și $c$ sunt numere și ${a\ne0}.$ Graficul ei este o curbă numită parabolă. În această lecție înveți să trasezi rapid și precis acest grafic: încotro se deschide parabola, unde se află vârful ei, unde taie axele și ce puncte merită puse în tabelul de valori. Apoi găsești exemple rezolvate cu grafice și probleme de exersat cu răspunsuri.

Pe această pagină: Parabola · Coeficientul a · Vârful și axa de simetrie · Intersecția cu axele · Pașii reprezentării grafice · Exemple rezolvate · Forma canonică · Proprietăți · Ecuația din grafic · Focar și directoare · Pentru exersat

Funcția de gradul al doilea și parabola

Graficul unei funcții $f$ este mulțimea tuturor punctelor ${(x,\ f(x))}$ din planul cartezian: pentru fiecare $x$ înaintăm $x$ unități de-a lungul axei $x$ și $f(x)$ unități de-a lungul axei $y$ (vezi Sistemul de axe ortogonale și grafice). De exemplu, dacă ${f(x)=3x-1},$ atunci ${f(2)=3\cdot2-1=5},$ deci punctul $(2,\ 5)$ aparține graficului lui $f.$

Cea mai simplă funcție de gradul al doilea este ${f(x)=x^2}.$ Să facem un tabel de valori:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Reprezentăm cele șapte puncte și le unim cu o curbă netedă (nu cu segmente drepte):

Această figură arată caracteristicile principale ale oricărei parabole:

• Cel mai de jos punct al graficului este $(0,\ 0).$ Se numește vârful parabolei.
• Graficul este simetric față de axa $y\text{:}$ $x$ și $-x$ dau aceeași valoare, de exemplu ${f(-2)=f(2)=4}.$ Dreapta de simetrie a unei parabole se numește axă de simetrie.
• Departe de vârf, graficul urcă din ce în ce mai repede: de la ${x=0}$ la ${x=1}$ valoarea crește cu 1, iar de la ${x=2}$ la ${x=3}$ crește cu 5.

Coeficientul a: direcția și lărgimea

Acum să comparăm ${y=x^2}$ cu ${y=ax^2}$ pentru alte valori ale lui $a.$ Fiecare valoare a lui $x^2$ se înmulțește cu $a\text{:}$

${y=x^2}$ (negru), ${\textcolor{#c0392b}{y=2x^2}}$ (roșu), ${\textcolor{#2b7a2b}{y=\frac{1}{2}x^2}}$ (verde) și ${\textcolor{#1b64a8}{y=-x^2}}$ (albastru).

Numerele $b$ și $c$ nu schimbă forma parabolei. După cum vom vedea mai departe, graficul lui ${y=ax^2+bx+c}$ este parabola ${y=ax^2}$ mutată în alt loc.

Vârful și axa de simetrie

Ca să aflăm vârful, completăm pătratul. În interiorul parantezei adunăm $\frac{b^2}{4a^2},$ iar în afara ei scădem ${a\cdot\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a}}\text{:}$

${ax^2+bx+c}={a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c}$

$={a\left(x^2+2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x+\frac{b^2}{4a^2}\right)}-{\frac{b^2}{4a}+c}$

$={a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.}$

Cu discriminantul ${D=b^2-4ac}$ (se mai scrie $\Delta$) obținem forma canonică (forma cu vârful) a funcției de gradul al doilea:

$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a}.$$

Pătratul ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}$ nu este niciodată negativ și este $0$ numai pentru ${x=-\frac{b}{2a}}.$ Prin urmare:

• dacă ${a\gt0},$ valoarea minimă a lui $f$ este ${-\frac{D}{4a}},$ iar $f$ o atinge în ${x=-\frac{b}{2a}};$
• dacă ${a\lt0},$ valoarea maximă a lui $f$ este ${-\frac{D}{4a}},$ iar $f$ o atinge în ${x=-\frac{b}{2a}}.$

În practică, de multe ori este mai ușor să afli coordonata $y$ a vârfului prin înlocuire: ${y_V=f(x_V)},$ unde ${x_V=-\frac{b}{2a}}.$ Cele două moduri dau același număr.

Dacă ${a\gt0},$ vârful este punctul cel mai de jos (minimul); dacă ${a\lt0},$ este punctul cel mai de sus (maximul).

De ce este dreapta ${x=-\frac{b}{2a}}$ o axă de simetrie? În forma canonică, $f(x)$ depinde numai de distanța de la $x$ la ${-\frac{b}{2a}}.$ Două numere aflate la aceeași distanță, la stânga și la dreapta lui ${-\frac{b}{2a}}$ dau aceeași valoare a lui $f,$ deci punctele graficului vin în perechi, simetrice între ele față de această dreaptă. De aceea, când facem un tabel de valori, alegem valori ale lui $x$ simetrice față de ${-\frac{b}{2a}}\text{:}$ fiecare valoare pe care o calculăm ne dă două puncte ale graficului.

Punctele de intersecție cu axele

Punctele în care graficul taie axele de coordonate sunt cele mai importante pentru trasarea lui.

I. Axa $y.$ Orice punct de pe axa $y$ are coordonata $x$ egală cu $0.$ Prin urmare, graficul taie axa $y$ în punctul ${(0,\ f(0))},$ iar pentru o funcție de gradul al doilea ${f(0)}={a\cdot0^2+b\cdot0+c}={c\text{:}}$

Parabola ${y=ax^2+bx+c}$ taie axa $y$ în punctul ${(0,\ c)}.$

Punctul simetric al lui ${(0,\ c)}$ față de axa ${x=-\frac{b}{2a}}$ este ${\left(-\frac{b}{a},\ c\right)},$ și aparține și el graficului. Verificare: ${f\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{a}+c=c}.$

II. Axa $x.$ Orice punct de pe axa $x$ are coordonata $y$ egală cu $0.$ Prin urmare, graficul taie axa $x$ în punctele ${(x,\ 0)}$ pentru care ${f(x)=0}\text{:}$

Ca să afli unde taie parabola axa $x,$ rezolvă ecuația de gradul al doilea ${ax^2+bx+c=0}.$

Numărul de soluții depinde de semnul discriminantului ${D=b^2-4ac}$ (vezi Ecuații de gradul al doilea):

• ${D\gt0}\text{:}$ două rădăcini distincte ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}};$ o notăm pe cea mai mică cu $x_1$ și pe cea mai mare cu $x_2$ Parabola taie axa $x$ în două puncte, ${(x_1,\ 0)}$ și ${(x_2,\ 0)}.$
• ${D=0}\text{:}$ o rădăcină dublă, ${x_1=x_2=-\frac{b}{2a}}.$ Parabola atinge axa $x$ în vârful ei.
• ${D\lt0}\text{:}$ nu există rădăcini reale. Parabola nu taie axa $x\text{:}$ se află toată deasupra ei (dacă ${a\gt0}$) sau toată dedesubtul ei (dacă ${a\lt0}$).

Cele șase poziții posibile ale unei parabole față de axa $x.$

Pașii necesari pentru reprezentarea grafică a unei funcții de gradul al doilea

Ca să trasezi graficul funcției ${f(x)=ax^2+bx+c}\text{:}$

1. Direcția. Uită-te la semnul lui $a\text{:}$ dacă ${a\gt0},$ parabola se deschide în sus; dacă ${a\lt0},$ se deschide în jos.
2. Vârful. Calculează ${x_V=-\frac{b}{2a}}$ și ${y_V=f(x_V)}$ (sau ${y_V=-\frac{D}{4a}}$). Trasează axa de simetrie ${x=x_V}$ cu o linie punctată.
3. Intersecția cu axa $y.$ Reprezintă ${(0,\ c)}$ și punctul lui simetric ${\left(-\frac{b}{a},\ c\right)}.$
4. Intersecțiile cu axa $x.$ Rezolvă ${f(x)=0}.$ Dacă ${D\lt0},$ nu există niciuna; dacă ${D=0},$ există doar vârful. În ambele cazuri, alege încă una sau două perechi de valori ale lui $x$ simetrice față de $x_V$ și calculează $f$ pentru ele.
5. Tabelul de valori. Scrie toate aceste puncte într-un tabel, ordonate după $x.$
6. Trasarea. Reprezintă punctele și unește-le cu o curbă netedă. Curba este simetrică față de axa de simetrie, rotunjită în vârf (nu ascuțită) și continuă dincolo de ultimele puncte.

Când ${D\gt0},$ tabelul are de obicei aceste cinci coloane:

$x$	$x_1$	$0$	$-\frac{b}{2a}$	$-\frac{b}{a}$	$x_2$
$f(x)$	$0$	$c$	$-\frac{D}{4a}$	$c$	$0$

Coloanele trebuie să fie în ordinea crescătoare a lui $x,$ iar această ordine depinde de funcție: de exemplu, dacă ${-\frac{b}{2a}\lt0},$ punctul simetric ${-\frac{b}{a}}$ se află la stânga lui $0.$ Dacă ${b=0},$ vârful însuși este ${(0,\ c)};$ dacă ${c=0},$ originea este una dintre intersecțiile cu axa $x.$ În aceste cazuri, ia încă o pereche de valori ale lui $x$ simetrice față de $x_V.$

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Trasează graficul funcției ${f(x)=x^2-2x-3}.$

1) ${a=1\gt0},$ deci parabola se deschide în sus.

2) ${x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot1}=1}$ și ${y_V}={f(1)}={1-2-3}={-4.}$ Vârful este ${V(1,\ -4)},$ iar axa de simetrie este dreapta ${x=1}.$ (Cu formula: ${D}={(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}={16}$ și ${-\frac{D}{4a}=-\frac{16}{4}=-4}.$)

3) ${f(0)=-3}$ dă punctul ${(0,\ -3)}.$ Numărul simetric al lui $0$ față de $1$ este $2,$ deci ${(2,\ -3)}$ aparține și el graficului.

4) ${x^2-2x-3=0}\text{:}$ ${x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}},$ de unde ${x_1=-1}$ și ${x_2=3}.$ Punctele sunt ${(-1,\ 0)}$ și ${(3,\ 0)}.$

5) Ca să vedem mai bine forma, adăugăm perechea simetrică ${x=-2}$ și ${x=4}\text{:}$ ${f(-2)=f(4)=5}.$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Exemplul 2. Trasează graficul funcției ${f(x)=-x^2-2x+8}.$

1) ${a=-1\lt0},$ deci parabola se deschide în jos.

2) ${x_V=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1}$ și ${y_V}={f(-1)}={-1+2+8}={9.}$ Vârful este ${V(-1,\ 9)},$ iar axa de simetrie este ${x=-1}.$ (De asemenea ${D}={(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot8}={36}$ și ${-\frac{D}{4a}=-\frac{36}{-4}=9}.$)

3) ${f(0)=8}\text{:}$ punctul ${(0,\ 8)}.$ Numărul simetric al lui $0$ față de $-1$ este $-2,$ deci și ${f(-2)=8}.$

4) ${-x^2-2x+8=0}$ este echivalent cu ${x^2+2x-8=0},$ de unde ${x_1=-4}$ și ${x_2=2}.$

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$
$f(x)$	$0$	$8$	$9$	$8$	$0$

Exemplul 3. Trasează graficul funcției ${f(x)=x^2-4x+4}.$

1) ${a=1\gt0}\text{:}$ parabola se deschide în sus.

2) ${x_V=-\frac{-4}{2\cdot1}=2}$ și ${y_V=4-8+4=0}.$ Vârful este ${V(2,\ 0)};$ se află pe axa $x.$

3) ${f(0)=4},$ și numărul simetric al lui $0$ față de $2$ este $4\text{:}$ punctele ${(0,\ 4)}$ și ${(4,\ 4)}.$

4) ${{D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0}\text{:}}$ ecuația ${x^2-4x+4=0}$ are rădăcina dublă ${x_1=x_2=2},$ deci parabola atinge axa $x$ în vârful ei. De fapt, ${x^2-4x+4=(x-2)^2}.$ Adăugăm încă două perechi simetrice: ${f(1)=f(3)=1}$ și ${f(-1)=f(5)=9}.$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Exemplul 4. Trasează graficul funcției ${f(x)=-x^2+4x-5}.$

1) ${a=-1\lt0}\text{:}$ parabola se deschide în jos.

2) ${x_V=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2}$ și ${y_V=-4+8-5=-1}.$ Vârful este ${V(2,\ -1)}.$

3) ${f(0)=-5},$ și numărul simetric al lui $0$ față de $2$ este $4\text{:}$ punctele ${(0,\ -5)}$ și ${(4,\ -5)}.$

4) ${D}={4^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)}={16-20}={-4}\lt{0\text{:}}$ ecuația ${-x^2+4x-5=0}$ nu are soluții reale, iar parabola nu taie axa $x.$ Se deschide în jos de la vârful ${(2,\ -1)},$ deci se află toată sub axa $x.$ Alegem mai multe valori simetrice față de $2\text{:}$ ${f(1)=f(3)=-2}$ și ${f(-1)=f(5)=-10}.$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$-10$	$-5$	$-2$	$-1$	$-2$	$-5$	$-10$

Exemplul 5. Trasează graficul funcției ${f(x)=2x^2-6x+3}.$ Aici vârful și rădăcinile nu sunt numere întregi.

1) ${a=2\gt0}\text{:}$ parabola se deschide în sus și este mai îngustă decât ${y=x^2}.$

2) ${x_V=-\frac{-6}{2\cdot2}=\frac{3}{2}}$ și ${y_V}={2\cdot\frac{9}{4}-6\cdot\frac{3}{2}+3}={\frac{9}{2}-9+3}={-\frac{3}{2}.}$ Vârful este ${V\left(\frac{3}{2},\ -\frac{3}{2}\right)},$ adică ${(1{,}5;\ -1{,}5)}.$

3) ${f(0)=3};$ numărul simetric al lui $0$ este ${-\frac{b}{a}=3},$ deci ${f(3)=3}.$

4) ${D=36-24=12}$ și ${x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}}.$ Ca să reprezentăm aceste puncte, le rotunjim: ${x_1\approx0{,}63}$ și ${x_2\approx2{,}37}.$

5) Încă o pereche simetrică: ${f(1)=f(2)=-1}.$

$x$	$0$	$\approx0{,}63$	$1$	$1{,}5$	$2$	$\approx2{,}37$	$3$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$-1{,}5$	$-1$	$0$	$3$

Dacă domeniul de definiție al funcției nu este mulțimea tuturor numerelor reale, ci un interval, trasăm numai partea parabolei ale cărei puncte au $x$ în acel interval. Capetele intervalului trebuie să se afle în tabel.

Exemplul 6. Trasează graficul funcției ${f(x)=x^2-2x-3}$ pentru ${x\ge0},$ adică ${f\colon[0,\ +\infty)\to\mathbb{R}}.$

Este funcția din exemplul 1: vârful este ${V(1,\ -4)},$ ${f(0)=-3}$ și ${f(2)=-3}.$ Dintre rădăcinile $-1$ și $3,$ doar ${x=3}$ se află în domeniu, deoarece ${-1\lt0}.$ Capătul ${x=0}$ aparține domeniului, deci punctul ${(0,\ -3)}$ se desenează plin.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Graficul este partea parabolei trasată cu linie continuă. Partea punctată, pentru ${x\lt0},$ nu îi aparține.

Poți vedea cum se schimbă parabola când variază $a,$ $b$ și $c$ în Programul pentru reprezentarea grafică și studiul funcțiilor: mută cursoarele, iar vârful, punctele de intersecție și tabelul de valori se actualizează instantaneu.

Reprezentarea grafică pornind de la forma canonică

Notăm coordonatele vârfului cu ${h=-\frac{b}{2a}}$ și ${k=-\frac{D}{4a}}.$ Atunci forma canonică a funcției de gradul al doilea devine:

$$y=a(x-h)^2+k.$$

Exemplul 7. Trasează graficul funcției ${y=x^2+2x-3}$ mutând graficul funcției ${y=x^2}.$

Completăm pătratul: ${x^2+2x-3}={(x^2+2x+1)-1-3}={(x+1)^2-4.}$ Prin urmare, ${h=-1}$ și ${k=-4}\text{:}$ graficul este parabola ${y=x^2}$ mutată cu $1$ unitate spre stânga și cu $4$ unități în jos, iar vârful ei este ${(-1,\ -4)}.$ Intersecțiile cu axa $x$ se obțin din ${(x+1)^2=4},$ adică ${x+1=\pm2}\text{:}$ ${x=-3}$ și ${x=1}.$ Intersecția cu axa $y$ este ${(0,\ -3)}.$

Dacă ${D\ge0},$ o funcție de gradul al doilea se poate scrie și în forma factorizată ${y=a(x-x_1)(x-x_2)}.$ Atunci rădăcinile $x_1$ și $x_2$ se citesc direct, iar axa de simetrie se află exact la jumătatea distanței dintre ele: ${x_V=\frac{x_1+x_2}{2}}.$ De exemplu, parabola ${y=-(x-1)(x+3)}$ taie axa $x$ în $1$ și în $-3,$ deci ${x_V=\frac{1+(-3)}{2}=-1}$ și ${y_V}={-(-1-1)(-1+3)}={4.}$ Vârful ei este ${(-1,\ 4)}.$ Cele trei forme sunt comparate în tabelul Trei forme de a scrie o funcție de gradul al doilea.

Proprietățile funcției de gradul al doilea

Graficul arată dintr-o privire proprietățile principale ale funcției ${f(x)=ax^2+bx+c}.$ În continuare, ${x_V=-\frac{b}{2a}}$ și ${y_V=-\frac{D}{4a}}$ sunt coordonatele vârfului, iar ${x_1\lt x_2}$ sunt rădăcinile când ${D\gt0}.$

Proprietate	${a\gt0}$	${a\lt0}$
Domeniul de definiție	toate numerele reale	toate numerele reale
Mulțimea valorilor	${[y_V,\ +\infty)}$	${(-\infty,\ y_V]}$
Valoarea extremă	minim $y_V$ în ${x=x_V},$ fără maxim	maxim $y_V$ în ${x=x_V},$ fără minim
Creștere și descreștere	descrescătoare pe ${(-\infty,\ x_V]},$ crescătoare pe ${[x_V,\ +\infty)}$	crescătoare pe ${(-\infty,\ x_V]},$ descrescătoare pe ${[x_V,\ +\infty)}$
Semnul dacă ${D\gt0}$	${f(x)\lt0}$ între rădăcini, ${f(x)\gt0}$ pentru ${x\lt x_1}$ și pentru ${x\gt x_2}$	${f(x)\gt0}$ între rădăcini, ${f(x)\lt0}$ pentru ${x\lt x_1}$ și pentru ${x\gt x_2}$
Semnul dacă ${D=0}$	${f(x)\gt0}$ pentru orice ${x\ne x_V}$	${f(x)\lt0}$ pentru orice ${x\ne x_V}$
Semnul dacă ${D\lt0}$	${f(x)\gt0}$ pentru orice $x$	${f(x)\lt0}$ pentru orice $x$

Exemplul 8. Citește proprietățile funcției ${f(x)=x^2-2x-3}$ pe graficul ei din exemplul 1.

Vârful este ${(1,\ -4)}$ iar parabola se deschide în sus, deci valoarea minimă a lui $f$ este $-4$ (în ${x=1}$), iar mulțimea valorilor (imaginea) este ${[-4,\ +\infty)}.$ Funcția este descrescătoare pe ${(-\infty,\ 1]}$ și crescătoare pe ${[1,\ +\infty)}.$ Rădăcinile (zerourile) ei sunt $-1$ și $3;$ ${f(x)\lt0}$ pentru ${-1\lt x\lt3}$ (acolo graficul se află sub axa $x$), iar ${f(x)\gt0}$ pentru ${x\lt-1}$ și pentru ${x\gt3}.$ Așa se rezolvă inecuațiile de gradul al doilea: inecuația ${x^2-2x-3\lt0}$ este adevărată exact pentru ${-1\lt x\lt3}.$

Cum afli ecuația unei parabole din graficul ei

Exemplul 9. Află funcția de gradul al doilea al cărei grafic este arătat în figură.

Rezolvarea 1 (forma factorizată). Parabola taie axa $x$ în $-1$ și în $3,$ deci ${y=a(x+1)(x-3)}.$ Trece prin ${(0,\ 3)}\text{:}$ ${3=a\cdot1\cdot(-3)},$ de unde ${a=-1}$ și

${y}={-(x+1)(x-3)}={-x^2+2x+3.}$

Rezolvarea 2 (forma canonică). Vârful este ${(1,\ 4)},$ deci ${y=a(x-1)^2+4}.$ Punctul ${(3,\ 0)}$ aparține graficului: ${0=a\cdot2^2+4},$ de unde ${a=-1}$ și ${y}={-(x-1)^2+4}={-x^2+2x+3.}$

Dacă cunoaștem doar trei puncte ale graficului și niciunul dintre ele nu este vârful sau o rădăcină, le înlocuim în ${y=ax^2+bx+c}$ și rezolvăm sistemul de trei ecuații liniare cu necunoscutele $a,$ $b$ și $c.$

Cum se construiește o parabolă: focar și directoare (animație)

O parabolă se poate defini și geometric, fără formulă. Luăm o dreaptă $d,$ numită directoare și un punct $F$ care nu se află pe ea, numit focar. Parabola este mulțimea tuturor punctelor $M$ care se află la aceeași distanță de focar ca și de directoare: ${MF=MH},$ unde $H$ este piciorul perpendicularei duse din $M$ pe $d.$

Punctul $M$ se mișcă pe parabola ${y=\frac{x^2}{4}}.$ Distanța lui până la focarul ${F(0,\ 1)}$ este mereu egală cu distanța lui până la directoarea ${y=-1}.$

Să verificăm pentru parabola ${y=\frac{x^2}{4}}.$ Pentru un punct ${M\left(x,\ \frac{x^2}{4}\right)},$ distanța până la directoare este ${MH=\frac{x^2}{4}+1},$ și

${MF^2}={x^2+\left(\frac{x^2}{4}-1\right)^2}={\frac{x^4}{16}+\frac{x^2}{2}+1}={\left(\frac{x^2}{4}+1\right)^2,}$

deci ${MF=MH}.$ În general, parabola ${y=ax^2}$ are focarul ${\left(0,\ \frac{1}{4a}\right)}$ și directoarea ${y=-\frac{1}{4a}}.$ O oglindă în formă de parabolă reflectă spre focar toate razele paralele cu axa ei și transformă lumina unei lămpi aflate în focar într-un fascicul de raze paralele. De aceea antenele parabolice și cuptoarele solare (razele merg spre focar) și farurile mașinilor (lumina pleacă din focar) au formă parabolică. Mai multe despre această curbă: Elipsa, parabola, hiperbola.

Probleme pentru exersat

1. Fără să trasezi graficul, spune încotro se deschide fiecare parabolă și află vârful și axa ei de simetrie: a) ${y=x^2+6x+5};$ b) ${y=-2x^2+8x-3};$ c) ${y=3x^2-12}.$

Răspuns

a) ${a=1\gt0},$ în sus; ${x_V=-\frac{6}{2}=-3},$ ${y_V=9-18+5=-4};$ vârful ${(-3,\ -4)},$ axa ${x=-3}.$

b) ${a=-2\lt0},$ în jos; ${x_V=-\frac{8}{-4}=2},$ ${y_V=-8+16-3=5};$ vârful ${(2,\ 5)},$ axa ${x=2}.$

c) ${a=3\gt0},$ în sus; ${b=0},$ deci ${x_V=0}$ și ${y_V=-12};$ vârful ${(0,\ -12)},$ axa de simetrie este axa $y$ (${x=0}$).

2. Află punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate: a) ${y=x^2-x-6};$ b) ${y=x^2+4x+4};$ c) ${y=2x^2-x+3}.$

Răspuns

a) Axa $y\text{:}$ ${(0,\ -6)}.$ ${x^2-x-6=0}$ dă ${x=-2}$ și ${x=3}\text{:}$ punctele ${(-2,\ 0)}$ și ${(3,\ 0)}.$

b) Axa $y\text{:}$ ${(0,\ 4)}.$ ${x^2+4x+4=(x+2)^2=0}$ dă ${x=-2}\text{:}$ parabola atinge axa $x$ în ${(-2,\ 0)}.$

c) Axa $y\text{:}$ ${(0,\ 3)}.$ ${D=1-24=-23\lt0}\text{:}$ graficul nu taie axa $x.$

3. Trasează graficul funcției ${y=x^2+2x-8}.$

Răspuns

În sus; ${x_V=-1},$ ${y_V=1-2-8=-9};$ intersecția cu axa $y,$ ${(0,\ -8)},$ și punctul ei simetric, ${(-2,\ -8)};$ rădăcinile ${x=-4}$ și ${x=2}.$ Încă o pereche: ${f(-5)=f(3)=7}.$

$x$	$-5$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$3$
$y$	$7$	$0$	$-8$	$-9$	$-8$	$0$	$7$

4. Trasează graficul funcției ${y=-x^2+6x-9}.$

Răspuns

${-x^2+6x-9}={-(x-3)^2.}$ În jos; vârful ${(3,\ 0)}$ se află pe axa $x$ (${D=0}$), iar axa de simetrie este ${x=3}.$ Intersecția cu axa $y,$ ${(0,\ -9)},$ și punctul ei simetric, ${(6,\ -9)};$ încă o pereche: ${f(2)=f(4)=-1}.$

$x$	$0$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$-9$	$-1$	$0$	$-1$	$-9$

5. a) Care parabolă este mai largă: ${y=3x^2}$ sau ${y=\frac{1}{3}x^2}?$ b) Care dintre parabolele ${y=-2x^2+1},$ ${y=5-x+x^2}$ și ${y=4-3x^2}$ se deschid în jos?

Răspuns

a) ${y=\frac{1}{3}x^2},$ deoarece $\frac{1}{3}$ este mai aproape de $0$ decât $3.$ b) ${y=-2x^2+1}$ (${a=-2}$) și ${y=4-3x^2}$ (${a=-3}$). În ${y=5-x+x^2}$ coeficientul lui $x^2$ este ${a=1\gt0},$ deci se deschide în sus.

6. Scrie în forma canonică și indică vârful: a) ${y=x^2-6x+11};$ b) ${y=2x^2+4x-1}.$

Răspuns

a) ${x^2-6x+11}={(x^2-6x+9)+2}={(x-3)^2+2;}$ vârful ${(3,\ 2)}.$

b) ${2x^2+4x-1}={2(x^2+2x+1)-2-1}={2(x+1)^2-3;}$ vârful ${(-1,\ -3)}.$

7. Pentru ${f(x)=-x^2+4x+1},$ află valoarea maximă, mulțimea valorilor și intervalele pe care $f$ este crescătoare și descrescătoare.

Răspuns

${x_V=-\frac{4}{-2}=2},$ ${y_V=-4+8+1=5}$ și ${a\lt0}.$ Valoarea maximă este $5$ (în ${x=2}$), iar mulțimea valorilor este ${(-\infty,\ 5]};$ $f$ este crescătoare pe ${(-\infty,\ 2]}$ și descrescătoare pe ${[2,\ +\infty)}.$

8. Află valoarea minimă și valoarea maximă a funcției ${f(x)=x^2-4x}$ pentru ${1\le x\le5}.$

Răspuns

${x_V=2}$ se află în intervalul ${[1,\ 5]},$ deci valoarea minimă este ${f(2)=-4}.$ Valoarea maximă se atinge la unul dintre capete: ${f(1)=-3},$ ${f(5)=5},$ deci este $5.$ Mulțimea valorilor lui $f$ pe acest interval este ${[-4,\ 5]}.$

9. Află funcția de gradul al doilea al cărei grafic are vârful ${(2,\ -3)}$ și trece prin punctul ${(0,\ 1)}.$

Răspuns

${y=a(x-2)^2-3}$ și ${1=4a-3},$ de unde ${a=1}\text{:}$ ${y}={(x-2)^2-3}={x^2-4x+1.}$

10. Parabola ${y=x^2+bx+c}$ are vârful ${(-2,\ 1)}.$ Află $b$ și $c.$

Răspuns

${x_V=-\frac{b}{2}=-2},$ deci ${b=4}.$ Atunci ${y_V=4-8+c=1},$ de unde ${c=5}\text{:}$ ${y}={x^2+4x+5}={(x+2)^2+1.}$

11. Pentru ce valori ale lui $m$ parabola ${y=x^2-4x+m}$ nu taie axa $x?$

Răspuns

Avem nevoie de ${D\lt0}\text{:}$ ${16-4m\lt0},$ adică ${m\gt4}.$

12. O minge este aruncată în sus. Înălțimea ei după $t$ secunde este ${h(t)=-5t^2+20t+1}$ metri. În ce moment atinge înălțimea maximă și care este această înălțime?

Răspuns

Graficul funcției $h$ este o parabolă care se deschide în jos, deci înălțimea maximă se atinge în vârf: ${t_V=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2}$ secunde și ${h(2)}={-20+40+1}={21}$ metri.