Panta unei drepte

Graficul dreptei $y=mx+b$

Trage punctul albastru ca să schimbi ordonata la origine $b$ și punctul portocaliu ca să schimbi panta $m,$ sau folosește butoanele − și +. Salvează o dreaptă ca să o compari cu următoarea.

Ce este panta unei drepte?

Panta unei drepte este un număr care măsoară înclinarea ei și arată dacă dreapta urcă sau coboară când ne deplasăm de la stânga la dreapta. Cu ajutorul pantei putem scrie ecuația unei drepte, putem hotărî dacă două drepte sunt paralele sau perpendiculare și putem descrie cât de repede se schimbă o mărime când se schimbă alta.

Pe această pagină: Grafic · Variațiile coordonatelor · Definiție · Semnul pantei · Unghiul de înclinare · Paralele și perpendiculare · Ecuațiile dreptei · Panta în viața reală · Exerciții

Panta unei drepte (înclinarea)

Imaginează-ți un punct care se mișcă de-a lungul unei drepte neverticale din punctul $P_1(x_1, y_1)$ până în punctul $P_2(x_2, y_2).$ Coordonata lui $y$ se schimbă cu ${y_2-y_1}$ iar coordonata lui $x$ se schimbă cu ${x_2-x_1}.$ Diferența ${y_2-y_1}$ este variația lui $y$ (variația pe verticală), iar diferența ${x_2-x_1}$ este variația lui $x$ (variația pe orizontală). Unele cărți le numesc ridicare și deplasare.

Cu cât dreapta este mai înclinată, cu atât variația lui $y$ este mai mare pentru aceeași variație a lui $x.$ De aceea înclinarea se măsoară împărțind variația lui $y$ la variația lui $x.$ De exemplu, dacă o dreaptă urcă $3$ unități în timp ce înaintăm $6$ unități spre dreapta, câtul este ${\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\text{:}$ dreapta urcă o jumătate de unitate pentru fiecare unitate cu care înaintăm spre dreapta.

Definiție

Pe scurt: panta este variația lui $y$ împărțită la variația lui $x.$ Formula cere ca ${x_1\ne x_2}.$ Pe o dreaptă verticală toate punctele au aceeași coordonată $x,$ deci variația lui $x$ este $0,$ și nu se poate împărți la zero. De aceea panta unei drepte verticale nu este definită. (Unele cărți spun că dreapta verticală nu are pantă. Asta nu înseamnă că panta este $0.$)

Exemple:

• ${y=2x+1}\text{:}$ panta este $2;$
• ${y=-3x+4}\text{:}$ panta este $-3;$
• ${y=\frac{1}{2}x-5}\text{:}$ panta este $\frac{1}{2};$
• ${y=-x}\text{:}$ panta este $-1;$
• ${y=5}\text{:}$ panta este $0.$

Ordinea punctelor

Nu contează pe care dintre puncte îl numim $P_1$ și pe care $P_2.$ Dacă le schimbăm între ele, numărătorul și numitorul își schimbă semnul, iar fracția nu se modifică:

$$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-(y_2-y_1)}{-(x_2-x_1)}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Ordinea trebuie să fie aceeași la numărător și la numitor. Dacă numărătorul începe cu $y_2,$ numitorul trebuie să înceapă cu $x_2.$

Oricare două puncte dau aceeași pantă

Panta este o proprietate a întregii drepte, nu a unei perechi de puncte. În figură, punctele $A,$ $B,$ $C$ și $D$ se află pe aceeași dreaptă. Fiecare dintre cele două triunghiuri dreptunghice hașurate are o catetă orizontală și una verticală, iar ipotenuzele lor $AB$ și $CD$ se află pe acea dreaptă. Catetele orizontale sunt paralele, deci unghiurile din $A$ și din $C$ sunt egale (sunt unghiuri corespondente). În plus, cele două triunghiuri au un unghi drept, deci sunt asemenea. În triunghiurile asemenea, rapoartele dintre laturile corespunzătoare sunt egale. În triunghiul mic, variația lui $y$ este $1$ și variația lui $x$ este $2;$ în cel mare, variația lui $y$ este $2$ și variația lui $x$ este $4\text{:}$

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}.$$

Oricare două puncte am lua pe această dreaptă, panta este $\frac{1}{2}.$

Panta ca raport de variație

Variațiile coordonatelor se scriu adesea cu litera grecească $\Delta$ (delta): ${\Delta x=x_2-x_1}$ și ${\Delta y=y_2-y_1}.$ Atunci

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \Delta y=m\cdot\Delta x.$$

Dacă $x$ crește cu $1,$ atunci $y$ se schimbă cu $m.$ Astfel, panta este raportul de variație (sau rata de variație) a lui $y$ în raport cu $x\text{:}$ ea arată cu câte unități se schimbă $y$ când $x$ crește cu o unitate. Pe o dreaptă, acest raport este întotdeauna același.

Pantă pozitivă, negativă, nulă și nedefinită

Privim dreapta de la stânga la dreapta, în sensul în care crește $x.$

Panta	Dreapta	Motivul
Pozitivă, ${m\gt0}$	urcă de la stânga la dreapta	când $x$ crește, $y$ crește și el: variația lui $y$ este pozitivă
Negativă, ${m\lt0}$	coboară de la stânga la dreapta	când $x$ crește, $y$ scade: variația lui $y$ este negativă (se vorbește atunci de o coborâre)
Nulă, ${m=0}$	este orizontală	toate punctele au aceeași coordonată $y\text{:}$ variația lui $y$ este $0$
Nedefinită	este verticală	toate punctele au aceeași coordonată $x\text{:}$ variația lui $x$ este $0$

Valoarea absolută a pantei arată înclinarea: cu cât $|m|,$ este mai mare, cu atât dreapta este mai înclinată. O dreaptă cu panta $4$ este mai înclinată decât una cu panta $\frac{1}{2},$ iar o dreaptă cu panta $-2$ este mai înclinată decât una cu panta $1,$ deși ${-2\lt1}.$

Exemplul 1. Află panta dreptei care trece prin punctele: a) $(6, 2)$ și $(9, 8);$ b) $(2, 9)$ și $(4, 3);$ c) $(-2, 7)$ și $(5, 7);$ d) $(3, 1)$ și $(3, 5).$

Rezolvare. Folosim formula ${m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}.$

a) $m=\frac{8-2}{9-6}=\frac{6}{3}=2.$ Dreapta urcă $2$ unități pentru fiecare unitate spre dreapta.

b) $m=\frac{3-9}{4-2}=\frac{-6}{2}=-3.$ Dreapta coboară $3$ unități pentru fiecare unitate spre dreapta.

c) $m=\frac{7-7}{5-(-2)}=\frac{0}{7}=0.$ Dreapta este orizontală.

d) În ambele puncte, ${x=3};$ de aceea variația lui $x$ este ${3-3=0}$ și panta nu este definită. Dreapta este verticală.

Exemplul 2. Dreapta care trece prin punctele $(1, 2)$ și $(4, y)$ are panta $3.$ Află $y.$

Rezolvare. Din formula pantei, ${\frac{y-2}{4-1}=3}.$ De aici, ${y-2=9},$ adică ${y=11}.$

Exemplul 3. Se află punctele $A(-1, 1),$ $B(1, 5)$ și $C(4, 11)$ pe aceeași dreaptă?

Rezolvare. Panta dreptei $AB$ este ${\frac{5-1}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2},$ iar cea a dreptei $BC$ este ${\frac{11-5}{4-1}=\frac{6}{3}=2}.$ Dreptele $AB$ și $BC$ au aceeași pantă și punctul $B$ comun. Printr-un punct dat trece o singură dreaptă cu o pantă dată, deci $AB$ și $BC$ sunt aceeași dreaptă. Cele trei puncte se află pe aceeași dreaptă (sunt coliniare).

Unghiul de înclinare

Unghiul de înclinare al unei drepte care taie axa $x$ este cel mai mic unghi $\alpha$ măsurat, în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic), de la partea pozitivă a axei $x$ până la dreaptă. Pentru o dreaptă orizontală se ia ${\alpha=0^\circ}.$

Prin urmare, ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ}.$ Dacă dreapta urcă, unghiul $\alpha$ este ascuțit; dacă coboară, $\alpha$ este obtuz; pentru o dreaptă verticală, ${\alpha=90^\circ}.$

Teoremă. Pentru orice dreaptă neverticală, panta $m$ și unghiul de înclinare $\alpha$ sunt legate prin ${m=\operatorname{tg}\alpha}.$

Tangenta unui unghi obtuz este negativă: ${\operatorname{tg}\alpha=-\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)}.$ De exemplu, ${\operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1}.$

Demonstrație

Luăm două puncte $P_1$ și $P_2$ ale dreptei, cu $P_2$ la dreapta lui $P_1,$ și desenăm triunghiul dreptunghic ale cărui catete reprezintă variația lui $x$ și variația lui $y.$

Dacă dreapta urcă, unghiul triunghiului din $P_1$ este egal cu $\alpha\text{:}$ cateta orizontală este paralelă cu axa $x,$ deci este vorba de unghiuri corespondente. Într-un triunghi dreptunghic, tangenta unui unghi ascuțit este câtul dintre cateta opusă și cateta alăturată; prin urmare, ${\operatorname{tg}\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m}.$

Dacă dreapta coboară, unghiul $\alpha$ este obtuz, iar unghiul ascuțit format de dreaptă și axa $x$ este ${180^\circ-\alpha}.$ Unghiul triunghiului din $P_1$ este egal cu acest unghi ascuțit (din nou sunt unghiuri corespondente). Tangenta lui este câtul dintre lungimea catetei verticale și cea a catetei orizontale: ${\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)}={\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1}}={-m}.$ Deoarece ${\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha},$ obținem ${-\operatorname{tg}\alpha=-m},$ deci și în acest caz ${m=\operatorname{tg}\alpha}.$

Pentru o dreaptă orizontală, ${m=0}$ și ${\operatorname{tg}0^\circ=0}.$

Unghiul $\alpha$	${m=\operatorname{tg}\alpha}$	Dreapta
$0^\circ$	$0$	este orizontală
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}58$	urcă
$45^\circ$	$1$	urcă
$60^\circ$	$\sqrt{3}\approx1{,}73$	urcă
$90^\circ$	nedefinită	este verticală
$120^\circ$	$-\sqrt{3}\approx-1{,}73$	coboară
$135^\circ$	$-1$	coboară
$150^\circ$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}58$	coboară

Tangenta lui $90^\circ$ nu este definită, ceea ce se potrivește cu faptul că nici panta unei drepte verticale nu este definită.

Exemplul 4. Află unghiul de înclinare al unei drepte cu panta a) ${m=1};$ b) ${m=-1}.$

Rezolvare.

a) ${\operatorname{tg}\alpha=1},$ deci ${\alpha=45^\circ}$ (în radiani, $\frac{\pi}{4}$).

b) ${\operatorname{tg}\alpha=-1}.$ Deoarece ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ},$ unghiul este ${\alpha=135^\circ}$ (în radiani, $\frac{3\pi}{4}$).

Exemplul 5. Află, rotunjind la cel mai apropiat grad, unghiul de înclinare al dreptei care trece prin punctele a) $(1, 1)$ și $(4, 3);$ b) $(0, 5)$ și $(2, 1).$

Rezolvare.

a) ${m=\frac{3-1}{4-1}=\frac{2}{3}}.$ Cu calculatorul în modul grade, tasta $\operatorname{tg}^{-1}$ (arctangentă) dă ${\alpha=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}\approx34^\circ}.$

b) ${m=\frac{1-5}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2}.$ Calculatorul dă ${\operatorname{arctg}(-2)\approx-63^\circ},$ dar un unghi de înclinare nu poate fi negativ. Tangenta nu se schimbă când la unghi se adaugă $180^\circ,$ deci adunăm $180^\circ$ și obținem ${\alpha\approx-63^\circ+180^\circ=117^\circ}.$

Dacă panta este negativă, calculatorul dă un unghi negativ. Adaugă-i $180^\circ$ ca să obții unghiul de înclinare.

Drepte paralele și perpendiculare

A doua condiție se poate scrie ${m_2=-\frac{1}{m_1}}\text{:}$ pantele a două drepte perpendiculare sunt inverse și de semn contrar. De exemplu, dreptele cu pantele $2$ și $-\frac{1}{2}$ sunt perpendiculare, la fel ca și cele cu pantele $-\frac{3}{4}$ și $\frac{4}{3}.$

Panta unei drepte verticale nu este definită, deci teorema nu spune nimic despre dreptele verticale. Două drepte verticale distincte sunt întotdeauna paralele. O dreaptă verticală este perpendiculară pe toate dreptele orizontale și pe niciuna altă.

Demonstrație pentru drepte paralele

Să presupunem mai întâi că nici una dintre cele două drepte nu este orizontală. Atunci fiecare taie axa $x;$ fie $\alpha_1$ și $\alpha_2$ unghiurile lor de înclinare.

Dacă dreptele sunt paralele, ele taie axa $x$ în două puncte distincte, iar $\alpha_1$ și $\alpha_2$ sunt unghiuri corespondente: axa $x$ este secanta. Unghiurile corespondente formate de drepte paralele sunt egale, ${\alpha_1=\alpha_2},$ și de aceea ${m_1=\operatorname{tg}\alpha_1=\operatorname{tg}\alpha_2=m_2}.$

Reciproc, fie ${m_1=m_2},$ adică ${\operatorname{tg}\alpha_1=\operatorname{tg}\alpha_2}.$ Două unghiuri distincte cuprinse între $0^\circ$ și $180^\circ$ nu pot avea aceeași tangentă, deci ${\alpha_1=\alpha_2}.$ Dreptele nu pot tăia axa $x$ în același punct: două drepte care trec printr-un același punct al axei și au același unghi de înclinare coincid, iar dreptele noastre sunt distincte. Prin urmare, ele taie axa în două puncte distincte, unghiurile corespondente $\alpha_1$ și $\alpha_2$ sunt egale și, în consecință, dreptele sunt paralele.

Dacă una dintre drepte este orizontală, panta ei este $0.$ Cealaltă dreaptă este paralelă cu ea exact atunci când este și ea orizontală, adică atunci când panta ei este tot $0.$

Demonstrație pentru drepte perpendiculare

În ambele părți ale demonstrației dreptele se taie. Dreptele perpendiculare se taie întotdeauna. Iar dacă ${m_1m_2=-1},$ atunci ${m_1\ne m_2}$ (dacă pantele ar fi egale, am avea ${m_1^2=-1},$ ceea ce este imposibil), deci, conform primei părți a teoremei, dreptele nu sunt paralele. Fie $A$ punctul în care se taie dreptele. Dacă translatăm ambele drepte în sus cu aceeași distanță, pantele lor și unghiul format de ele nu se schimbă, deci putem presupune că $A$ se află deasupra axei $x.$

Dacă dreptele sunt perpendiculare, atunci ${m_1m_2=-1}.$ Nici una dintre drepte nu este verticală și, prin urmare, nici una nu este orizontală (o dreaptă perpendiculară pe una orizontală este verticală). De aceea ambele drepte taie axa $x\text{:}$ $L_1$ într-un punct $B$ și $L_2$ într-un punct $C.$ Numim dreptele astfel încât $B$ să se afle la stânga lui $C.$ Triunghiul $ABC$ are un unghi drept în $A,$ deci unghiurile lui din $B$ și din $C$ sunt ascuțite. În consecință, $L_1$ urcă, $L_2$ coboară, iar piciorul $H$ al înălțimii $AH$ se află între $B$ și $C.$ Fie ${AH=h}$ și ${HC=c}.$

Unghiul triunghiului din $B$ este $\alpha_1.$ Unghiul $HAC$ este de asemenea egal cu $\alpha_1,$ deoarece fiecare dintre ele are suma $90^\circ$ cu unghiul din $C$ (în triunghiurile dreptunghice $ABC$ și $AHC$). Din triunghiul dreptunghic $AHC$ obținem ${\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{c}{h}},$ iar tangenta unghiului din $C$ este $\frac{h}{c}.$ Unghiul de înclinare al lui $L_2$ este $\alpha_2,$ iar unghiul din $C$ este ${180^\circ-\alpha_2},$ deci ${\operatorname{tg}\alpha_2=-\frac{h}{c}}.$ Prin urmare,

$$m_1m_2=\frac{c}{h}\cdot\left(-\frac{h}{c}\right)=-1.$$

Dacă ${m_1m_2=-1},$ atunci dreptele sunt perpendiculare. Pantele au semne contrare; fie ${m_1\gt0}$ și ${m_2\lt0}.$ Atunci $L_1$ urcă, iar $L_2$ coboară. Când coborâm din $A$ pe $L_1$ ne mișcăm spre stânga, iar pe $L_2,$ spre dreapta; de aceea $L_1$ taie axa $x$ într-un punct $B$ aflat la stânga lui $A,$ iar $L_2$ o taie într-un punct $C$ aflat la dreapta lui $A.$ Astfel, piciorul $H$ al înălțimii $AH$ triunghiului $ABC$ se află între $B$ și $C.$ Fie ${AH=h},$ ${BH=d}$ și ${HC=c}.$ Din triunghiurile dreptunghice $ABH$ și $AHC$ obținem ${m_1=\frac{h}{d}}$ și ${m_2=-\frac{h}{c}}.$ Egalitatea ${m_1m_2=-1}$ devine ${\frac{h}{d}\cdot\frac{h}{c}=1},$ adică ${\frac{h}{d}=\frac{c}{h}}.$

Aici $\frac{h}{d}$ este tangenta unghiului $ABH$ iar $\frac{c}{h}$ este tangenta unghiului $HAC.$ Două unghiuri ascuțite care au aceeași tangentă sunt egale, deci ${\angle HAC=\angle ABH}.$ În triunghiul dreptunghic $ABH$ avem ${\angle BAH=90^\circ-\angle ABH}.$ Prin urmare, ${\angle BAC}={\angle BAH+\angle HAC}={90^\circ\text{:}}$ dreptele sunt perpendiculare.

Ecuațiile dreptei

Numim ecuație a unei drepte o ecuație în $x$ și $y$ care este verificată de coordonatele tuturor punctelor dreptei și nu este verificată de coordonatele niciunui alt punct. Cu ajutorul pantei, aceste ecuații se scriu ușor.

Drepte verticale și orizontale

Teoremă. Dreapta verticală care trece prin punctul $(a, 0)$ are ecuația ${x=a}.$ Dreapta orizontală care trece prin punctul $(0, b)$ are ecuația ${y=b}.$

Pe dreapta verticală, toate punctele au coordonata $x$ egală cu $a,$ oricare ar fi coordonata lor $y.$ Pe dreapta orizontală, toate punctele au coordonata $y$ egală cu $b.$ De exemplu, ${x=3}$ este dreapta verticală care trece prin $(3, 0),$ în timp ce ${y=-2}$ este dreapta orizontală care trece prin $(0, -2).$ Axa $x$ este dreapta ${y=0},$ iar axa $y$ este dreapta ${x=0}.$

Forma punct-pantă

Teoremă. Dreapta de pantă $m$ care trece prin punctul $P_1(x_1, y_1)$ are ecuația ${y-y_1=m(x-x_1)}.$ Aceasta este forma punct-pantă a ecuației dreptei.

Demonstrație

Fie $P(x, y)$ un punct diferit de $P_1.$

Dacă ${x\ne x_1},$ punctul $P$ se află pe dreaptă exact atunci când panta lui $P_1P$ este egală cu $m\text{:}$

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=m.$$

Înmulțind ambii membri cu ${x-x_1}$ se obține ecuația echivalentă ${y-y_1=m(x-x_1)}.$

Dacă ${x=x_1},$ atunci ${y\ne y_1}.$ Un astfel de punct nu se află pe dreaptă, deoarece dreapta nu este verticală, și nici nu verifică ecuația: membrul stâng, ${y-y_1},$ nu este $0,$ iar cel drept este $0.$

Coordonatele lui $P_1$ verifică ecuația: ambii membri sunt egali cu $0.$

Exemplul 6. Scrie ecuația dreptei care trece prin punctul $(2, 3)$ și are panta $4.$

Rezolvare. ${y-3=4(x-2)}.$ Desfacem parantezele: ${y-3=4x-8},$ de unde ${y=4x-5}.$

Exemplul 7. Scrie ecuația dreptei care trece prin punctele $(1, 5)$ și $(3, 1).$

Rezolvare. Mai întâi aflăm panta: ${m=\frac{1-5}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2}.$ Apoi folosim forma punct-pantă cu punctul $(1, 5)\text{:}$ ${y-5=-2(x-1)},$ de unde ${y=-2x+7}.$ Verificare cu al doilea punct: ${-2\cdot3+7=1}.$

Forma pantă-ordonată la origine

Ordonata la origine a unei drepte este coordonata $y$ a punctului în care dreapta taie axa $y.$ Dacă ordonata la origine este $b,$ dreapta trece prin punctul $(0, b).$

Teoremă. Dreapta de pantă $m$ și ordonată la origine $b$ are ecuația ${y=mx+b}.$ Aceasta este forma pantă-ordonată la origine a ecuației dreptei, numită și ecuația explicită a dreptei.

Într-adevăr, forma punct-pantă cu punctul $(0, b)$ este ${y-b=m(x-0)},$ adică ${y=mx+b}.$ În această formă, cele două numere se citesc direct: coeficientul lui $x$ este panta, iar termenul liber este ordonata la origine. De exemplu, dreapta ${y=3x-2}$ are panta $3$ și taie axa $y$ în punctul $(0, -2).$

Exemplul 8. Află panta și ordonata la origine a dreptei ${3x+2y-6=0}.$

Rezolvare. Îl scoatem pe $y$ din ecuație: ${2y=-3x+6},$ de unde ${y=-\frac{3}{2}x+3}.$ Panta este $-\frac{3}{2}$ iar ordonata la origine este $3.$

În general, dacă ${B\ne0},$ dreapta ${Ax+By+C=0}$ are panta ${m=-\frac{A}{B}}$ și ordonata la origine $-\frac{C}{B}.$ Dacă ${B=0}$ (atunci ${A\ne0}$), ecuația se reduce la ${x=-\frac{C}{A}}\text{:}$ dreapta este verticală. Ecuația ${Ax+By+C=0}$ este ecuația generală a dreptei.

Două ecuații pot descrie aceeași dreaptă: ${y=2x+1}$ și ${2y=4x+2}$ au aceeași pantă, $2,$ și aceeași ordonată la origine, $1.$ Două drepte cu aceeași pantă sunt paralele numai dacă ordonatele lor la origine sunt diferite.

Exemplul 9. Desenează dreapta ${y=-\frac{2}{3}x+4}.$

Rezolvare. Ordonata la origine este $4,$ deci dreapta trece prin punctul $(0, 4).$ Panta este ${-\frac{2}{3}=\frac{-2}{3}}\text{:}$ la fiecare $3$ unități spre dreapta, dreapta coboară $2$ unități. Din $(0, 4)$ ne deplasăm $3$ unități spre dreapta și $2$ unități în jos și ajungem în punctul $(3, 2);$ un alt pas la fel ne duce în $(6, 0).$ Trasăm dreapta care trece prin aceste puncte.

Exemplul 10. Scrie ecuația dreptei care trece prin punctul $(4, 1)$ și este a) paralelă cu dreapta ${y=2x-3};$ b) perpendiculară pe ea.

Rezolvare. Dreapta dată are panta $2.$

a) O dreaptă paralelă are aceeași pantă, $2\text{:}$ ${y-1=2(x-4)},$ de unde ${y=2x-7}.$

b) O dreaptă perpendiculară are panta $-\frac{1}{2},$ deoarece ${2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1}.$ Ecuația ei este ${y-1=-\frac{1}{2}(x-4)},$ adică ${y=-\frac{1}{2}x+3}.$

Panta în viața reală

Drumuri. Un indicator cu $8\%$ la marginea drumului arată că drumul urcă (sau coboară) $8$ metri la fiecare $100$ metri de distanță orizontală. Panta unui drum se dă sub formă de procent: ${\frac{8}{100}=0{,}08=8\%}.$ Unghiul de înclinare al unui astfel de drum este mic: ${\operatorname{arctg}0{,}08\approx4{,}6^\circ}.$

O pantă de $100\%$ nu este un zid vertical: este panta $1,$ care corespunde unui unghi de $45^\circ.$

Viteza. Dacă reprezentăm distanța parcursă în funcție de timp, panta graficului este viteza. O mașină care se mișcă cu viteză constantă și parcurge $150$ km în $3$ ore dă o dreaptă care trece prin punctele $(0, 0)$ și $(3, 150).$ Panta ei este ${\frac{150-0}{3-0}=50}\text{:}$ viteza este de $50$ km/h.

Exerciții

1. Află panta dreptei care trece prin punctele: a) $(1, 2)$ și $(5, 10);$ b) $(-3, 4)$ și $(1, -4);$ c) $(0, -5)$ și $(6, -5);$ d) $(2, -1)$ și $(2, 7).$

Răspuns

a) $m=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2.$

b) ${m}={\frac{-4-4}{1-(-3)}}={\frac{-8}{4}}={-2.}$

c) $m=\frac{-5-(-5)}{6-0}=\frac{0}{6}=0.$

d) Panta nu este definită: este dreapta verticală ${x=2}.$

2. O dreaptă cu panta $\frac{3}{4}$ trece prin punctul $(2, 1).$ Află coordonata $y$ a punctului acestei drepte în care ${x=10}.$

Răspuns

Variația lui $x$ este ${10-2=8},$ deci variația lui $y$ este ${\frac{3}{4}\cdot8=6}$ și, prin urmare, ${y=1+6=7}.$

3. Se află cele trei puncte pe aceeași dreaptă? a) $(0, -1),$ $(2, 3)$ și $(5, 9);$ b) $(1, 1),$ $(3, 4)$ și $(7, 9).$

Răspuns

a) Da: ${\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac{4}{2}=2}$ și ${\frac{9-3}{5-2}=\frac{6}{3}=2}.$

b) Nu: ${\frac{4-1}{3-1}=\frac{3}{2}},$ dar ${\frac{9-4}{7-3}=\frac{5}{4}}.$

4. Află unghiul de înclinare al unei drepte cu panta a) $\sqrt{3};$ b) $-\frac{\sqrt{3}}{3};$ c) $0.$

Răspuns

a) $60^\circ;$ b) $150^\circ;$ c) $0^\circ.$

5. O dreaptă trece prin punctul $(0, 2)$ și unghiul ei de înclinare este de $135^\circ.$ Scrie ecuația ei.

Răspuns

${m=\operatorname{tg}135^\circ=-1}$ iar ordonata la origine este $2,$ deci ${y=-x+2}.$

6. Scrie, în forma pantă-ordonată la origine, ecuația dreptei care trece prin punctul $(-1, 4)$ și are panta $-3.$

Răspuns

${y-4=-3(x+1)},$ de unde ${y=-3x+1}.$

7. Scrie ecuația dreptei care trece prin punctele $(2, -1)$ și $(6, 7).$

Răspuns

${m=\frac{7-(-1)}{6-2}=\frac{8}{4}=2}.$ Atunci ${y+1=2(x-2)},$ de unde ${y=2x-5}.$

8. Află panta și ordonata la origine a dreptei ${4x-2y+10=0}.$

Răspuns

${2y=4x+10},$ de unde ${y=2x+5}.$ Panta este $2$ iar ordonata la origine este $5.$

9. Sunt cele două drepte paralele, perpendiculare sau nici una, nici alta? a) ${y=3x-1}$ și ${6x-2y+5=0};$ b) ${y=\frac{2}{5}x+1}$ și ${5x+2y=4};$ c) ${y=2x}$ și ${y=-2x+3}.$

Răspuns

a) Paralele: a doua dreaptă este ${y=3x+\frac{5}{2}}.$ Ambele pante sunt $3,$ iar ordonatele la origine $-1$ și $\frac{5}{2}$ sunt diferite, deci sunt două drepte distincte.

b) Perpendiculare: a doua dreaptă este ${y=-\frac{5}{2}x+2},$ și ${\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-1}.$

c) Nici una, nici alta: pantele $2$ și $-2$ nu sunt egale, iar produsul lor este ${2\cdot(-2)=-4}.$

10. Scrie ecuația dreptei care trece prin punctul $(3, -2)$ și este perpendiculară pe dreapta ${y=\frac{3}{4}x+1}.$

Răspuns

Panta este $-\frac{4}{3}.$ Atunci ${y+2=-\frac{4}{3}(x-3)},$ de unde ${y=-\frac{4}{3}x+2}.$

11. Demonstrează că triunghiul cu vârfurile $A(1, 1),$ $B(5, 3)$ și $C(3, 7)$ este dreptunghic.

Răspuns

Panta lui $AB$ este ${\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}},$ iar a lui $BC$ este ${\frac{7-3}{3-5}=\frac{4}{-2}=-2}.$ Deoarece ${\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1},$ laturile $AB$ și $BC$ sunt perpendiculare: unghiul din $B$ este drept.

12. O rampă pentru scaune cu rotile urcă $1$ metru la fiecare $12$ metri de distanță orizontală. Exprimă panta ei în procente și află unghiul ei de înclinare. Rotunjește ambele rezultate la o zecimală.

Răspuns

Panta este ${\frac{1}{12}\approx0{,}083=8{,}3\%}.$ Unghiul de înclinare este ${\operatorname{arctg}\frac{1}{12}\approx4{,}8^\circ}.$

Vezi și: Trigonometrie