Ecuații liniare

O ecuație este o egalitate între două expresii, de exemplu ${3x+5=20}$. Litera $x$ reprezintă un număr necunoscut, iar a rezolva ecuația înseamnă a găsi numărul care face egalitatea adevărată. Ecuațiile în care necunoscuta apare doar cu exponentul 1, ca ${3x+5=20}$ sau ${2(x-1)=\frac{x}{3}+4}$, se numesc ecuații liniare (sau ecuații de gradul întâi). Sunt primele ecuații pe care le înveți să le rezolvi, iar aproape toate problemele de algebră date în cuvinte duc la una dintre ele.

Pe această pagină: Ce este o ecuație · Regula balanței · Ecuații cu un singur pas · Mutarea termenilor · Înmulțire și împărțire · Pas cu pas · Fracții · Proporții · Fără soluție sau cu o infinitate de soluții · Exprimarea unei litere · Probleme rezolvate · Exersare

Ce este o ecuație?

Cele două expresii ale unei ecuații sunt membrii ei: în ${3x+5=20}$ primul membru este ${3x+5}$ iar al doilea este $20$. Un număr care face egali cei doi membri este o soluție, sau rădăcină, a ecuației.

Exemplu. Este ${x=5}$ o soluție a ecuației ${3x+5=20}$? Înlocuim $x$ cu 5:

${3\cdot 5+5}={15+5}={20}$ ✓

Cei doi membri sunt egali, deci ${x=5}$ este o soluție. Numărul 4 nu este: ${3\cdot 4+5=17}$, nu 20.

Înlocuirea răspunsului în ecuație se numește verificarea soluției. Durează câteva secunde și prinde majoritatea greșelilor.

Regula balanței

Imaginează-ți o ecuație ca pe o balanță în echilibru. Cele două talere cântăresc la fel, iar balanța rămâne în echilibru atât timp cât faci același lucru în ambii membri.

Dacă scoatem 3 greutăți de pe fiecare taler, balanța rămâne în echilibru: ${x+3=7}$ devine ${x=4}$.

Ca să rezolvi o ecuație, folosește aceste operații până rămâne $x$ singur într-un membru. Celălalt membru este soluția.

Nu înmulți niciodată ambii membri cu 0. ${x=3}$ este adevărată pentru un singur număr, dar ${0\cdot x=0\cdot 3}$ este adevărată pentru orice număr, iar soluția se pierde.

Ecuații cu un singur pas

Dacă asupra lui $x$ s-a aplicat o singură operație, desfă-o cu operația inversă: scăderea desface adunarea, împărțirea desface înmulțirea și invers.

Ecuația	Ce facem în ambii membri	Soluția
${x+7=12}$	scădem 7	${x=5}$
${x-7=9}$	adunăm 7	${x=16}$
${5x=35}$	împărțim la 5	${x=7}$
${\frac{x}{4}=3}$	înmulțim cu 4	${x=12}$

Exemplu. Rezolvă ${x-7=9}$. Adună 7 la ambii membri:

${{x-7+7}={9+7}}$, deci ${x=16}$

Verificare: ${16-7=9}$ ✓

Mutarea termenilor în celălalt membru

Observă ce s-a întâmplat în ultimul exemplu: $-7$ a dispărut din primul membru, iar $+7$ a apărut în al doilea. Adunarea sau scăderea aceluiași număr în ambii membri funcționează întotdeauna așa, deci poți lua o scurtătură.

Exemplul 1. Rezolvă ${5x-4=3x+10}$. Mută ${3x}$ în primul membru și ${-4}$ în al doilea, schimbându-le semnul:

${{5x-3x}={10+4}}$

${{2x}={14}}$, deci ${x=7}$

Verificare: ${5\cdot 7-4=31}$ și ${3\cdot 7+10=31}$ ✓

Nu contează în ce membru rămâne $x$: dacă ${7=x}$, atunci ${x=7}$. De obicei este mai comod să aduni termenii cu $x$ în membrul în care rămân pozitivi.

Exemplul 2. Un același termen aflat în ambii membri se poate tăia, deoarece asta echivalează cu scăderea lui din ambii membri:

${{x+3+2x}={7+2x}}$, deci ${x+3=7}$ și ${x=4}$

Exemplul 3. Poți schimba semnul tuturor termenilor din ambii membri, deoarece asta echivalează cu înmulțirea ambilor membri cu $-1$:

${-x+5=-3}$ este același lucru cu ${x-5=3}$, deci ${x=8}$

Înmulțirea și împărțirea ambilor membri

Când $x$ este înmulțit cu un număr, împarte ambii membri la acel număr. Când $x$ este împărțit la un număr, înmulțește ambii membri cu el.

Exemplul 1. În ${-4x=-5}$, împarte ambii membri la $-4$: ${x=\frac{5}{4}}$.

Exemplul 2. În ${\frac{x}{6}=-2}$, înmulțește ambii membri cu 6: ${x=-12}$.

Exemplul 3. În ${\frac{2}{3}x=8}$, înmulțește ambii membri cu inversul lui $\frac{2}{3}$:

${x}={8\cdot\frac{3}{2}}={12}$

Exemplul 4. Dacă $x$ apare în mai mulți termeni, redu-i mai întâi, apoi împarte la coeficientul întreg:

${{7x-2x+x}={42}}$, deci ${6x=42}$ și ${x=7}$

Împarte toți termenii. În ${2x+6=10}$ nu poți împărți la 2 doar $2x$. Fie scazi mai întâi 6, și rămâne ${2x=4}$ și ${x=2}$, fie împarți la 2 toți termenii, și rămâne ${x+3=5}$ și ${x=2}$.

Rezolvarea pas cu pas

Majoritatea ecuațiilor necesită mai multe operații. Această ordine merge pentru orice ecuație liniară:

Exemplul 1. Rezolvă ${16x+10-32=35-10x-5}$. Mai întâi grupează numerele din fiecare membru:

${{16x-22}={30-10x}}$

${{16x+10x}={30+22}}$

${{26x}={52}}$, deci ${x=2}$

Exemplul 2. Rezolvă ${7(3x-6)}+{5(x-3)}-{2(x-7)}={5}$.

${21x-42+5x-15-2x+14}={5}$

${{24x-43}={5}}$

${{24x}={48}}$, deci ${x=2}$

Verificare: ${7\cdot 0+5\cdot(-1)-2\cdot(-5)}={0-5+10}={5}$ ✓

Exemplul 3. Pătratele se pot reduce. Rezolvă ${(x-3)(x+4)}-{2(3x-2)}={(x-4)^2}$.

${x^2+x-12-6x+4}={x^2-8x+16}$

${x^2-5x-8}={x^2-8x+16}$

Termenii cu $x^2$ se reduc, deci ecuația este într-adevăr liniară:

${{-5x+8x}={16+8}}$, deci ${3x=24}$ și ${x=8}$

Ecuații cu fracții

Exemplul 1. Rezolvă ${\frac{3x}{4}+6=\frac{5x}{8}+7}$. Cel mai mic numitor comun este 8:

${{6x+48}={5x+56}}$, deci ${x=8}$

Exemplul 2. Rezolvă ${x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=11}$. Înmulțește cu 6:

${{6x+3x+2x}={66}}$, deci ${11x=66}$ și ${x=6}$

Exemplul 3. Dacă un numărător are mai mulți termeni, pune-l între paranteze înainte de a înmulți. Rezolvă ${\frac{x-5}{4}+6x=\frac{284-x}{5}}$. Înmulțește cu 20:

${5(x-5)+120x}={4(284-x)}$

${5x-25+120x}={1136-4x}$

${{129x}={1161}}$, deci ${x=9}$

Un semn minus în fața unei fracții schimbă semnul întregului numărător. În ${3x-\frac{x-4}{4}-4=\frac{5x+14}{3}-\frac{1}{12}}$, prin înmulțire cu 12 se obține ${36x-3(x-4)-48}={4(5x+14)-1}$, iar ${-3(x-4)}$ este ${-3x+12}$, nu ${-3x-12}$. Soluția este ${x=7}$.

Necunoscuta la un numitor

Dacă $x$ se află la un numitor, înmulțește și cu acel numitor. O valoare a lui $x$ care anulează un numitor nu poate fi soluție, deci verifică întotdeauna răspunsul.

Exemplul 4. Rezolvă ${\frac{6}{10-x}+7=8}$. Înmulțește cu ${10-x}$:

${6+7(10-x)}={8(10-x)}$

${{6+70-7x}={80-8x}}$, deci ${x=4}$

Verificare: ${\frac{6}{6}+7=8}$ ✓, iar numitorul ${10-4}$ nu este zero.

Numere zecimale

Numerele zecimale se elimină în același fel, înmulțind cu 10, 100, …

Exemplul 5. Rezolvă ${0{,}5x+1{,}2=0{,}3x+2}$. Înmulțește cu 10:

${{5x+12}={3x+20}}$, deci ${2x=8}$ și ${x=4}$

Ecuații sub formă de proporție

O ecuație de forma ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ este o proporție. Cea mai rapidă metodă de a o rezolva este înmulțirea în cruce: ${ad=bc}$.

Exemplu. Rezolvă ${\frac{x+2}{5}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={5(x-1)}}$

${{2x+4}={5x-5}}$, deci ${9=3x}$ și ${x=3}$

Verificare: ${\frac{3+2}{5}=1}$ și ${\frac{3-1}{2}=1}$ ✓

Fără soluție sau cu o infinitate de soluții

Orice ecuație liniară poate fi adusă la forma ${ax=b}$. De obicei $a$ nu este zero și există exact o soluție, ${x=\frac{b}{a}}$. Dar uneori $x$ se reduce complet:

După simplificare	Soluțiile
${ax=b}$ cu $a\ne 0$	exact una, ${x=\frac{b}{a}}$
o egalitate adevărată, ca ${0=0}$ sau ${3=3}$	orice număr este soluție
o egalitate falsă, ca ${0=5}$	nu are soluție

Exemplul 1. În ${5-3x=7-3x}$, mutând termenii în celălalt membru se obține ${0=2}$, care este fals pentru orice $x$. Ecuația nu are soluție.

Exemplul 2. În ${3(x+1)^2-(3x+5)x=x+3}$, primul membru se simplifică la ${3x^2+6x+3-3x^2-5x}$, adică la ${x+3}$. Ecuația spune ${x+3=x+3}$, ceea ce este adevărat pentru orice număr.

${0=0}$ nu înseamnă ${x=0}$: înseamnă că orice număr este soluție. Iar ${4x=0}$ nu înseamnă „fără soluție”: soluția ei este ${x=0}$.

Exprimarea unei litere

O ecuație poate avea și alte litere în afară de necunoscută, de exemplu dacă este o formulă. Ca să exprimi o literă, tratează-le pe celelalte ca pe niște numere și folosește aceleași operații.

Exemplul 1. Exprimă $x$ din ${\frac{x}{c}+a=b}$. Scade $a$ și apoi înmulțește cu $c$:

${{\frac{x}{c}}={b-a}}$, deci ${x=c(b-a)}$

Exemplul 2. Aria unui triunghi este ${A=\frac{1}{2}bh}$. Exprimă $h$: înmulțește cu 2 și apoi împarte la $b$:

${{2A}={bh}}$, deci ${h=\frac{2A}{b}}$

Exemplul 3. Exprimă $x$ din ${ax+x=h-4}$. Dă $x$ factor comun și apoi împarte:

${{(a+1)x}={h-4}}$, deci ${x=\frac{h-4}{a+1}}$

Ultimul pas împarte la ${a+1}$, ceea ce se poate face doar dacă ${a\ne -1}$. Când coeficientul lui $x$ conține litere, verifică ce se întâmplă când el este zero: așa se rezolvă ecuațiile cu parametri.

Probleme rezolvate

Problema 1. Rezolvă ${7u-9-3u+5=11u-6-4u}$.

Rezolvare: Redu termenii asemenea din fiecare membru:

${{4u-4}={7u-6}}$

${{6-4}={7u-4u}}$, deci ${2=3u}$ și ${u=\frac{2}{3}}$

Problema 2. Rezolvă ${(x+1)^3}-{(x-1)^3}={6(x^2+x+1)}$.

Rezolvare: Desfă cuburile:

${x^3+3x^2+3x+1}-{(x^3-3x^2+3x-1)}={6x^2+6x+6}$

${{6x^2+2}={6x^2+6x+6}}$

${{2}={6x+6}}$, deci ${6x=-4}$ și ${x=-\frac{2}{3}}$

Problema 3. Rezolvă ${\frac{x+1}{3}-\frac{2x+5}{2}=-3}$.

Rezolvare: Înmulțește cu 6:

${2(x+1)-3(2x+5)}={-18}$

${{2x+2-6x-15}={-18}}$

${{-4x-13}={-18}}$, deci ${-4x=-5}$ și ${x=\frac{5}{4}}$

Problema 4. Rezolvă ${\frac{6x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}=\frac{12x+49}{10}}$.

Rezolvare: Înmulțește cu 10:

${2(6x-1)-5(1-2x)}={12x+49}$

${12x-2-5+10x}={12x+49}$

${{10x}={56}}$, deci ${x=5{,}6}$

Problema 5. Rezolvă ${(2x-1)^2}-{x(10x+1)}={x(1-x)(1+x)}-{(2-x)^3}$.

Rezolvare: Simplifică fiecare membru separat:

${4x^2-4x+1-10x^2-x}={-6x^2-5x+1}$

${x-x^3-(8-12x+6x^2-x^3)}={-6x^2+13x-8}$

Ecuația devine

${-6x^2-5x+1}={-6x^2+13x-8}$, deci ${9=18x}$ și ${x=\frac{1}{2}}$

Problema 6. Rezolvă ${\frac{6x+7}{9}+\frac{7x-13}{6x+3}=\frac{2x+4}{3}}$.

Rezolvare: Înmulțește ambii membri cu ${9(6x+3)}$:

${(6x+7)(6x+3)+9(7x-13)}={3(2x+4)(6x+3)}$

${36x^2+60x+21+63x-117}={36x^2+90x+36}$

${{123x-96}={90x+36}}$, deci ${33x=132}$ și ${x=4}$

Numitorul ${6\cdot 4+3=27}$ nu este zero, deci ${x=4}$ este soluția.

Problema 7. Se dă funcția ${f(x)=x+4}$. Rezolvă ${\frac{3f(x-2)}{f(0)}+4=f(2x+1)}$.

Rezolvare: Aici ${f(0)=4}$, ${f(x-2)=x+2}$ și ${f(2x+1)=2x+5}$, deci ecuația este

${{\frac{3(x+2)}{4}+4}={2x+5}}$

${{3x+6+16}={8x+20}}$, deci ${2=5x}$ și ${x=\frac{2}{5}}$

Problema 8. Un om a fost întrebat cât a plătit pe ceasul lui. A răspuns: „Dacă înmulțești prețul cu 4, adaugi 70 și apoi scazi 50, obții 220 de lei”. Cât a costat ceasul?

Rezolvare: Fie $x$ prețul în lei:

${{4x+70-50}={220}}$, deci ${4x=200}$ și ${x=50}$

Ceasul a costat $\$50$. Vei găsi mai multe probleme ca aceasta la probleme cu ecuații.

Exersare

Încearcă să rezolvi fiecare problemă și apoi deschide-o pentru a-ți verifica răspunsul.

1. Rezolvă ${x+9=4}$.

${x=4-9=-5}$

2. Rezolvă ${-7x=42}$.

Împarte la $-7$: ${x=-6}$

3. Rezolvă ${\frac{x}{5}=-3}$.

Înmulțește cu 5: ${x=-15}$

4. Rezolvă ${3x-7=2x+5}$.

${{3x-2x}={5+7}}$, deci ${x=12}$

5. Rezolvă ${5(x-2)=3(x+4)}$.

${{5x-10}={3x+12}}$, deci ${2x=22}$ și ${x=11}$

6. Rezolvă ${40-6x-16=120-14x}$.

${{24-6x}={120-14x}}$, deci ${8x=96}$ și ${x=12}$

7. Rezolvă ${\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7}$.

Înmulțește cu 12: ${4x+3x=84}$, deci ${7x=84}$ și ${x=12}$

8. Rezolvă ${3x+\frac{2x+6}{5}=5+\frac{11x-37}{2}}$.

Înmulțește cu 10: ${30x+2(2x+6)}={50+5(11x-37)}$, deci ${{34x+12}={55x-135}}$, ${147=21x}$ și ${x=7}$

9. Rezolvă ${\frac{6x-4}{3}-2=\frac{18-4x}{3}+x}$.

Înmulțește cu 3: ${{6x-4-6}={18-4x+3x}}$, deci ${{6x-10}={18-x}}$, ${7x=28}$ și ${x=4}$

10. Rezolvă ${2(3x-1)-3(2x+1)=6}$.

${{6x-2-6x-3}={6}}$ dă ${-5=6}$, ceea ce este fals: ecuația nu are soluție.

11. Rezolvă ${\frac{x+2}{3}=\frac{2x-1}{5}}$.

Înmulțește în cruce: ${{5(x+2)}={3(2x-1)}}$, deci ${{5x+10}={6x-3}}$ și ${x=13}$

12. Perimetrul unui dreptunghi este ${P=2(a+b)}$. Exprimă $b$.

Împarte la 2: ${\frac{P}{2}=a+b}$, deci ${b=\frac{P}{2}-a}$

Mai multă exersare, cu ecuații noi de fiecare dată:

Mai multe despre ecuații: Probleme cu ecuații · Ecuații de gradul al doilea · Valoare absolută