Radicali și rădăcini

Care număr pozitiv, înmulțit cu el însuși, dă 9? Este 3, pentru că ${3\cdot 3=3^2=9}.$ Spunem că 3 este rădăcina pătrată a lui 9 și scriem ${\sqrt9=3}.$ Care număr, luat de trei ori ca factor, dă 27? Tot 3, pentru că ${3\cdot 3\cdot 3=3^3=27}.$ Deci 3 este rădăcina cubică a lui 27 și scriem ${\sqrt[3]{27}=3}.$

Latura unui pătrat cu aria 9 este ${\sqrt9=3}.$ Muchia unui cub cu volumul 27 este ${\sqrt[3]{27}=3}.$

Extragerea unei rădăcini este operația inversă ridicării la putere: o desface. Puterea $3^2$ ne duce de la 3 la 9, iar rădăcina $\sqrt9$ ne readuce de la 9 la 3. Semnul $\sqrt{\phantom{0}}$ se numește semnul radicalului, iar o expresie scrisă cu el, cum ar fi $\sqrt9,$ $\sqrt[3]{27}$ sau ${2\sqrt{x+1}},$ se numește radical. Cuvântul vine din latinescul radix, care înseamnă „rădăcină”.

Numărul $n$ este indicele radicalului, iar numărul $a$ aflat sub semnul radicalului este numărul de sub radical. La rădăcina pătrată indicele 2 nu se scrie: $\sqrt[2]{a}$ este pur și simplu $\sqrt a.$ Rădăcina cu indicele 3 este rădăcina cubică; urmează rădăcina de ordinul patru, rădăcina de ordinul cinci și așa mai departe.

Exemple

• ${\sqrt{25}=5},$ deoarece ${5^2=25}.$
• ${\sqrt{\frac14}=\frac12},$ deoarece ${\left(\frac12\right)^2=\frac14}.$
• ${\sqrt{0{,}09}=0{,}3},$ deoarece ${0{,}3^2=0{,}09}.$
• ${\sqrt[3]{8}=2},$ deoarece ${2^3=8}.$
• ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ deoarece ${(-2)^3=-8}.$
• ${\sqrt[4]{81}=3},$ deoarece ${3^4=81}.$
• ${\sqrt[5]{32}=2},$ deoarece ${2^5=32}.$
• ${\sqrt[n]{0}=0}$ și ${\sqrt[n]{1}=1}$ pentru orice indice $n,$ deoarece ${0^n=0}$ și ${1^n=1}.$

Pe această pagină: Rădăcini · Exponenți fracționari · Proprietățile radicalilor · Simplificarea · Adunarea și scăderea · Înmulțirea · Împărțirea · Raționalizarea numitorului · Puteri și rădăcini de radicali · Compararea · Grafice · Exerciții

Rădăcini pătrate, cubice și de ordinul n

Pătrate perfecte și cuburi perfecte

Un număr întreg a cărui rădăcină pătrată este tot un număr întreg se numește pătrat perfect: 1, 4, 9, 16, 25, … Un număr a cărui rădăcină cubică este un număr întreg este un cub perfect: 1, 8, 27, 64, … Merită să le înveți pe primele pe de rost, pentru că rădăcinile se află recunoscând aceste numere.

$x$	$x^2$	$x^3$	$x^4$
1	1	1	1
2	4	8	16
3	9	27	81
4	16	64	256
5	25	125	625
6	36	216	1296
7	49	343	2401
8	64	512	4096
9	81	729	6561
10	100	1000	10000

Citește tabelul de la dreapta la stânga ca să afli rădăcini: ${\sqrt{49}=7},$ ${\sqrt[3]{216}=6},$ ${\sqrt[4]{625}=5}.$ Următoarele pătrate perfecte sunt ${11^2=121},$ ${12^2=144},$ ${13^2=169},$ ${14^2=196}$ și ${15^2=225}.$

Două rădăcini pătrate, un singur semn al radicalului

Ecuația ${x^2=9}$ are două soluții, 3 și $-3,$ deoarece ${3^2=9}$ și ${(-3)^2=9}.$ Ambele numere sunt rădăcini pătrate ale lui 9. Dar simbolul $\sqrt9$ reprezintă doar unul dintre ele, cel care nu este negativ: ${\sqrt9=3}.$ Se numește rădăcina pătrată principală (sau aritmetică). Rădăcina negativă se scrie ${-\sqrt9=-3},$ iar cele două la un loc se scriu ${\pm\sqrt9=\pm 3}.$

De exemplu, din ${x^2=7}$ se obține ${x=\pm\sqrt7},$ iar din ${x^3=-125}$ se obține ${x=\sqrt[3]{-125}=-5}.$ Așa se rezolvă cele mai simple ecuații de gradul al doilea și de gradul al treilea.

Indice par și indice impar

Orice rădăcină cu indice par (pe scurt, rădăcină pară) se comportă ca rădăcina pătrată, iar orice rădăcină cu indice impar (rădăcină impară) se comportă ca rădăcina cubică.

	$n$ este par: $\sqrt a,$ $\sqrt[4]{a},$ $\sqrt[6]{a},$ …	$n$ este impar: $\sqrt[3]{a},$ $\sqrt[5]{a},$ …
${a\gt 0}$	Rădăcina este pozitivă: ${\sqrt[4]{16}=2}$	Rădăcina este pozitivă: ${\sqrt[3]{8}=2}$
${a=0}$	${\sqrt[4]{0}=0}$	${\sqrt[3]{0}=0}$
${a\lt 0}$	Nu există rădăcină reală: $\sqrt[4]{-16}$ nu există	Rădăcina este negativă: ${\sqrt[3]{-8}=-2}$
Ecuația ${x^n=a}$	Două soluții $\pm\sqrt[n]{a}$ dacă ${a\gt 0},$ una (${x=0}$) dacă ${a=0},$ nici una dacă ${a\lt 0}$	Exact o soluție, $\sqrt[n]{a}$

De ce nu există $\sqrt{-4}?$ Un pătrat nu este niciodată negativ: ${2\cdot 2=4}$ și ${(-2)\cdot(-2)=4},$ deci niciun număr real înmulțit cu el însuși nu dă $-4.$ (Rădăcinile pătrate din numere negative duc la numerele imaginare, o temă de algebră mai avansată.) În schimb, o rădăcină impară dintr-un număr negativ există, iar semnul minus iese pur și simplu în fața rădăcinii:

De exemplu, ${\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3}$ și ${\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2}.$

Nu confunda $\sqrt{-a}$ cu $-\sqrt a.$ Numărul ${-\sqrt{16}=-4}$ există, în timp ce $\sqrt{-16}$ nu este număr real.

Din același motiv, o expresie cu o rădăcină pară este definită numai când numărul de sub radical nu este negativ: $\sqrt{x-3}$ este definită pentru ${x\ge 3},$ în timp ce $\sqrt[3]{x-3}$ este definită pentru orice $x.$

Rădăcina unui număr negativ poate arăta că o problemă nu are soluție. Să presupunem că trebuie să descompunem numărul 14 în doi termeni al căror produs este 60. Dacă un termen este $x,$ celălalt este ${14-x},$ deci ${x(14-x)=60},$ adică ${x^2-14x+60=0}.$ Formula generală pentru ecuațiile de gradul al doilea ar da ${x=7\pm\sqrt{-11}}.$ Nu există niciun număr real $\sqrt{-11},$ deci 14 nu poate fi descompus în acest fel. Într-adevăr, produsul este maxim când cei doi termeni sunt egali, și atunci valorează doar ${7\cdot 7=49}.$

Rădăcini care nu sunt numere întregi

Cele mai multe rădăcini nu sunt numere întregi. Să luăm $\sqrt2.$ Cum ${1^2=1}$ și ${2^2=4},$ rădăcina este între 1 și 2. Să încercăm cu numere zecimale:

${1{,}4^2=1{,}96}$ și ${1{,}5^2=2{,}25},$ deci ${1{,}4\lt\sqrt2\lt 1{,}5}$

${1{,}41^2=1{,}9881}$ și ${1{,}42^2=2{,}0164},$ deci ${1{,}41\lt\sqrt2\lt 1{,}42}$

Putem continua așa la nesfârșit: ${\sqrt2=1{,}41421356\ldots}$ Zecimalele nu se termină niciodată și nu se repetă periodic. Numărul $\sqrt2$ este irațional: nu se poate scrie ca o fracție cu numărătorul și numitorul numere întregi.

Astfel, $\sqrt4$ și $\sqrt[3]{27}$ sunt numere naturale, în timp ce $\sqrt2,$ $\sqrt3,$ $\sqrt5,$ $\sqrt6,$ $\sqrt[3]{2}$ și $\sqrt[3]{10}$ sunt iraționale. Unele valori se folosesc foarte des:

${\sqrt2\approx 1{,}414},$   ${\sqrt3\approx 1{,}732},$   ${\sqrt5\approx 2{,}236},$   ${\sqrt{10}\approx 3{,}162}$

Totuși, o rădăcină irațională este un număr exact. În calcule o lăsăm sub forma $\sqrt2$ și o înlocuim cu un număr zecimal doar la sfârșit, dacă este nevoie.

Ca să estimezi o rădăcină fără calculator, caută cele mai apropiate pătrate perfecte, unul mai mic și unul mai mare decât numărul de sub radical. De exemplu, ${49\lt 50\lt 64},$ deci ${7\lt\sqrt{50}\lt 8},$ și cum 50 este foarte aproape de 49, rădăcina este doar puțin mai mare decât 7. De fapt, ${\sqrt{50}\approx 7{,}07}.$

De ce $\sqrt2$ nu se poate scrie ca fracție

Presupunem că ${\sqrt2=\frac pq},$ unde $p$ și $q$ sunt numere naturale, iar fracția este ireductibilă. Ridicând la pătrat se obține ${p^2=2q^2},$ deci $p^2$ este par, și atunci chiar $p$ este par: ${p=2k}.$ Acum ${4k^2=2q^2},$ adică ${q^2=2k^2},$ deci $q$ este și el par. Dar atunci fracția $\frac pq$ se poate simplifica împărțind ambii termeni la 2, iar noi am spus că era ireductibilă. Această contradicție arată că o astfel de fracție nu există.

Rădăcinile ca puteri: exponenți fracționari

O rădăcină se poate scrie ca putere. Ca să vedem asta, să luăm un număr pozitiv $a$ și să ne uităm la $a^6.$ Rădăcina lui pătrată este $a^3,$ deoarece ${a^3\cdot a^3=a^6}$: exponentul 6 se împarte la 2. Rădăcina lui cubică este $a^2,$ deoarece ${a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^6}$: exponentul 6 se împarte la 3. Să facem acum același lucru cu ${a=a^1}.$ Rădăcina lui pătrată ar trebui să aibă exponentul $\frac12.$ Și, într-adevăr, dacă exponenții se adună în modul obișnuit, atunci

${a^{\frac12}\cdot a^{\frac12}=a^{\frac12+\frac12}=a^1=a}$

Așadar, $a^{\frac12}$ înmulțit cu el însuși dă $a,$ exact ca $\sqrt a.$ La fel, ${a^{\frac13}\cdot a^{\frac13}\cdot a^{\frac13}=a},$ la fel ca $\sqrt[3]{a}.$ Exponenții de acest fel se numesc exponenți fracționari (sau raționali).

A doua formulă spune că o putere a unei rădăcini este egală cu rădăcina puterii. De exemplu, puterea a patra a rădăcinii cubice din $a$ este același număr cu rădăcina cubică din $a^4.$

Un exponent fracționar negativ înseamnă „unu împărțit la”, ca la exponenții întregi: ${a^{-\frac mn}=\frac{1}{a^{\frac mn}}}.$

Exemple

• ${9^{\frac12}=\sqrt9=3}$
• ${8^{\frac13}=\sqrt[3]{8}=2}$
• ${8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4}$
• ${16^{\frac34}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8}$
• ${27^{\frac43}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^4=3^4=81}$
• ${4^{-\frac12}=\frac{1}{4^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt4}=\frac12}$
• ${100^{1{,}5}}={100^{\frac32}}={\left(\sqrt{100}\right)^3}={10^3}={1000}$
• ${32^{0{,}4}}={32^{\frac25}}={\left(\sqrt[5]{32}\right)^2}={2^2}={4}$

Extrage mai întâi rădăcina și ridică apoi la putere: așa numerele rămân mici. Dacă $16^{\frac34}$ se calculează ca ${\sqrt[4]{16^3}=\sqrt[4]{4096}},$ se obține același 8, dar cu mult mai multă muncă.

Fracțiile egale dau puteri egale: ${a^{\frac23}=a^{\frac46}=a^{\frac69}},$ adică ${\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[9]{a^6}}.$ Exponentul se poate scrie și ca număr zecimal: ${a^{0{,}5}=\sqrt a},$ ${a^{0{,}25}=\sqrt[4]{a}},$ ${a^{1{,}5}=\sqrt{a^3}}.$ Așa găsește rădăcinile un calculator: $\sqrt[5]{7}$ se introduce ca $7^{0{,}2},$ și ${7^{0{,}2}\approx 1{,}476}.$

Toate proprietățile puterilor rămân valabile pentru exponenții fracționari. Aici ${a\gt 0}$ și ${b\gt 0},$ și $p$ și $q$ sunt numere raționale oarecare:

Proprietatea	Exemplu
${a^p\cdot a^q=a^{p+q}}$	${a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}=a^{\frac12+\frac13}=a^{\frac56}}$
${\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}}$	${\frac{a^{\frac12}}{a^{\frac16}}=a^{\frac12-\frac16}=a^{\frac13}}$
${\left(a^p\right)^q=a^{pq}}$	${\left(a^{\frac13}\right)^2=a^{\frac23}}$
${(ab)^p=a^pb^p}$	${(8a)^{\frac13}=8^{\frac13}a^{\frac13}=2a^{\frac13}}$
${\left(\frac ab\right)^p=\frac{a^p}{b^p}}$	${\left(\frac{a}{9}\right)^{\frac12}=\frac{a^{\frac12}}{3}}$

Câteva exemple în plus:

• ${a^{\frac27}\cdot a^{\frac37}=a^{\frac57}}$
• ${y^3\cdot y^{\frac16}=y^{3+\frac16}=y^{\frac{19}{6}}}$
• ${a^3\cdot a^{\frac13}\cdot a^{\frac23}}={a^{3+\frac13+\frac23}}={a^4}$
• ${\left(a^{\frac23}x^{\frac34}\right)^2=a^{\frac43}x^{\frac32}}$

Doar baze pozitive. O putere cu exponent fracționar este definită numai pentru o bază pozitivă. Rădăcina ${\sqrt[3]{-8}=-2}$ este corectă, dar $(-8)^{\frac13}$ se lasă nedefinită. Altfel, exponenții egali $\frac13$ și $\frac26$ ar da două rezultate diferite: $-2$ și ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$

Proprietățile radicalilor

Regulile de calcul cu radicali sunt proprietățile puterilor scrise cu semnul radicalului. În tabel, $n,$ $m$ și $k$ sunt numere naturale (orice indice este mai mare sau egal cu 2), iar $a$ și $b$ nu sunt negative. La proprietatea câtului, ${b\gt 0}.$

Proprietatea	Formula	Exemplu
Radicalul unui produs	${\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$	${\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt4\cdot\sqrt{25}=10}$
Radicalul unui cât	${\sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$	${\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac34}$
Puterea unui radical	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}}$	${\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=\sqrt[3]{64}=4}$
Radicalul unui radical	${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}}$	${\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2}$
Schimbarea indicelui	${\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}}$	${\sqrt[6]{5^3}=\sqrt5}$
Un radical ridicat la puterea egală cu indicele său	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a}$	${\left(\sqrt7\right)^2=7}$
Radicalul unei puteri a $n$-a, $n$ impar	${\sqrt[n]{x^n}=x}$ pentru orice $x$ real	${\sqrt[3]{(-5)^3}=-5}$
Radicalul unei puteri a $n$-a, $n$ par	${\sqrt[n]{x^n}=|x|}$ pentru orice $x$ real	${\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5}$

Ultimele două proprietăți se confundă ușor: ${\sqrt[3]{x^3}=x},$ dar ${\sqrt[4]{x^4}=|x|},$ modulul lui $x.$ Motivul este că o rădăcină pară nu este niciodată negativă: ${\sqrt[2n]{x}\ge 0}$ pentru orice ${x\ge 0}$ și orice număr natural $n.$ Pentru ${x=-5}$ se obține ${\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5},$ care este $|{-5}|$ și nu $-5.$ Compară și ${\left(\sqrt x\right)^2=x},$ care are sens numai pentru ${x\ge 0},$ cu ${\sqrt{x^2}=|x|},$ care este definită pentru orice $x.$

De ce sunt adevărate formulele

Scrise ca puteri cu exponent fracționar, formulele devin proprietățile puterilor (pentru ${a=0}$ ambii membri ai fiecărei formule valorează 0).

Radicalul unui produs.

${\sqrt[n]{ab}}={(ab)^{\frac1n}}={a^{\frac1n}\cdot b^{\frac1n}}={\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$

Radicalul unui cât.

${\sqrt[n]{\frac ab}=\left(\frac ab\right)^{\frac1n}=\frac{a^{\frac1n}}{b^{\frac1n}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

Puterea unui radical.

${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}={\left(a^{\frac1n}\right)^m}={a^{\frac mn}}={\sqrt[n]{a^m}}$

Radicalul unui radical.

${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\left(a^{\frac1m}\right)^{\frac1n}=a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[nm]{a}}$

Schimbarea indicelui.

${\sqrt[nk]{a^{mk}}=a^{\frac{mk}{nk}}=a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}}$

Am acceptat fără demonstrație proprietățile exponenților fracționari, deci o demonstrație completă trebuie să pornească de la definiția rădăcinii. Să o vedem pentru proprietatea produsului. Numărul ${\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$ nu este negativ, iar puterea lui a $n$-a este ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\cdot\left(\sqrt[n]{b}\right)^n=ab}.$ Prin urmare, este rădăcina de ordinul $n$ din $ab.$ Celelalte formule se verifică la fel. De exemplu, ${\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\right)^n}={\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right)^m}={a^m},$ deci ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}$ este rădăcina de ordinul $n$ din $a^m.$

Proprietatea produsului este valabilă pentru orice număr de factori: ${\sqrt[n]{abc}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\cdot\sqrt[n]{c}}.$

Cu indice impar, proprietățile produsului și câtului sunt valabile și pentru numere negative: ${\sqrt[3]{(-8)\cdot 27}}={\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{27}}={-6}.$ Cu indice par, nu: ${\sqrt{(-4)\cdot(-9)}}={\sqrt{36}}={6},$ dar $\sqrt{-4}$ și $\sqrt{-9}$ nu există. Dacă $a$ și $b$ sunt amândouă negative, folosește ${\sqrt{ab}=\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}}$: de exemplu, ${\sqrt{(-4)\cdot(-9)}}={\sqrt4\cdot\sqrt9}={6}.$

Nu există nicio proprietate pentru sumă sau pentru diferență. În general, ${\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b}$ și ${\sqrt{a-b}\ne\sqrt a-\sqrt b}.$ De exemplu, ${\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5},$ dar ${\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7}.$ Pentru $a$ și $b$ pozitive, rădăcina sumei este întotdeauna mai mică decât suma rădăcinilor: ${\sqrt{a+b}\lt\sqrt a+\sqrt b}.$

Litere sub radical. De aici înainte, dacă nu se spune altfel, literele reprezintă numere care nu sunt negative, și se presupune că orice expresie aflată sub o rădăcină pară nu este negativă (și este pozitivă dacă se află la numitor). Atunci ${\sqrt{a^2}=a}$ și nu mai sunt necesare barele de modul.

Simplificarea radicalilor

Un radical este în forma cea mai simplă când

• numărul de sub radical nu are niciun factor mai mare decât 1 care să fie o putere a $n$-a perfectă (la o rădăcină pătrată: niciun factor care să fie pătrat perfect);
• nu există nicio fracție sub semnul radicalului și niciun radical la numitor;
• indicele este cel mai mic posibil.

Scoaterea unui factor de sub radical

Exemplu. Simplifică $\sqrt8.$ Cel mai mare pătrat perfect care îl divide pe 8 este 4, deci

${\sqrt8}={\sqrt{4\cdot 2}}={\sqrt4\cdot\sqrt2}={2\sqrt2}$

Aici $2\sqrt2$ înseamnă ${2\cdot\sqrt2}.$ Un număr scris în fața unui radical îl înmulțește și se numește coeficientul lui. Când nu este scris niciun coeficient, acesta este 1. Nu confunda coeficientul cu indicele: $3\sqrt2$ este de 3 ori $\sqrt2,$ în timp ce $\sqrt[3]{2}$ este rădăcina cubică din 2.

• ${\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2}$
• ${\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt2}$
• ${\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3}$
• ${\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt2}$
• ${\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=2\sqrt[4]{2}}$

Caută cel mai mare factor care este pătrat perfect. Pentru $\sqrt{72}$ merge și factorul 4, care dă ${\sqrt{72}=2\sqrt{18}},$ dar 18 mai conține pătratul perfect 9, deci mai este nevoie de un pas: ${2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt2=6\sqrt2}.$

Când numărul de sub radical este mare, descompune-l în factori primi. Fiecare pereche de factori egali dă un factor în fața rădăcinii pătrate (iar fiecare grup de trei, un factor în fața rădăcinii cubice):

${\sqrt{360}}={\sqrt{2^3\cdot 3^2\cdot 5}}={\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 10}}={2\cdot 3\sqrt{10}}={6\sqrt{10}}$

Cu litere se procedează la fel. Împarte exponentul la indice: câtul este exponentul care iese în afară, iar restul rămâne înăuntru.

• ${\sqrt{a^2x}=a\sqrt x}$
• ${\sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt x}$
• ${\sqrt{98a^2x}}={\sqrt{49a^2\cdot 2x}}={7a\sqrt{2x}}$
• ${\sqrt[3]{54a^6b}}={\sqrt[3]{27a^6\cdot 2b}}={3a^2\sqrt[3]{2b}}$
• ${\sqrt[3]{a^3+a^3b^2}}={\sqrt[3]{a^3\left(1+b^2\right)}}={a\sqrt[3]{1+b^2}}$

Dacă nu se cunoaște semnul lui $a,$ o rădăcină pară are nevoie de modul: ${\sqrt{a^2x}=|a|\sqrt x}.$ Radicali ca $\sqrt{10},$ $\sqrt{15}$ și $\sqrt[3]{4}$ nu au niciun factor care să fie putere perfectă, deci sunt deja în forma cea mai simplă.

Introducerea unui factor sub radical

Aceeași formulă, citită de la dreapta la stânga, introduce un coeficient sub semnul radicalului. Ridică coeficientul la puterea indicată de indice și scrie-l ca factor al numărului de sub radical.

• ${3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}}$
• ${2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40}}$
• ${a\sqrt[3]{x-b}=\sqrt[3]{a^3(x-b)}}$
• ${2ab\sqrt[3]{2ab^2}}={\sqrt[3]{8a^3b^3\cdot 2ab^2}}={\sqrt[3]{16a^4b^5}}$

În felul acesta, orice număr pozitiv se poate scrie ca radical cu orice indice: ${3=\sqrt9=\sqrt[3]{27}=\sqrt[4]{81}},$ ${3a=\sqrt[4]{81a^4}}$ și ${a^2=\sqrt[3]{a^6}}.$

Un coeficient negativ rămâne în fața unei rădăcini pare. ${-3\sqrt2=-\sqrt{18}}.$ Ridicând la pătrat $-3$ s-ar pierde semnul minus și s-ar obține numărul pozitiv $\sqrt{18}.$ Același lucru este valabil pentru o literă: dacă ${a\lt 0},$ atunci ${a\sqrt x=-\sqrt{a^2x}}.$

Schimbarea indicelui. Indice comun

Conform formulei de schimbare a indicelui, indicele unui radical și exponentul numărului de sub radical se pot înmulți sau împărți cu același număr:

• ${\sqrt[6]{a^3}=\sqrt a}$
• ${\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^2}=\sqrt3}$
• ${\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt2}$
• ${\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[3]{a^2}}$

Este același lucru cu simplificarea fracției exponentului: ${a^{\frac36}=a^{\frac12}}.$

Doar când numărul de sub radical nu este negativ. ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ dar ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$ Cu un număr negativ sub radical, scoate mai întâi semnul minus: ${\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-\sqrt[6]{8^2}}.$

Radicalii cu indici diferiți se pot aduce la indice comun. Folosește cel mai mic multiplu comun al indicilor, exact ca atunci când cauți numitorul comun al mai multor fracții.

• $\sqrt a$ și $\sqrt[3]{b}$: cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 3 este 6, deci ${\sqrt a=\sqrt[6]{a^3}}$ și ${\sqrt[3]{b}=\sqrt[6]{b^2}}.$
• $\sqrt2$ și $\sqrt[3]{3}$ devin ${\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}}$ și ${\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}}.$
• $\sqrt[4]{a}$ și $\sqrt[6]{b}$ devin $\sqrt[12]{a^3}$ și $\sqrt[12]{b^2}.$
• $\sqrt[3]{4}$ și $\sqrt[4]{5}$ devin ${\sqrt[12]{4^4}=\sqrt[12]{256}}$ și ${\sqrt[12]{5^3}=\sqrt[12]{125}}.$

Rădăcina unui pătrat perfect

Când numărul de sub radical este pătratul unei sume sau al unei diferențe, rădăcina se poate extrage exact. Aici literele pot fi numere reale oarecare, pozitive sau negative, deci este nevoie de modul. Amintește-ți formulele de calcul prescurtat ${(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}$ și ${(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}.$

• ${\sqrt{x^2+2x+1}}={\sqrt{(x+1)^2}}={|x+1|}$
• ${\sqrt{a^2+a+\frac14}}={\sqrt{\left(a+\frac12\right)^2}}={\left|a+\frac12\right|}$
• ${\sqrt{x^2-6bx+9b^2}}={\sqrt{(x-3b)^2}}={|x-3b|}$

De exemplu, ${x+1}$ poate fi negativ. Pentru ${x=-4}$ numărul de sub radical este ${16-8+1=9}$ iar rădăcina este 3, care este $|{-3}|.$

Aceeași idee permite eliminarea unei rădăcini aflate sub altă rădăcină. Caută două numere a căror sumă este termenul fără radical și al căror produs este numărul aflat sub radicalul interior, după ce acel radical a fost scris cu coeficientul 2. Pentru ${3+2\sqrt2}$ numerele sunt 1 și 2. Pentru ${7-4\sqrt3=7-2\sqrt{12}}$ sunt 4 și 3.

${\sqrt{3+2\sqrt2}}={\sqrt{1+2\sqrt2+2}}={\sqrt{\left(1+\sqrt2\right)^2}}={1+\sqrt2}$

${\sqrt{7-4\sqrt3}}={\sqrt{4-4\sqrt3+3}}={\sqrt{\left(2-\sqrt3\right)^2}}={\left|2-\sqrt3\right|}={2-\sqrt3}$

În ultimul pas, ${2-\sqrt3}$ este pozitiv, deoarece ${2=\sqrt4\gt\sqrt3}.$ O rădăcină pătrată nu este niciodată negativă, deci ordinea contează: ${\sqrt{\left(1-\sqrt2\right)^2}=\sqrt2-1}.$

Adunarea și scăderea radicalilor

Radicalii care au același indice și același număr sub radical se numesc radicali asemenea. De exemplu, $2\sqrt3$ și $5\sqrt3$ sunt radicali asemenea, și la fel sunt $\sqrt[3]{x}$ și $-4\sqrt[3]{x}.$ Radicalii $\sqrt3$ și $\sqrt5$ nu sunt asemenea (numere diferite sub radical), și nici $\sqrt a$ și $\sqrt[3]{a}$ (indici diferiți).

De două ori rădăcina din $a$ plus de trei ori rădăcina din $a$ înseamnă de cinci ori rădăcina din $a,$ la fel ca ${2x+3x=5x}$:

${2\sqrt a+3\sqrt a=5\sqrt a}$

• ${2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3}$
• ${7\sqrt[3]{2}-4\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt5+\sqrt5=2\sqrt5}$
• ${\sqrt{ay}-3\sqrt{ay}=-2\sqrt{ay}}$
• ${3\sqrt[3]{h}-\left(-5\sqrt[3]{h}\right)=8\sqrt[3]{h}}$
• ${a\sqrt{b-h}+y\sqrt{b-h}}={(a+y)\sqrt{b-h}}$
• ${5\sqrt2+3\sqrt7-2\sqrt2+\sqrt7}={3\sqrt2+4\sqrt7}$

Mai întâi se simplifică

Radicalii care par diferiți pot deveni asemenea după simplificare.

• ${\sqrt8+\sqrt{50}}={2\sqrt2+5\sqrt2}={7\sqrt2}$
• ${\sqrt{50}-\sqrt8}={5\sqrt2-2\sqrt2}={3\sqrt2}$
• ${\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}}={2\sqrt3+3\sqrt3-4\sqrt3}={\sqrt3}$
• ${\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}}={2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}}={5\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt{16b}+\sqrt{4b}}={4\sqrt b+2\sqrt b}={6\sqrt b}$
• ${\sqrt{a^2x}+\sqrt{b^4x}}={a\sqrt x+b^2\sqrt x}={\left(a+b^2\right)\sqrt x}$
• ${\sqrt[3]{b^4y}-\sqrt[3]{by^4}}={b\sqrt[3]{by}-y\sqrt[3]{by}}={(b-y)\sqrt[3]{by}}$

Radicalii care nu sunt asemenea nu se pot reduce la un singur radical. Suma ${3\sqrt b+2\sqrt a}$ rămâne așa cum este: nu este $5\sqrt a,$ nici $5\sqrt b,$ nici $5\sqrt{a+b}.$ Nici suma ${\sqrt a+\sqrt[3]{a}}$ nu se poate simplifica. În particular, ${\sqrt2+\sqrt3\ne\sqrt5}$: membrul stâng valorează aproximativ ${1{,}414+1{,}732=3{,}146},$ iar ${\sqrt5\approx 2{,}236}.$

Înmulțirea radicalilor

• ${\sqrt3\cdot\sqrt5=\sqrt{15}}$
• ${\sqrt2\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6}$
• ${\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3}$
• ${\sqrt{8xb}\cdot\sqrt{2xb}}={\sqrt{16x^2b^2}}={4xb}$
• ${\sqrt{a+m}\cdot\sqrt{a-m}}={\sqrt{a^2-m^2}}$
• ${5\sqrt5\cdot 3\sqrt8}={15\sqrt{40}}={15\cdot 2\sqrt{10}}={30\sqrt{10}}$
• ${a\sqrt x\cdot b\sqrt x=ab\sqrt{x^2}=abx}$
• ${x\sqrt[3]{3}\cdot y\sqrt[3]{9}}={xy\sqrt[3]{27}}={3xy}$

După cum arată al doilea și al treilea exemplu, produsul a două numere iraționale poate fi un număr întreg. În particular, ${\sqrt a\cdot\sqrt a=a}$: de exemplu, ${\sqrt7\cdot\sqrt7=7}.$

Radicali cu indici diferiți

Mai întâi se aduc radicalii la indice comun, apoi se înmulțesc numerele de sub radical.

• ${\sqrt x\cdot\sqrt[3]{y}}={\sqrt[6]{x^3}\cdot\sqrt[6]{y^2}}={\sqrt[6]{x^3y^2}}$
• ${2\sqrt3\cdot 3\sqrt[3]{4}}={6\sqrt[6]{3^3}\cdot\sqrt[6]{4^2}}={6\sqrt[6]{27\cdot 16}}={6\sqrt[6]{432}}$
• ${\sqrt d\cdot\sqrt[3]{ab}}={\sqrt[6]{d^3}\cdot\sqrt[6]{a^2b^2}}={\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}$

Rădăcinile aceluiași număr se înmulțesc mai ușor ca puteri: se adună exponenții.

• ${\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a}}={a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}}={a^{\frac56}}={\sqrt[6]{a^5}}$
• ${\sqrt2\cdot\sqrt[4]{2}}={2^{\frac12+\frac14}}={2^{\frac34}}={\sqrt[4]{8}}$
• ${x\cdot\sqrt[n]{x}=x^{1+\frac1n}=x^{\frac{n+1}{n}}}$

Sume cu radicali. Expresii conjugate

Parantezele se elimină în modul obișnuit: fiecare termen al unui factor se înmulțește cu fiecare termen al celuilalt.

${\sqrt2\left(\sqrt6+\sqrt8\right)}={\sqrt{12}+\sqrt{16}}={2\sqrt3+4}$

${\left(2+\sqrt3\right)\left(5-\sqrt3\right)}={10-2\sqrt3+5\sqrt3-3}={7+3\sqrt3}$

Merg și formulele pătratului unei sume și pătratului unei diferențe:

${\left(a+\sqrt y\right)^2=a^2+2a\sqrt y+y}$

${\left(a-\sqrt y\right)^2=a^2-2a\sqrt y+y}$

${\left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2}={5+2\sqrt{10}+2}={7+2\sqrt{10}}$

Cea mai utilă formulă este diferența de pătrate. Expresiile ${\sqrt a+\sqrt b}$ și ${\sqrt a-\sqrt b}$ se numesc conjugate, și la fel sunt ${a+\sqrt b}$ și ${a-\sqrt b}.$ Produsul a două expresii conjugate nu mai are radicali:

• ${\left(1+\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right)}={1-2}={-1}$
• ${\left(3-2\sqrt2\right)\left(3+2\sqrt2\right)}={9-8}={1}$
• ${\left(\sqrt7+\sqrt3\right)\left(\sqrt7-\sqrt3\right)}={7-3}={4}$

Împărțirea radicalilor

• ${\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5}$
• ${\frac{\sqrt{6a^3x}}{\sqrt{3x}}=\sqrt{2a^3}=a\sqrt{2a}}$
• ${\frac{10\sqrt{27}}{2\sqrt3}=5\sqrt9=15}$
• ${\frac{10\sqrt[3]{108}}{5\sqrt[3]{4}}=2\sqrt[3]{27}=6}$
• ${\frac{8\sqrt{108}}{2\sqrt6}=4\sqrt{18}=12\sqrt2}$
• ${\frac{24x\sqrt{ay}}{6\sqrt a}=4x\sqrt y}$

Radicalii cu indici diferiți se aduc mai întâi la indice comun:

• ${\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt b}=\frac{\sqrt[6]{a^2}}{\sqrt[6]{b^3}}=\sqrt[6]{\frac{a^2}{b^3}}}$
• ${\frac{2\sqrt[3]{bc}}{3\sqrt{ac}}}={\frac23\sqrt[6]{\frac{b^2c^2}{a^3c^3}}}={\frac23\sqrt[6]{\frac{b^2}{a^3c}}}$
• ${\frac{\sqrt[6]{x^3y^2}}{\sqrt[3]{y}}}={\frac{\sqrt[6]{x^3y^2}}{\sqrt[6]{y^2}}}={\sqrt[6]{x^3}}={\sqrt x}$

Rădăcinile aceluiași număr se împart mai ușor ca puteri: se scad exponenții.

• ${\frac{\sqrt a}{\sqrt[6]{a}}=a^{\frac12-\frac16}=a^{\frac13}=\sqrt[3]{a}}$
• ${\frac{a^2}{\sqrt[3]{a}}=a^{2-\frac13}=a^{\frac53}=a\sqrt[3]{a^2}}$

Raționalizarea numitorului

Este mai comod să lucrezi cu o fracție când la numitorul ei nu sunt radicali. De exemplu, ${\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}},$ și este mult mai ușor să împarți la 2 un număr zecimal cu infinit de multe zecimale, cum este rădăcina pătrată din 2, decât să împarți 1 la acel număr. Eliminarea radicalilor de la numitor se numește raționalizarea numitorului. Înmulțim numărătorul și numitorul cu același număr, deci valoarea fracției nu se schimbă.

1. Numitorul este o rădăcină pătrată. Înmulțește numărătorul și numitorul cu acea rădăcină.

${\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}}$

${\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2}$

${\frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt x}{\sqrt x\cdot\sqrt x}=\frac{\sqrt{ax}}{x}}$

${\sqrt{\frac37}}={\frac{\sqrt3}{\sqrt7}}={\frac{\sqrt3\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}}={\frac{\sqrt{21}}{7}}$

2. Numitorul este o rădăcină cu indice mai mare decât 2. Înmulțește cu rădăcina care transformă numărul de sub radical într-o putere a $n$-a perfectă, deoarece ${\sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{x^{n-1}}=\sqrt[n]{x^n}=x}.$

${\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2^2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

${\frac{6}{\sqrt[4]{5}}=\frac{6\sqrt[4]{5^3}}{\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{5^3}}=\frac{6\sqrt[4]{125}}{5}}$

3. Numitorul este o sumă sau o diferență care conține rădăcini pătrate. Înmulțește cu expresia conjugată a numitorului. Numitorul devine o diferență de pătrate, iar rădăcinile dispar.

${\frac{\sqrt2}{3-\sqrt2}}={\frac{\sqrt2\left(3+\sqrt2\right)}{\left(3-\sqrt2\right)\left(3+\sqrt2\right)}}={\frac{3\sqrt2+2}{9-2}}={\frac{2+3\sqrt2}{7}}$

${\frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}}={\frac{4\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}{7-3}}={\sqrt7+\sqrt3}$

${\frac{a-\sqrt b}{a+\sqrt b}}={\frac{\left(a-\sqrt b\right)^2}{\left(a+\sqrt b\right)\left(a-\sqrt b\right)}}={\frac{a^2-2a\sqrt b+b}{a^2-b}}$   (pentru ${a^2\ne b}$)

Un exemplu mai greu. Un numitor cu trei rădăcini cere doi pași. Pentru fracția $\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3},$ grupează mai întâi ultimele două rădăcini și înmulțește cu ${\sqrt{10}+\left(\sqrt2+\sqrt3\right)}$:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3\right)}\cdot {\left(\sqrt{10}+\sqrt2+\sqrt3\right)}={10-\left(\sqrt2+\sqrt3\right)^2}={5-2\sqrt6}$

Apoi înmulțește cu expresia conjugată ${5+2\sqrt6},$ deoarece ${\left(5-2\sqrt6\right)\left(5+2\sqrt6\right)}={25-24}={1}.$ Astfel,

${\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3}}={\left(\sqrt{10}+\sqrt2+\sqrt3\right)\left(5+2\sqrt6\right)}$

Uneori este nevoie de contrariul și se raționalizează numărătorul în același fel: ${\frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt a}{\sqrt x\cdot\sqrt a}=\frac{a}{\sqrt{ax}}}.$

Puteri și rădăcini de radicali

Puteri

• ${\left(\sqrt[3]{2}\right)^2=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}}$
• ${\left(\sqrt3\right)^4=\sqrt{3^4}=3^2=9}$
• ${\left(2\sqrt3\right)^2=2^2\cdot 3=12}$
• ${\left(2\sqrt5\right)^3}={8\sqrt{5^3}}={8\cdot 5\sqrt5}={40\sqrt5}$
• ${\left(\sqrt[3]{b+x}\right)^3=b+x}$
• ${\left(3a\sqrt[3]{y}\right)^3=27a^3y}$
• ${\left(a\sqrt[n]{x}\right)^2=a^2\sqrt[n]{x^2}}$
• ${\left(\sqrt[6]{a}\right)^2=\sqrt[6]{a^2}=\sqrt[3]{a}}$

Rădăcini

• ${\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[6]{a}}$
• ${\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2}$
• ${\sqrt{\sqrt x}=\sqrt[4]{x}}$ și ${\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\sqrt[8]{x}}$
• ${\sqrt[3]{a\sqrt{xy}}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{xy}}$

Când în fața radicalului interior este un coeficient, introdu-l mai întâi sub acel radical:

${\sqrt{2\sqrt2}}={\sqrt{\sqrt{2^2\cdot 2}}}={\sqrt{\sqrt8}}={\sqrt[4]{8}}$

Exponenții fracționari fac aceeași treabă fără niciun semn al radicalului:

${\sqrt{a\sqrt[3]{a}}}={\left(a\cdot a^{\frac13}\right)^{\frac12}}={\left(a^{\frac43}\right)^{\frac12}}={a^{\frac23}}={\sqrt[3]{a^2}}$

Compararea radicalilor

• Același indice. ${\sqrt7\lt\sqrt{10}}$ și ${\sqrt[3]{5}\gt\sqrt[3]{4}}.$
• Un număr și un radical. Care este mai mare, 4 sau $\sqrt{15}?$ Cum ${4=\sqrt{16}},$ rezultă ${4\gt\sqrt{15}}.$
• Coeficienți. Care este mai mare, $3\sqrt2$ sau $2\sqrt5?$ Introdu coeficienții sub radicali: ${3\sqrt2=\sqrt{18}}$ și ${2\sqrt5=\sqrt{20}}.$ Prin urmare, ${3\sqrt2\lt 2\sqrt5}.$
• Indici diferiți. Care este mai mare, $\sqrt2$ sau $\sqrt[3]{3}?$ Folosește indicele comun 6: ${\sqrt2=\sqrt[6]{8}}$ și ${\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}}.$ Prin urmare, ${\sqrt2\lt\sqrt[3]{3}}.$
• Estimare. ${16\lt 20\lt 25},$ deci ${4\lt\sqrt{20}\lt 5}.$ La fel, ${27\lt 50\lt 64},$ deci ${3\lt\sqrt[3]{50}\lt 4}.$

Pentru un număr mai mare decât 1, rădăcina este mai mică decât numărul, și cu cât indicele este mai mare, cu atât rădăcina este mai mică: ${\sqrt{64}=8},$ ${\sqrt[3]{64}=4},$ ${\sqrt[6]{64}=2}.$ Pentru un număr cuprins între 0 și 1 se întâmplă invers, iar rădăcina este mai mare decât numărul: ${\sqrt{0{,}25}=0{,}5}.$

Graficele funcțiilor cu radicali

Graficul rădăcinii pătrate

Funcția ${y=\sqrt x}$ este definită numai pentru ${x\ge 0},$ iar valorile ei nu sunt negative: ${y\ge 0}.$ Graficul începe în punctul ${(0,\ 0)}$ și urcă mereu, deci funcția este crescătoare. Dar urcă tot mai încet: ca să urce de la 0 la 1 are nevoie de 1 unitate pe $x;$ ca să urce de la 1 la 2, de încă 3 unități, iar ca să urce de la 2 la 3, de alte 5.

Graficul lui ${y=\sqrt x}$ trece prin ${(0,\ 0)},$ ${(1,\ 1)},$ ${(4,\ 2)}$ și ${(9,\ 3)}.$

Graficul este jumătate dintr-o parabolă cu axa orizontală. Funcția ${y=\sqrt x}$ este inversa lui ${y=x^2}$ pentru ${x\ge 0}$: dacă ${y=x^2},$ atunci ${x=\sqrt y}.$ De aceea cele două grafice sunt simetrice una față de alta în raport cu dreapta ${y=x}.$

Graficele lui ${y=x^2}$ pentru ${x\ge 0}$ și ale lui ${y=\sqrt x}$ sunt simetrice una față de alta în raport cu dreapta ${y=x}.$

Graficul rădăcinii cubice

Funcția ${y=\sqrt[3]{x}}$ este definită pentru orice număr real $x$ și ia toate valorile reale. Este crescătoare pe toată axa reală și este inversa lui ${y=x^3}.$ Cum ${\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}},$ graficul este simetric față de origine.

Graficul lui ${y=\sqrt[3]{x}}$ trece prin ${(-8,\ -2)},$ ${(-1,\ -1)},$ ${(0,\ 0)},$ ${(1,\ 1)}$ și ${(8,\ 2)}.$

Graficele tuturor rădăcinilor cu indice par seamănă cu graficul lui $\sqrt x,$ iar cele cu indice impar seamănă cu graficul lui $\sqrt[3]{x}.$ Orice grafic ${y=\sqrt[n]{x}}$ trece prin punctele ${(0,\ 0)}$ și ${(1,\ 1)}.$

Exerciții

Încearcă să le rezolvi singur, apoi deschide răspunsul. Toate literele reprezintă numere pozitive, cu excepția exercițiului 15, unde $x$ este un număr real oarecare.

1. Calculează: a) $\sqrt{121};$ b) $\sqrt[3]{-64};$ c) $\sqrt[4]{81};$ d) $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}.$

a) 11, deoarece ${11^2=121};$ b) $-4,$ deoarece ${(-4)^3=-64};$ c) 3, deoarece ${3^4=81};$ d) $\frac12,$ deoarece ${\left(\frac12\right)^5=\frac{1}{32}}.$

2. Calculează: a) $27^{\frac23};$ b) $16^{-\frac34};$ c) $0{,}04^{0{,}5};$ d) $32^{\frac35}.$

a) ${\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9};$ b) ${\frac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}=\frac{1}{2^3}=\frac18};$ c) ${\sqrt{0{,}04}=0{,}2};$ d) ${\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8}.$

3. Între ce două numere întregi consecutive se află fiecare rădăcină? a) $\sqrt{75};$ b) $\sqrt[3]{100}.$

a) ${64\lt 75\lt 81},$ deci ${8\lt\sqrt{75}\lt 9}.$ b) ${64\lt 100\lt 125},$ deci ${4\lt\sqrt[3]{100}\lt 5}.$

4. Scrie cu semnul radicalului: a) $a^{\frac35};$ b) $x^{-\frac12}.$ Scrie ca putere: c) $\sqrt[4]{b^3};$ d) $\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}};$ e) $\sqrt[6]{(a+b)^{-3}}.$

a) $\sqrt[5]{a^3};$ b) $\frac{1}{\sqrt x};$ c) $b^{\frac34};$ d) $y^{-\frac23};$ e) ${(a+b)^{-\frac36}=(a+b)^{-\frac12}}.$

5. Simplifică: a) $\sqrt{72};$ b) $\sqrt{300};$ c) $\sqrt[3]{250};$ d) $\sqrt[4]{162}.$

a) ${\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt2};$ b) ${\sqrt{100\cdot 3}=10\sqrt3};$ c) ${\sqrt[3]{125\cdot 2}=5\sqrt[3]{2}};$ d) ${\sqrt[4]{81\cdot 2}=3\sqrt[4]{2}}.$

6. Simplifică: a) $\sqrt{75a^4b^3};$ b) $\sqrt[3]{-125a^3x^6};$ c) $\sqrt{\frac{4a^4}{9x^2y^2}};$ d) $\sqrt[5]{\frac{32a^5x^{10}}{243}}.$

a) ${\sqrt{25a^4b^2\cdot 3b}=5a^2b\sqrt{3b}};$ b) $-5ax^2;$ c) $\frac{2a^2}{3xy};$ d) $\frac{2ax^2}{3}.$

7. Introdu coeficientul sub radical: a) $5\sqrt3;$ b) $2\sqrt[3]{7};$ c) $-2\sqrt6.$ d) Scrie $ax^2$ ca rădăcină de ordinul șase.

a) ${\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}};$ b) ${\sqrt[3]{8\cdot 7}=\sqrt[3]{56}};$ c) ${-\sqrt{4\cdot 6}=-\sqrt{24}};$ d) $\sqrt[6]{a^6x^{12}}.$

8. Adună sau scade: a) ${\sqrt{18a}+3\sqrt{2a}};$ b) ${3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{80}};$ c) ${\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{24}};$ d) ${\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}}.$

a) ${3\sqrt{2a}+3\sqrt{2a}=6\sqrt{2a}};$ b) ${6\sqrt5-3\sqrt5+4\sqrt5=7\sqrt5};$ c) ${3\sqrt[3]{3}-2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3}};$ d) ${2\sqrt3+3\sqrt3-5\sqrt3=0}.$

9. Înmulțește: a) ${\sqrt6\cdot\sqrt{15}};$ b) ${2\sqrt3\cdot 5\sqrt{12}};$ c) ${\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{10}};$ d) ${\sqrt2\cdot\sqrt[3]{4}}.$

a) ${\sqrt{90}=3\sqrt{10}};$ b) ${10\sqrt{36}=60};$ c) ${\sqrt[3]{40}=2\sqrt[3]{5}};$ d) ${\sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{4^2}=\sqrt[6]{128}=2\sqrt[6]{2}}.$

10. Elimină parantezele: a) ${\left(3+\sqrt5\right)\left(3-\sqrt5\right)};$ b) ${\left(\sqrt7-2\right)^2};$ c) ${\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(2\sqrt3-\sqrt2\right)};$ d) ${\left(a-\sqrt b\right)^3}.$

a) ${9-5=4};$ b) ${7-4\sqrt7+4=11-4\sqrt7};$ c) ${6-\sqrt6+2\sqrt6-2=4+\sqrt6};$ d) ${a^3-3a^2\sqrt b+3ab-b\sqrt b}.$

11. Împarte: a) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2};$ b) $\frac{12\sqrt{30}}{4\sqrt6};$ c) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}};$ d) $\frac{\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}{\sqrt d}.$

a) ${\sqrt{49}=7};$ b) $3\sqrt5;$ c) ${\sqrt[3]{27}=3};$ d) ${\frac{\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}{\sqrt[6]{d^3}}=\sqrt[6]{a^2b^2}=\sqrt[3]{ab}}.$

12. Raționalizează numitorul: a) $\frac{10}{\sqrt5};$ b) $\frac{3}{\sqrt[3]{9}};$ c) $\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3};$ d) $\frac{1+\sqrt2}{1-\sqrt2}.$

a) ${\frac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5};$ b) ${\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[3]{3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}};$ c) ${\frac{\sqrt5-\sqrt3}{5-3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}};$ d) ${\frac{\left(1+\sqrt2\right)^2}{1-2}=-3-2\sqrt2}.$

13. Simplifică: a) ${\left(2\sqrt3\right)^4};$ b) $\sqrt{\sqrt[3]{x^{12}}};$ c) $\sqrt[3]{\sqrt{27}};$ d) $\sqrt{x\sqrt x}.$

a) ${16\cdot 9=144};$ b) ${\sqrt[6]{x^{12}}=x^2};$ c) ${\sqrt[6]{3^3}=\sqrt3};$ d) ${\sqrt{\sqrt{x^3}}=\sqrt[4]{x^3}}.$

14. Care număr este mai mare? a) $2\sqrt7$ sau $3\sqrt3;$ b) $\sqrt[3]{3}$ sau $\sqrt2;$ c) 5 sau $\sqrt[3]{120}.$

a) ${2\sqrt7=\sqrt{28}}$ și ${3\sqrt3=\sqrt{27}},$ deci $2\sqrt7$ este mai mare. b) ${\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}}$ și ${\sqrt2=\sqrt[6]{8}},$ deci $\sqrt[3]{3}$ este mai mare. c) ${5=\sqrt[3]{125}},$ deci 5 este mai mare.

15. Simplifică: a) $\sqrt{x^2-10x+25};$ b) $\sqrt{11-6\sqrt2}.$

a) ${\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|};$ b) ${\sqrt{9-6\sqrt2+2}}={\sqrt{\left(3-\sqrt2\right)^2}}={3-\sqrt2}.$ Diferența ${3-\sqrt2}$ este pozitivă, deoarece ${3\gt\sqrt2}.$

16. Rezolvă ecuațiile: a) ${x^2=48};$ b) ${x^3=-54};$ c) ${x^4=81};$ d) ${x^2=-9}.$

a) ${x=\pm\sqrt{48}=\pm 4\sqrt3};$ b) ${x=\sqrt[3]{-54}=-3\sqrt[3]{2}};$ c) ${x=\pm\sqrt[4]{81}=\pm 3};$ d) nu are soluții reale, deoarece un pătrat nu este niciodată negativ.

17. Un pătrat are aria de 50 de centimetri pătrați. Un cub are volumul de 54 de centimetri cubi. Află latura pătratului și muchia cubului.

Latura măsoară ${\sqrt{50}=5\sqrt2\approx 7{,}07}$ centimetri. Muchia măsoară ${\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\approx 3{,}78}$ centimetri.

18. Catetele unui triunghi dreptunghic măsoară 2 și 4. Află ipotenuza.

Conform teoremei lui Pitagora, ipotenuza măsoară ${\sqrt{2^2+4^2}}={\sqrt{20}}={2\sqrt5}\approx{4{,}47}.$

19. Demonstrează că ${\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2}.$

${4+2\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)^2}$ și ${4-2\sqrt3=\left(\sqrt3-1\right)^2}.$ Atât ${\sqrt3+1}$ cât și ${\sqrt3-1}$ sunt pozitive, deci diferența este ${\left(\sqrt3+1\right)-\left(\sqrt3-1\right)=2}.$

20. Rezolvă ecuațiile: a) ${\sqrt x=5};$ b) ${\sqrt x=-5};$ c) ${\sqrt[3]{x}=-2}.$

a) ${x=5^2=25};$ b) nu are soluții, deoarece o rădăcină pătrată nu este niciodată negativă; c) ${x=(-2)^3=-8}.$

Vezi și: Valoarea absolută