Probleme cu ecuații

O problemă enunțată descrie o situație prin cuvinte și cere un număr: un preț, o vârstă, o distanță. Algebra o rezolvă în două etape. Mai întâi traduci enunțul într-o ecuație, apoi rezolvi ecuația. Cum se rezolvă ecuațiile este explicat în Ecuații liniare. Această pagină se ocupă de traducere, pentru că aici se află aproape toată dificultatea.

Ideea care face algebra să funcționeze este simplă: numărul căutat primește un nume, de obicei $x$, iar ce spune problema despre el scrii ca și cum l-ai cunoaște deja. Restul îl face ecuația.

Pe această pagină: Cum rezolvi o problemă · De la cuvinte la algebră · Probleme cu numere · Părți dintr-un întreg · Vârste · Împărțiri și comparații · Rapoarte · Mișcare · Răspunsuri negative

Cum rezolvi o problemă cu ecuații

1. Alege necunoscuta. Hotărăște ce cauți și dă-i o literă: „Fie $x$ prețul ceasului în lei”. Scrie această propoziție.
2. Scrie celelalte mărimi cu ajutorul lui $x$. Fiecare mărime din problemă trebuie să fie un număr sau o expresie cu $x$.
3. Scrie ecuația. Caută două expresii care, după problemă, sunt egale și pune semnul egal între ele.
4. Rezolvă ecuația.
5. Verifică și răspunde. Verifică răspunsul cu enunțul, nu doar cu ecuația ta, și răspunde la întrebare, cu unități de măsură.

Exemplu. Un om a fost întrebat cât a plătit pe ceasul lui. A răspuns: „Dacă înmulțești prețul cu 4, adaugi 70 și apoi scazi 50, obții 220 de lei”. Cât a costat ceasul?

Rezolvare: Fie $x$ prețul în lei. Traduce răspunsul bucată cu bucată:

Cuvinte	Algebră
prețul	$x$
înmulțești prețul cu 4	${4x}$
adaugi 70	${4x+70}$
apoi scazi 50	${4x+70-50}$
obții 220	${4x+70-50=220}$

Acum rezolvă ecuația:

${{4x+20}={220}}$, deci ${4x=200}$ și ${x=50}$

Verificare cu enunțul: ${4\cdot 50=200}$, apoi ${200+70=270}$, apoi ${270-50=220}$ ✓

Răspuns: ceasul a costat $\$50$.

De la cuvinte la limbajul algebric

Aceste expresii apar iar și iar. Aici $x$ este numărul necunoscut.

Cuvinte	Algebră
cu 7 mai mult decât un număr, un număr mărit cu 7	${x+7}$
cu 7 mai puțin decât un număr, un număr micșorat cu 7	${x-7}$
7 minus un număr	${7-x}$
dublul unui număr	${2x}$
triplul unui număr, plus 10	${3x+10}$
triplul sumei dintre un număr și 10	${3(x+10)}$
jumătatea unui număr	${\frac{x}{2}}$
două treimi dintr-un număr	${\frac{2x}{3}}$
un număr împărțit la 12	${\frac{x}{12}}$
este, este egal cu, dă, va fi, se ridică la	$=$
$A$ este cu 20 mai mare decât $B$, $A$ depășește pe $B$ cu 20	${A=B+20}$
trei numere naturale consecutive	$x$, ${x+1}$, ${x+2}$

„Cu 7 mai puțin decât un număr” înseamnă ${x-7}$, nu ${7-x}$: pornești de la număr și scazi 7. La scădere și la împărțire ordinea contează, așa că citește aceste expresii cu atenție.

Mai multe mărimi, o singură literă

Multe probleme vorbesc despre două sau mai multe mărimi necunoscute. Dacă știi cum sunt legate între ele, le poți scrie pe toate cu aceeași literă:

Problema spune	Scrie mărimile astfel
două numere au suma 48	$x$ și ${48-x}$
două numere diferă cu 40	$x$ și ${x+40}$
Bogdan are de trei ori cât are Ana	$x$ pentru Ana și ${3x}$ pentru Bogdan
două mărimi sunt în raportul ${9:7}$	${9x}$ și ${7x}$

Dă litera mărimii cu ajutorul căreia se descriu celelalte, care este de obicei cea mai mică. Așa eviți fracțiile: dacă ce are Ana este $x$, ce are Bogdan este ${3x}$, în timp ce, dacă ce are Bogdan ar fi $x$, ce are Ana ar fi ${\frac{x}{3}}$.

Probleme cu numere

În aceste probleme necunoscuta este pur și simplu un număr, iar enunțul spune ce se face cu el.

Exemplul 1. Dacă la un număr adaugi jumătatea lui, iar din sumă scazi 20, obții un sfert din număr. Află numărul.

Rezolvare: Fie $x$ numărul. Jumătatea lui este ${\frac{x}{2}}$, iar un sfert din el este ${\frac{x}{4}}$, deci

${{x+\frac{x}{2}-20}={\frac{x}{4}}}$

Înmulțește ambii membri cu 4 ca să elimini fracțiile:

${{4x+2x-80}={x}}$, deci ${5x=80}$ și ${x=16}$

Verificare: ${16+8-20=4}$, iar un sfert din 16 este 4 ✓

Exemplul 2. Împarte 48 în două părți astfel încât partea mai mică împărțită la 4, plus partea mai mare împărțită la 6, să fie egală cu 9.

Rezolvare: Fie $x$ partea mai mică. Cele două părți au suma 48, deci partea mai mare este ${48-x}$:

${{\frac{x}{4}+\frac{48-x}{6}}={9}}$

Înmulțește cu 12:

${{3x+2(48-x)}={108}}$

${{3x+96-2x}={108}}$, deci ${x=12}$

Părțile sunt 12 și 36. Verificare: ${{\frac{12}{4}+\frac{36}{6}}={3+6}={9}}$ ✓

Încearcă singur. Deschide o problemă ca să vezi rezolvarea.

1. Dacă un număr se împarte la 12, câtul, numărul și 12 au suma 64. Află numărul.

Fie $x$ numărul: ${{\frac{x}{12}+x+12}={64}}$. Înmulțește cu 12: ${{x+12x+144}={768}}$, deci ${13x=624}$ și ${x=48}$.

Verificare: ${4+48+12=64}$ ✓

2. Un număr este cu cât mai mic decât 500, cu atât a cincea parte a lui este mai mare decât 40. Află numărul.

Fie $x$ numărul. Este cu ${500-x}$ mai mic decât 500, iar a cincea parte a lui este cu ${\frac{x}{5}-40}$ mai mare decât 40, deci

${{500-x}={\frac{x}{5}-40}}$

Înmulțește cu 5: ${{2\,500-5x}={x-200}}$, deci ${2\,700=6x}$ și ${x=450}$.

Verificare: ${500-450=50}$ și ${90-40=50}$ ✓

3. A șasea parte dintr-un număr depășește cu 20 a opta parte a lui. Află numărul.

${{\frac{x}{6}-\frac{x}{8}}={20}}$. Înmulțește cu 24: ${4x-3x=480}$, deci ${x=480}$.

Verificare: ${80-60=20}$ ✓

4. A patra parte dintr-un număr depășește cu 96 a cincea parte a lui. Află numărul.

${{\frac{x}{4}-\frac{x}{5}}={96}}$. Înmulțește cu 20: ${5x-4x=1\,920}$, deci ${x=1\,920}$.

Verificare: ${480-384=96}$ ✓

5. O treime, un sfert și două șeptimi dintr-un număr au suma 73. Află numărul.

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{2x}{7}}={73}}$. Înmulțește cu 84: ${28x+21x+24x}={73\cdot 84}$, deci ${73x=73\cdot 84}$ și ${x=84}$.

Verificare: ${28+21+24=73}$ ✓

6. Dacă la un număr adaugi 10, trei cincimi din sumă sunt 66. Află numărul.

${{\frac{3}{5}(x+10)}={66}}$. Înmulțește cu 5 și împarte la 3: ${x+10=110}$, deci ${x=100}$.

Verificare: ${\frac{3}{5}\cdot 110=66}$ ✓

7. Dacă la un număr adaugi 720 și împarți suma la 125, obții același rezultat ca la împărțirea lui 7392 la 462. Află numărul.

Mai întâi calculează membrul cunoscut: ${7\,392\div 462=16}$. Atunci ${{\frac{x+720}{125}}={16}}$, deci ${x+720=2\,000}$ și ${x=1\,280}$.

Verificare: ${\frac{2\,000}{125}=16}$ ✓

8. Împarte 68 în două părți astfel încât 84 minus partea mai mare să fie triplul lui 40 minus partea mai mică.

Fie $x$ partea mai mare; cea mai mică este ${68-x}$:

${84-x}={3\left(40-(68-x)\right)}$

${{84-x}={3x-84}}$, deci ${168=4x}$ și ${x=42}$

Părțile sunt 42 și 26. Verificare: ${84-42=42}$ și ${3(40-26)=42}$ ✓

9. Împarte 36 în trei părți astfel încât jumătate din prima, a treia parte din a doua și a patra parte din a treia să fie egale.

Notează cu $x$ această valoare comună. Atunci părțile sunt ${2x}$, ${3x}$ și ${4x}$, deci ${2x+3x+4x=36}$, ${9x=36}$ și ${x=4}$.

Părțile sunt 8, 12 și 16. Verificare: jumătate din 8, a treia parte din 12 și a patra parte din 16 sunt toate 4 ✓

Părți dintr-un întreg

Când o problemă descrie fracții dintr-un total, notează cu $x$ totalul. Părțile, scrise cu $x$, au suma $x$.

Exemplu. Trei frați își împart o moștenire. Primul primește cu $\$1\,000$ mai puțin decât jumătate, al doilea cu $\$800$ mai puțin decât o treime, iar al treilea cu $\$600$ mai puțin decât un sfert. La cât se ridică moștenirea?

Rezolvare: Fie $x$ moștenirea în lei. Cele trei părți sunt

${\frac{x}{2}-1\,000}$, ${\frac{x}{3}-800}$ și ${\frac{x}{4}-600}$

iar împreună formează toată moștenirea:

${\frac{x}{2}-1\,000}+{\frac{x}{3}-800}+{\frac{x}{4}-600}={x}$

Înmulțește cu 12:

${6x-12\,000}+{4x-9\,600}+{3x-7\,200}={12x}$

${13x-28\,800}={12x}$, deci ${x=28\,800}$

Moștenirea este de $\$28\,800$, iar părțile sunt $\$13\,400$, $\$8\,800$ și $\$6\,600$. Verificare: ${13\,400+8\,800+6\,600}={28\,800}$ ✓

Încearcă singur.

10. O treime, un sfert și o cincime dintr-o sumă de bani au suma $\$94$. Care este suma?

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}}={94}}$. Înmulțește cu 60: ${20x+15x+12x}={5\,640}$, deci ${47x=5\,640}$ și ${x=120}$.

Suma este $\$120$. Verificare: ${40+30+24=94}$ ✓

11. Marius a trăit o treime din viață la Iași, un sfert la Timișoara și ultimii 20 de ani la Cluj-Napoca. Câți ani are?

Fie $x$ vârsta lui Marius: ${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+20}={x}}$. Înmulțește cu 12: ${{4x+3x+240}={12x}}$, deci ${240=5x}$ și ${x=48}$.

Marius are 48 de ani. Verificare: ${16+12+20=48}$ ✓

12. Un stâlp este înfipt într-un iaz. A cincea parte din lungimea lui este sub pământ, trei șeptimi sunt în apă și 13 dm ies deasupra apei. Cât măsoară stâlpul?

Fie $x$ lungimea stâlpului în decimetri: ${{\frac{x}{5}+\frac{3x}{7}+13}={x}}$. Înmulțește cu 35: ${{7x+15x+455}={35x}}$, deci ${455=13x}$ și ${x=35}$.

Stâlpul măsoară 35 dm, adică ${3{,}5}$ m. Verificare: ${7+15+13=35}$ ✓

13. Într-o livadă, trei sferturi dintre pomi sunt meri, o zecime sunt peri, iar restul sunt piersici, care sunt cu 20 mai mulți decât a opta parte din toți pomii. Câți pomi sunt în livadă?

Fie $x$ numărul de pomi. Piersicii sunt ${x-\frac{3x}{4}-\frac{x}{10}}={\frac{3x}{20}}$, deci

${{\frac{3x}{20}}={\frac{x}{8}+20}}$

Înmulțește cu 40: ${6x=5x+800}$, deci ${x=800}$.

Verificare: sunt 600 de meri, 80 de peri și 120 de piersici, iar ${\frac{800}{8}+20=120}$ ✓

14. Patru fii își împart o moștenire. Primul primește cu $\$200$ mai mult decât un sfert, al doilea cu $\$340$ mai mult decât o cincime, al treilea cu $\$300$ mai mult decât o șesime, iar al patrulea cu $\$400$ mai mult decât o optime. La cât se ridică moștenirea?

Fie $x$ moștenirea în lei. Cele patru părți formează toată moștenirea:

${\frac{x}{4}+200}+{\frac{x}{5}+340}+{\frac{x}{6}+300}+{\frac{x}{8}+400}={x}$

Înmulțește cu 120:

${30x+24\,000}+{24x+40\,800}+{20x+36\,000}+{15x+48\,000}={120x}$

${89x+148\,800}={120x}$, deci ${148\,800=31x}$ și ${x=4\,800}$

Moștenirea este de $\$4\,800$. Părțile sunt $\$1\,400$, $\$1\,300$, $\$1\,100$ și $\$1\,000$, iar suma lor este $\$4\,800$ ✓

15. După ce a cheltuit $\$100$ mai mult decât o treime din salariul lunar, Luciei i-au rămas $\$35$ mai mult decât jumătate. Care este salariul ei?

Fie $x$ salariul în lei. Ioana a cheltuit ${\frac{x}{3}+100}$, deci

${x-\left(\frac{x}{3}+100\right)}={\frac{x}{2}+35}$

Înmulțește cu 6: ${{6x-2x-600}={3x+210}}$, deci ${x=810}$.

Salariul ei este de $\$810$. Verificare: a cheltuit ${270+100=370}$ și i-au rămas ${810-370=440}$, adică ${405+35}$ ✓

16. Un rezervor plin cu apă a pierdut o treime din apă printr-o scurgere. Apoi s-au scos 21 de litri și rezervorul a rămas pe jumătate. Câți litri încap în rezervor?

Fie $x$ capacitatea în litri: ${{x-\frac{x}{3}-21}={\frac{x}{2}}}$. Înmulțește cu 6: ${{6x-2x-126}={3x}}$, deci ${x=126}$.

În rezervor încap 126 de litri. Verificare: ${126-42-21=63}$, adică jumătate din 126 ✓

17. Într-o școală, jumătate dintre elevi plus 36 vin pe jos, o optime plus 6 vin cu bicicleta, iar restul, care este a cincea parte din toți elevii, vine cu autobuzul. Câți elevi are școala?

Fie $x$ numărul de elevi. Cele trei grupuri formează toată școala:

${\frac{x}{2}+36}+{\frac{x}{8}+6}+{\frac{x}{5}}={x}$

Înmulțește cu 40: ${20x+1\,440}+{5x+240}+{8x}={40x}$, deci ${{33x+1\,680}={40x}}$, ${1\,680=7x}$ și ${x=240}$.

Sunt 240 de elevi. Verificare: 156 vin pe jos, 36 cu bicicleta și 48 cu autobuzul, iar ${156+36+48=240}$ ✓

18. Un pachet de fructe uscate conține nuci, stafide și bucăți de ciocolată. Nucile cântăresc cu 10 g mai mult decât două treimi din pachet, stafidele cu ${4{,}5}$ g mai puțin decât a șasea parte din pachet, iar bucățile de ciocolată cu 2 g mai puțin decât a șaptea parte din nuci. Cât cântărește pachetul?

Fie $x$ greutatea pachetului în grame. Nucile cântăresc ${\frac{2x}{3}+10}$, stafidele ${\frac{x}{6}-4{,}5}$, iar bucățile de ciocolată

${\frac{1}{7}\left(\frac{2x}{3}+10\right)-2}={\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}$

Cele trei părți formează tot pachetul:

${\frac{2x}{3}+10}+{\frac{x}{6}-4{,}5}+{\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}={x}$

Înmulțește cu 42:

${28x+420}+{7x-189}+{4x+60-84}={42x}$

${{39x+207}={42x}}$, deci ${207=3x}$ și ${x=69}$

Pachetul cântărește 69 g: 56 g de nuci, 7 g de stafide și 6 g de bucăți de ciocolată. Verificare: ${56+7+6=69}$ ✓

Probleme cu vârste

Notează cu $x$ vârsta unei persoane, de obicei a celei mai tinere, și scrie celelalte vârste pornind de la ea. Toți îmbătrânesc în același ritm: peste 5 ani, fiecare vârstă crește cu 5.

Exemplu. Șase frați s-au născut la câte 4 ani distanță unul de altul, iar cel mai mare are de trei ori vârsta celui mai mic. Ce vârstă are fiecare?

Rezolvare: Fie $x$ vârsta celui mai mic. Vârstele sunt

$x$, ${x+4}$, ${x+8}$, ${x+12}$, ${x+16}$, ${x+20}$

Cel mai mare are de trei ori vârsta celui mai mic:

${{x+20}={3x}}$, deci ${20=2x}$ și ${x=10}$

Frații au 10, 14, 18, 22, 26 și 30 de ani. Verificare: ${30=3\cdot 10}$ ✓

Încearcă singur.

19. Bunicul are de două ori vârsta tatălui, iar tatăl are de trei ori vârsta lui Sami. Împreună au 140 de ani. Ce vârstă are fiecare?

Fie $x$ vârsta lui Sami. Tatăl are ${3x}$, iar bunicul ${2\cdot 3x=6x}$:

${{x+3x+6x}={140}}$, deci ${10x=140}$ și ${x=14}$

Sami are 14 ani, tatăl 42, iar bunicul 84. Verificare: ${14+42+84=140}$ ✓

20. O mamă are cu 30 de ani mai mult decât fiica ei. Peste 5 ani va avea de trei ori vârsta fiicei. Ce vârstă au acum?

Fie $x$ vârsta fiicei; mama are ${x+30}$. Peste 5 ani vor avea ${x+5}$ și ${x+35}$:

${{x+35}={3(x+5)}}$

${{x+35}={3x+15}}$, deci ${20=2x}$ și ${x=10}$

Fiica are 10 ani, iar mama 40. Verificare: peste 5 ani vor avea 15 și 45, iar ${45=3\cdot 15}$ ✓

Împărțiri și comparații

Când mărimile sunt descrise comparându-le între ele („cu 15 mai mult decât”, „cât celelalte două la un loc”), dă litera mărimii pornind de la care se construiesc celelalte și scrie-le pe rând pe restul.

Exemplul 1. Pentru o petrecere școlară se pregătesc 146 de litri de punci din suc de portocale, suc de mere și apă. Sunt cu 15 litri mai mult suc de mere decât de portocale și atâta apă cât cele două sucuri la un loc. Câți litri sunt din fiecare?

Rezolvare: Fie $x$ cantitatea de suc de portocale în litri. Atunci sunt ${x+15}$ litri de suc de mere, iar apa este

${x+(x+15)}={2x+15}$

Totul are suma 146 de litri:

${x+(x+15)+(2x+15)}={146}$

${{4x+30}={146}}$, deci ${4x=116}$ și ${x=29}$

Sunt 29 de litri de suc de portocale, 44 de litri de suc de mere și 73 de litri de apă. Verificare: ${29+44+73=146}$ și ${29+44=73}$ ✓

Exemplul 2. O bunică a împărțit bani celor patru nepoți ai ei. Al treilea a primit cu $\$9$ mai mult decât al patrulea, al doilea cu $\$12$ mai mult decât al treilea, iar primul cu $\$18$ mai mult decât al doilea. În total a împărțit cu $\$6$ mai mult decât de 7 ori ce a primit al patrulea. Câți bani a împărțit?

Rezolvare: Fie $x$ ce a primit al patrulea nepot, în lei. Atunci al treilea a primit ${x+9}$, al doilea ${x+21}$, iar primul ${x+39}$, în total ${4x+69}$. Problema descrie totalul într-un alt mod, ca ${7x+6}$. Cele două expresii sunt egale:

${{4x+69}={7x+6}}$, deci ${63=3x}$ și ${x=21}$

Nepoții au primit $\$60$, $\$42$, $\$30$ și $\$21$, deci bunica a împărțit $\$153$. Verificare: ${7\cdot 21+6=153}$ ✓

Încearcă singur.

21. Patru prieteni au cumpărat o barcă cu pânze cu $\$4\,755$. Bogdan a plătit de trei ori cât Ana, Corina a plătit cât Ana și Bogdan la un loc, iar Dan cât Bogdan și Corina la un loc. Cât a plătit fiecare?

Fie $x$ ce a plătit Ana, în lei. Atunci Bogdan a plătit ${3x}$, Corina ${x+3x=4x}$, iar Dan ${3x+4x=7x}$:

${{x+3x+4x+7x}={4\,755}}$, deci ${15x=4\,755}$ și ${x=317}$

Ana a plătit $\$317$, Bogdan $\$951$, Corina $\$1\,268$, iar Dan $\$2\,219$. Verificare: ${317+951}+{1\,268+2\,219}={4\,755}$ ✓

22. George a cumpărat o bicicletă, o cască și un lacăt cu $\$360$. Casca a costat de două ori cât lacătul, iar bicicleta de două ori cât casca și lacătul la un loc. Cât a costat fiecare?

Fie $x$ prețul lacătului în lei. Casca a costat ${2x}$, iar bicicleta ${2(x+2x)=6x}$:

${{x+2x+6x}={360}}$, deci ${9x=360}$ și ${x=40}$

Lacătul a costat $\$40$, casca $\$80$, iar bicicleta $\$240$. Verificare: ${40+80+240=360}$ ✓

23. Un fermier avea două turme de oi de aceeași mărime. După ce a vândut 39 de oi din prima și 93 din a doua, prima turmă avea de două ori mai multe oi decât a doua. Câte oi avea la început fiecare turmă?

Fie $x$ numărul de oi din fiecare turmă:

${{x-39}={2(x-93)}}$

${{x-39}={2x-186}}$, deci ${x=147}$

Fiecare turmă avea 147 de oi. Verificare: ${147-39=108}$, ${147-93=54}$ și ${108=2\cdot 54}$ ✓

24. Primul dintre două vase are de trei ori mai multă apă decât al doilea. După ce s-au scos 4 litri din fiecare, primul are de patru ori mai multă apă decât al doilea. Câtă apă era la început în fiecare?

Fie $x$ cantitatea din al doilea vas în litri; primul are ${3x}$:

${{3x-4}={4(x-4)}}$

${{3x-4}={4x-16}}$, deci ${x=12}$

Vasele aveau 36 și 12 litri. Verificare: după ce s-a scos apa, au 32 și 8 litri, iar ${32=4\cdot 8}$ ✓

25. Leo a cumpărat vopsea cu $\$94$. A folosit 7 litri și a vândut a patra parte din rest unui vecin cu $\$20$, la același preț pe litru cu care o cumpărase. Câți litri a cumpărat?

Fie $x$ numărul de litri cumpărați. Un litru a costat ${\frac{94}{x}}$ lei, iar el a vândut ${\frac{x-7}{4}}$ litri cu 20 de lei:

${{\frac{x-7}{4}\cdot\frac{94}{x}}={20}}$

Înmulțește cu ${4x}$: ${{94(x-7)}={80x}}$, deci ${{94x-658}={80x}}$, ${14x=658}$ și ${x=47}$.

A cumpărat 47 de litri, cu $\$2$ litrul. Verificare: a vândut ${\frac{47-7}{4}=10}$ litri cu ${10\cdot 2=20}$ lei ✓

26. Proprietara unui magazin scoate $\$50$ pe an din afacere ca să trăiască. La sfârșitul fiecărui an, după ce scoate acești $\$50$, banii rămași în afacere cresc cu o treime. După trei ani banii s-au dublat. Cu câți bani a început afacerea?

Fie $x$ banii de la început în lei. În fiecare an se scot 50, iar restul se înmulțește cu ${\frac{4}{3}}$:

după 1 an: ${\frac{4}{3}(x-50)}={\frac{4x-200}{3}}$

după 2 ani: ${\frac{4}{3}\left(\frac{4x-200}{3}-50\right)}={\frac{16x-1\,400}{9}}$

după 3 ani: ${\frac{4}{3}\left(\frac{16x-1\,400}{9}-50\right)}={\frac{64x-7\,400}{27}}$

Aceasta este dublul banilor de la început: ${{\frac{64x-7\,400}{27}}={2x}}$, deci ${{64x-7\,400}={54x}}$, ${10x=7\,400}$ și ${x=740}$.

Afacerea a început cu $\$740$. Verificare an cu an:

${740-50=690}$ și ${690\cdot\frac{4}{3}=920}$

${920-50=870}$ și ${870\cdot\frac{4}{3}=1\,160}$

${1\,160-50=1\,110}$ și ${1\,110\cdot\frac{4}{3}=1\,480}$, adică ${2\cdot 740}$ ✓

Probleme cu rapoarte

Dacă două mărimi sunt în raportul ${a:b}$, scrie-le ca ${ax}$ și ${bx}$, unde $x$ este mărimea unei părți. Dacă problema dă un raport între două expresii, scrie-l ca o egalitate de două fracții și înmulțește pe diagonală. Lecția rapoarte și proporții explică ambele lucruri.

Exemplul 1. Împarte un premiu de $\$2\,000$ în două părți în raportul ${9:7}$.

Rezolvare: Fie ${9x}$ și ${7x}$ părțile în lei:

${{9x+7x}={2\,000}}$, deci ${16x=2\,000}$ și ${x=125}$

Părțile sunt ${9\cdot 125=1\,125}$ și ${7\cdot 125=875}$ lei. Verificare: ${1\,125+875=2\,000}$ ✓

Exemplul 2. Două numere sunt în raportul ${2:3}$. Dacă la fiecare se adaugă 4, raportul devine ${5:7}$. Află numerele.

Rezolvare: Fie ${2x}$ și ${3x}$ numerele. După ce adaugi 4 la fiecare,

${{\frac{2x+4}{3x+4}}={\frac{5}{7}}}$

Înmulțește pe diagonală:

${{7(2x+4)}={5(3x+4)}}$

${{14x+28}={15x+20}}$, deci ${x=8}$

Numerele sunt 16 și 24. Verificare: ${{\frac{16+4}{24+4}}={\frac{20}{28}}={\frac{5}{7}}}$ ✓

Încearcă singur.

27. Două numere diferă cu 40 și sunt în raportul ${6:5}$. Află-le.

Fie ${6x}$ și ${5x}$ numerele: ${6x-5x=40}$, deci ${x=40}$.

Numerele sunt 240 și 200. Verificare: ${240-200=40}$ și ${\frac{240}{200}=\frac{6}{5}}$ ✓

28. Raportul dintre un număr și triplul numărului plus 12 este ${2:9}$. Află numărul.

${{\frac{x}{3x+12}}={\frac{2}{9}}}$. Înmulțește pe diagonală: ${{9x}={2(3x+12)}}$, deci ${9x=6x+24}$, ${3x=24}$ și ${x=8}$.

Verificare: ${{\frac{8}{3\cdot 8+12}}={\frac{8}{36}}={\frac{2}{9}}}$ ✓

29. Ce număr trebuie adăugat la 36 și la 52 ca sumele să fie în raportul ${3:4}$?

${{\frac{36+x}{52+x}}={\frac{3}{4}}}$. Înmulțește pe diagonală: ${{4(36+x)}={3(52+x)}}$, deci ${{144+4x}={156+3x}}$ și ${x=12}$.

Verificare: ${\frac{48}{64}=\frac{3}{4}}$ ✓

30. Împarte 49 în două părți astfel încât partea mai mare mărită cu 6 și partea mai mică micșorată cu 11 să fie în raportul ${9:2}$.

Fie $x$ partea mai mare. Cea mai mică este ${49-x}$, iar cea mai mică micșorată cu 11 este ${38-x}$:

${{\frac{x+6}{38-x}}={\frac{9}{2}}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, deci ${11x=330}$ și ${x=30}$

Părțile sunt 30 și 19. Verificare: ${{\frac{30+6}{19-11}}={\frac{36}{8}}={\frac{9}{2}}}$ ✓

31. Două bucăți de stofă cu același preț pe metru costă $\$50$ și $\$65$. Dacă fiecare bucată ar avea cu 10 metri mai mult, lungimile lor ar fi în raportul ${5:6}$. Cât măsoară fiecare bucată?

Prețul pe metru este același, deci lungimile sunt în același raport ca prețurile, ${{50:65}={10:13}}$. Fie ${10x}$ și ${13x}$ lungimile în metri:

${{\frac{10x+10}{13x+10}}={\frac{5}{6}}}$

${6(10x+10)}={5(13x+10)}$

${{60x+60}={65x+50}}$, deci ${10=5x}$ și ${x=2}$

Bucățile măsoară 20 m și 26 m. Verificare: ${{\frac{20+10}{26+10}}={\frac{30}{36}}={\frac{5}{6}}}$ ✓

32. Patru sate A, B, C și D se află în această ordine de-a lungul unui drum drept, iar de la A la D sunt 34 km. Distanțele AB și CD sunt în raportul ${2:3}$, iar a patra parte din AB plus jumătate din CD este triplul lui BC. Află AB, BC și CD.

Fie ${AB=2x}$ și ${CD=3x}$. Atunci ${BC=34-5x}$, și

${{\frac{2x}{4}+\frac{3x}{2}}={3(34-5x)}}$

${{2x}={102-15x}}$, deci ${17x=102}$ și ${x=6}$

AB măsoară 12 km, BC 4 km, iar CD 18 km. Verificare: ${12+4+18=34}$, și ${3+9=12}$, adică ${3\cdot 4}$ ✓

Probleme de mișcare

Problemele de mișcare folosesc o singură formulă: distanță = viteză × timp. Un mic tabel cu câte un rând pentru fiecare mobil te ajută să scrii distanțele cu necunoscuta.

Exemplu. Un camion pleacă dintr-un depozit cu 60 km/h. O oră mai târziu pleacă din același depozit o mașină care îl urmărește cu 75 km/h. În cât timp îl ajunge mașina din urmă?

Rezolvare: Fie $t$ timpul în care merge mașina, în ore. Camionul a plecat cu o oră mai devreme, deci merge de ${t+1}$ ore.

Când mașina ajunge camionul din urmă, amândouă au parcurs aceeași distanță:

${{75t}={60(t+1)}}$

${{75t}={60t+60}}$, deci ${15t=60}$ și ${t=4}$

Mașina ajunge camionul după 4 ore, la 300 km de depozit. Verificare: ${75\cdot 4=300}$ și ${60\cdot 5=300}$ ✓

Încearcă singur.

33. Un grup de drumeți pornește pe o potecă lungă și merge 20 km pe zi. Cinci zile mai târziu pornește din același loc un al doilea grup, care merge 25 km pe zi. În câte zile ajunge al doilea grup din urmă primul grup?

Fie $t$ numărul de zile în care merge al doilea grup; până atunci primul merge de ${t+5}$ zile:

${{25t}={20(t+5)}}$

${{25t}={20t+100}}$, deci ${5t=100}$ și ${t=20}$

Al doilea grup îl ajunge pe primul după 20 de zile, la 500 km de începutul potecii. Verificare: ${25\cdot 20=500}$ și ${20\cdot 25=500}$ ✓

34. Un vapor și o barcă cu motor coboară pe un râu. Când vaporul trece pe sub un pod, barca este la 13 km în aval. În timp ce vaporul parcurge 5 km, barca parcurge 3 km. La ce distanță de pod ajunge vaporul barca din urmă?

Presupune că se întâlnesc la $d$ km în aval de pod. De la pod, vaporul parcurge $d$ km, iar barca ${d-13}$ km în același timp. Viteza vaporului este față de viteza bărcii ca 5 față de 3, deci

${{\frac{d}{5}}={\frac{d-13}{3}}}$

${{3d}={5d-65}}$, deci ${65=2d}$ și ${d=32{,}5}$

Vaporul ajunge barca din urmă la ${32{,}5}$ km de pod. Verificare: până atunci barca a parcurs ${32{,}5-13=19{,}5}$ km, iar ${\frac{32{,}5}{19{,}5}=\frac{5}{3}}$ ✓

Răspunsuri negative și zero

Când o problemă are mărimi în sensuri opuse, cum sunt câștigurile și pierderile sau nordul și sudul, dă unui sens semnul plus și celuilalt semnul minus. Astfel, un răspuns negativ indică sensul contrar.

Exemplul 1. Un magazin a avut un câștig sau o pierdere în ianuarie. În februarie a câștigat $\$350$, iar în martie a pierdut $\$60$. În cele trei luni la un loc a câștigat $\$200$. Ce s-a întâmplat în ianuarie?

Rezolvare: Numără câștigurile ca pozitive și pierderile ca negative, și fie $x$ rezultatul din ianuarie:

${{x+350-60}={200}}$, deci ${x=-90}$

Semnul minus arată o pierdere: în ianuarie magazinul a pierdut $\$90$. Verificare: ${-90+350-60=200}$ ✓

Exemplul 2. O navă merge 4° spre nord, apoi 13° spre sud, apoi 17° spre nord și apoi 19° spre sud, și ajunge la latitudinea 11° sud. De unde a plecat?

Rezolvare: Numără nordul ca pozitiv și sudul ca negativ, și fie $x$ latitudinea de plecare:

${{x+4-13+17-19}={-11}}$

${{x-11}={-11}}$, deci ${x=0}$

Latitudinea 0 este ecuatorul: nava a plecat de la ecuator.

Dacă răspunsul nu poate fi corect, cum ar fi un număr negativ de persoane, o fracțiune de oaie sau o vârstă de 300 de ani, nu-l scrie pur și simplu. Întoarce-te la ecuație: aproape întotdeauna vreo expresie a fost tradusă greșit.

Mai multe despre ecuații: Ecuații liniare · Rapoarte și proporții · Procente