Inecuații de gradul al doilea

Calculator pentru inecuații de gradul al doilea

Scrie coeficienții $a,$ $b,$ $c$ și alege semnul inegalității. Coeficienții pot fi numere întregi, zecimale (de exemplu, 0,5) sau fracții (de exemplu, 1/3). O casetă goală la $b$ sau $c$ înseamnă 0. Calculatorul află rădăcinile, îți spune unde se află parabola deasupra sau sub axa $x$ și scrie mulțimea soluțiilor. Dacă ${a=0,}$ rezolvă inecuația liniară ${bx+c\gt 0}$ (sau pe cea care corespunde semnului ales).

Ce este o inecuație de gradul al doilea?

Inecuațiile de gradul al doilea se mai numesc și inegalități de gradul al doilea. A rezolva o inecuație înseamnă a afla toate valorile lui $x$ care o verifică. Împreună ele formează mulțimea soluțiilor. O ecuație de gradul al doilea are cel mult două rădăcini, dar o inecuație de gradul al doilea are de obicei infinit de multe soluții: un întreg interval sau două semidrepte ale axei numerelor.

De exemplu, ${x=1}$ este o soluție a inecuației ${x^2-\frac12\gt 0,}$ pentru că ${1^2-\frac12=\frac12}$ și ${\frac12\gt 0}$ este adevărat. Numărul ${x=0}$ nu este soluție: ${0^2-\frac12=-\frac12,}$ și ${-\frac12\gt 0}$ este fals.

Înainte de a rezolva, mută toți termenii într-un singur membru, astfel încât celălalt membru să fie 0. De exemplu, ${2x^2+5x\ge 3}$ devine ${2x^2+5x-3\ge 0}$ (aici ${a=2,}$ ${b=5,}$ ${c=-3}$), iar ${x^2\lt 4}$ devine ${x^2-4\lt 0}$ (aici ${a=1,}$ ${b=0,}$ ${c=-4}$).

Pe această pagină: Calculator · Ideea principală · Pașii · Trei cazuri · Exemple · Metoda intervalelor · Sisteme · Probleme cu text · Cu parametru · Exersare

Ideea principală: privește parabola

Graficul lui ${y=ax^2+bx+c}$ este o parabolă. Pentru fiecare $x,$ valoarea lui ${ax^2+bx+c}$ este ordonata (coordonata $y$) punctului de pe grafic, deci

• ${ax^2+bx+c\gt 0}$ acolo unde parabola se află deasupra axei $x;$
• ${ax^2+bx+c\lt 0}$ acolo unde parabola se află sub axa $x;$
• ${ax^2+bx+c=0}$ acolo unde parabola intersectează sau atinge axa $x,$ adică în rădăcini.

Așadar, pentru a rezolva o inecuație de gradul al doilea este suficient să citim un desen. Să luăm ${y=x^2-x-6.}$ Rădăcinile lui ${x^2-x-6=0}$ sunt ${x_1=-2}$ și ${x_2=3,}$ pentru că ${x^2-x-6}={{(x+2)}{(x-3)}.}$ Coeficientul ${a=1}$ este pozitiv, deci parabola este deschisă în sus.

Parabola se află sub axa $x$ între rădăcini și deasupra ei în afara acestui interval. Prin urmare,

• ${x^2-x-6\lt 0}$ pentru ${-2\lt x\lt 3;}$
• ${x^2-x-6\gt 0}$ pentru ${x\lt -2}$ și pentru ${x\gt 3;}$
• ${x^2-x-6\le 0}$ pentru ${-2\le x\le 3,}$ și ${x^2-x-6\ge 0}$ pentru ${x\le -2}$ și pentru ${x\ge 3}$ (la ${\le}$ și ${\ge}$ rădăcinile sunt și ele soluții).

Verifică un număr din fiecare parte: ${x=-3}$ dă ${9+3-6=6\gt 0,}$ ${x=0}$ dă ${-6\lt 0,}$ iar ${x=4}$ dă ${16-4-6=6\gt 0.}$

Răspunsul depinde doar de două lucruri: unde intersectează sau atinge parabola axa $x$ (rădăcinile) și încotro este deschisă (semnul lui $a$). Vârful, punctul de intersecție cu axa $y$ și forma exactă nu contează, deci este suficientă o schiță aproximativă.

Cum rezolvăm o inecuație de gradul al doilea

1. Mută toți termenii în primul membru, astfel încât inecuația să aibă forma ${ax^2+bx+c\gt 0}$ (sau aceeași cu ${\lt,}$ ${\ge}$ sau ${\le}$).
2. Rezolvă ecuația ${ax^2+bx+c=0}\text{:}$ prin descompunere în factori sau cu discriminantul ${D=b^2-4ac}$ și formula generală ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.}$ Dacă ${D\lt 0,}$ nu există rădăcini reale și parabola nu intersectează axa $x;$ dacă ${D=0,}$ atinge axa într-un singur punct (vezi cele trei cazuri mai jos).
3. Fă o schiță a parabolei: trece prin rădăcinile de pe axa $x$ și este deschisă în sus dacă ${a\gt 0}$ și în jos dacă ${a\lt 0.}$
4. Citește răspunsul din schiță: pentru ${\gt 0}$ și ${\ge 0}$ ia valorile lui $x$ pentru care parabola se află deasupra axei; pentru ${\lt 0}$ și ${\le 0}$ ia pe cele pentru care se află sub axă.
5. Decide ce se întâmplă cu rădăcinile: la ${\ge}$ și ${\le}$ ele aparțin răspunsului (paranteze drepte); la semnele stricte ${\gt}$ și ${\lt}$ nu aparțin (paranteze rotunde). Scrie răspunsul în notația cu intervale; ${-\infty}$ și ${+\infty}$ au întotdeauna paranteze rotunde.

Dacă ${a\gt 0}$ și rădăcinile sunt ${x_1\lt x_2,}$ atunci ${ax^2+bx+c\lt 0}$ între rădăcini și ${ax^2+bx+c\gt 0}$ în afara intervalului dintre rădăcini.

Trei cazuri: D > 0, D = 0 și D < 0

Discriminantul ${D=b^2-4ac}$ ne spune câte puncte comune are parabola cu axa $x\text{:}$ două dacă ${D\gt 0,}$ unul (parabola atinge axa) dacă ${D=0,}$ și niciunul dacă ${D\lt 0.}$ Iată cele șase desene posibile. Părțile parabolei care se află deasupra axei $x$ apar în verde, iar cele aflate sub ea, în roșu.

Dacă ${a\gt 0}$, parabola este deschisă în sus:

Dacă ${a\lt 0}$, parabola este deschisă în jos:

Desenele pentru ${a\gt 0}$ sunt rezumate în tabelul următor. Aici ${x_1\lt x_2}$ sunt cele două rădăcini când ${D\gt 0,}$ iar ${x_0=-\frac{b}{2a}}$ este unica rădăcină când ${D=0.}$

Inecuația	${D\gt 0}$	${D=0}$	${D\lt 0}$
${ax^2+bx+c\gt 0}$	${(-\infty,\ x_1)}\cup{(x_2,\ +\infty)}$	${(-\infty,\ x_0)}\cup{(x_0,\ +\infty)}$	$\mathbb{R}$
${ax^2+bx+c\ge 0}$	${(-\infty,\ x_1]}\cup{[x_2,\ +\infty)}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
${ax^2+bx+c\lt 0}$	$(x_1,\ x_2)$	nu are soluții	nu are soluții
${ax^2+bx+c\le 0}$	$[x_1,\ x_2]$	doar ${x=x_0}$	nu are soluții

$\mathbb{R}$ este mulțimea tuturor numerelor reale, ${(-\infty,\ +\infty).}$ „Nu are soluții” înseamnă că mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă: $\varnothing.$

Când ${a\lt 0,}$ totul se inversează. Dacă ${D\gt 0,}$ atunci ${ax^2+bx+c\gt 0}$ între rădăcini și ${ax^2+bx+c\lt 0}$ în afara intervalului dintre ele. Dacă ${D=0,}$ expresia este negativă peste tot, în afară de $x_0,$ unde este 0. Dacă ${D\lt 0,}$ este negativă pentru orice $x.$ Nu trebuie să înveți un al doilea tabel. Înmulțește inecuația cu ${-1}$ și inversează sensul inegalității; astfel coeficientul dominant $a$ (coeficientul lui $x^2$) devine pozitiv. De exemplu, ${-x^2+4x-3\gt 0}$ are aceleași soluții ca ${x^2-4x+3\lt 0.}$

Exemple rezolvate

În schițe, partea parabolei care corespunde soluțiilor și răspunsul de pe axa $x$ sunt portocalii. Pe o axă a numerelor, răspunsul este albastru.

Exemplul 1: în afara rădăcinilor

Rezolvă inecuația ${x^2+3x-10\gt 0.}$

Mai întâi rezolvă ecuația ${x^2+3x-10=0}\text{:}$

${D}={3^2-4\cdot 1\cdot(-10)}={9+40}={49,}$   ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2},}$   ${x_1=-5,}$   ${x_2=2}$

Coeficientul ${a=1}$ este pozitiv, deci parabola este deschisă în sus. Se află deasupra axei $x$ la stânga lui ${-5}$ și la dreapta lui $2.$ Inecuația este strictă, deci rădăcinile nu sunt soluții: în ${x=-5}$ și în ${x=2}$ primul membru este 0, iar ${0\gt 0}$ este fals.

Răspuns: ${x\lt -5}$ sau ${x\gt 2,}$ adică $x\in{(-\infty,\ -5)}\cup{(2,\ +\infty)}.$

Exemplul 2: rădăcini incluse

Rezolvă inecuația ${x^2+5x-6\ge 0.}$

Rezolvă ${x^2+5x-6=0}\text{:}$ ${D=25+24=49}$ și ${x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2},}$ deci ${x_1=-6}$ și ${x_2=1.}$ (Relațiile lui Viète dau același rezultat: produsul rădăcinilor este ${-6}$ iar suma lor este ${-5.}$)

Parabola este deschisă în sus și se află deasupra axei în afara intervalului dintre rădăcini. Semnul este ${\ge,}$ deci și rădăcinile sunt soluții: în ele primul membru este 0, iar ${0\ge 0}$ este adevărat. Pe axa numerelor, rădăcinile se marchează cu puncte pline.

Răspuns: $x\in{(-\infty,\ -6]}\cup{[1,\ +\infty)}.$

Exemplul 3: între rădăcini

Rezolvă inecuația ${x^2-6x+8\le 0.}$

${D=36-32=4}$ și ${x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2},}$ deci ${x_1=2}$ și ${x_2=4.}$ Parabola este deschisă în sus, deci se află sub axa $x$ între rădăcini. La ${\le}$ rădăcinile sunt incluse.

Răspuns: ${2\le x\le 4,}$ adică $x\in[2,\ 4].$

Inecuația strictă ${x^2-6x+8\lt 0}$ are ca răspuns $(2,\ 4)\text{:}$ același interval fără capete.

Exemplul 4: coeficient dominant negativ

Rezolvă inecuația ${-x^2-7x+8\lt 0.}$

Aici ${a=-1\lt 0.}$ Înmulțește ambii membri cu ${-1}$ și inversează sensul inegalității:

${x^2+7x-8\gt 0}$

Rădăcinile lui ${x^2+7x-8=0}$ sunt ${x_1=-8}$ și ${x_2=1}$ (${D=49+32=81}$ și ${x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2}}$). Parabola ${y=x^2+7x-8}$ este deschisă în sus, iar noi avem nevoie de părțile aflate deasupra axei, în afara intervalului dintre rădăcini.

Răspuns: $x\in{(-\infty,\ -8)}\cup{(1,\ +\infty)}.$

Graficul primului membru, ${y=-x^2-7x+8,}$ dă același răspuns. Este deschis în jos, intersectează axa $x$ în ${-8}$ și în $1,$ și se află sub axă în afara intervalului dintre rădăcini.

Exemplul 5: o singură rădăcină (D = 0)

Rezolvă inecuațiile a) ${x^2-2x+1\ge 0;}$ b) ${x^2-2x+1\gt 0;}$ c) ${x^2-2x+1\le 0;}$ d) ${x^2-2x+1\lt 0.}$

Aici ${D}={{(-2)}^2-4\cdot 1\cdot 1}={0,}$ și unica rădăcină este ${x_0=\frac{2}{2}=1.}$ De fapt, $x^2-2x+1={(x-1)}^2.$ Parabola atinge axa $x$ în ${x=1}$ și se află deasupra ei în toate celelalte puncte.

• a) Un pătrat nu este niciodată negativ: ${(x-1)^2\ge 0}$ pentru orice $x.$ Răspuns: $x\in\mathbb{R}.$
• b) ${(x-1)^2\gt 0}$ pentru orice $x$ în afară de ${x=1,}$ unde este 0. Răspuns: $x\in{(-\infty,\ 1)}\cup{(1,\ +\infty)},$ adică ${x\ne 1.}$
• c) ${(x-1)^2}$ nu poate fi negativ, deci trebuie să fie 0. Răspuns: ${x=1.}$
• d) ${(x-1)^2\lt 0}$ nu este adevărată niciodată. Răspuns: nu are soluții.

Exemplul 6: fără rădăcini (D < 0)

Rezolvă inecuațiile a) ${x^2+1\gt 0;}$ b) ${x^2-2x+3\gt 0;}$ c) ${x^2-2x+3\le 0.}$

a) Deoarece ${x^2\ge 0,}$ obținem ${x^2+1\ge 1\gt 0}$ pentru orice $x.$ (În plus, ${D=-4\lt 0}$ și ${a\gt 0.}$) Răspuns: $x\in\mathbb{R}.$

b) $D=4-12=-8\lt 0,$ deci parabola nu intersectează axa $x.$ Fiind deschisă în sus, se află toată deasupra axei. Prin completarea pătratului se vede același lucru: ${x^2-2x+3}={{(x-1)}^2+2}\ge{2.}$ Răspuns: $x\in\mathbb{R}.$

c) Primul membru este întotdeauna pozitiv, deci nu este niciodată mai mic sau egal cu 0. Răspuns: nu are soluții.

Exemplul 7: rădăcini iraționale

Rezolvă inecuația ${x^2-4x+1\lt 0.}$

${D=16-4=12,}$   ${\sqrt{D}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},}$   $x_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$

Parabola este deschisă în sus și se află sub axă între rădăcinile ${2-\sqrt{3}\approx 0{,}27}$ și ${2+\sqrt{3}\approx 3{,}73.}$

Răspuns: $x\in(2-\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3}).$ Lasă numerele exacte în răspuns; zecimalele servesc doar pentru a desena schița.

Exemplul 8: inecuații incomplete

Într-o inecuație de gradul al doilea incompletă, ${b=0}$ sau ${c=0.}$ Rezolvă inecuațiile a) ${x^2\le 9;}$ b) ${x^2\gt 5x.}$

a) Scrie inecuația ca ${x^2-9\le 0,}$ adică ${(x-3)}{(x+3)}\le 0.$ Rădăcinile sunt ${-3}$ și $3,$ parabola ${y=x^2-9}$ este deschisă în sus, iar noi avem nevoie de partea aflată sub axă, împreună cu rădăcinile. Răspuns: ${x\in[-3,\ 3].}$

Extragerea rădăcinii pătrate din ambii membri nu dă ${x\le 3.}$ De exemplu, ${x=-5}$ verifică ${x\le 3,}$ dar ${(-5)^2=25\gt 9.}$ Pasul corect este ${x^2}\le{9 \iff \lvert x\rvert}\le{3 \iff -3}\le{x}\le{3.}$

b) Mută $5x$ în primul membru și descompune în factori: ${x^2-5x\gt 0,}$ adică ${x(x-5)\gt 0.}$ Rădăcinile sunt $0$ și $5,$ iar parabola este deschisă în sus. Răspuns: $x\in{(-\infty,\ 0)}\cup{(5,\ +\infty)}.$

Nu împărți ambii membri la $x\text{:}$ nu îi cunoaștem semnul. Prin împărțire am obține ${x\gt 5}$ și am pierde toate soluțiile negative, ca ${x=-1}\text{:}$ ${(-1)^2=1}$ și ${5\cdot(-1)=-5,}$ deci ${1\gt -5.}$

Exemplul 9: mută totul într-un membru

Rezolvă inecuația ${2x^2+3\le 7x.}$

${2x^2-7x+3\le 0}$ scădem $7x$ din ambii membri

${D=49-24=25,}$   ${x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4},}$   ${x_1=\frac12,}$   ${x_2=3}$

Parabola ${y=2x^2-7x+3}$ este deschisă în sus; avem nevoie de partea aflată sub axă și de rădăcini. Răspuns: $x\in\left[\frac12,\ 3\right].$

Exemplul 10: al doilea membru nu este zero

Rezolvă inecuația ${(x+2)}{(x-4)}\gt 7.$

Al doilea membru nu este 0, deci numerele ${-2}$ și $4$ nu sunt capetele răspunsului. Desfă produsul și mută 7 în primul membru:

${x^2-2x-8\gt 7,}$   ${x^2-2x-15\gt 0,}$   ${(x+3)(x-5)\gt 0}$

Rădăcinile sunt ${-3}$ și $5,$ iar parabola este deschisă în sus. Răspuns: $x\in{(-\infty,\ -3)}\cup{(5,\ +\infty)}.$

Verificare: ${x=6}$ se află în răspuns, iar ${(6+2)}{(6-4)}=16\gt 7.$ Numărul ${x=0}$ nu se află în răspuns și, într-adevăr, ${(0+2)}{(0-4)}=-8,$ iar ${-8\gt 7}$ este fals.

Metoda intervalelor

Un alt mod de a rezolva o inecuație de gradul al doilea folosește forma descompusă în factori. Dacă ${D\gt 0}$ și ${x_1\lt x_2}$ sunt rădăcinile, atunci

${ax^2+bx+c}={a(x-x_1){(x-x_2)}}$

Rădăcinile împart axa numerelor în trei intervale. În interiorul fiecărui interval niciun factor nu își schimbă semnul (${x-x_1}$ își schimbă semnul doar în $x_1,$ iar ${x-x_2}$ doar în $x_2$), deci produsul își păstrează semnul, și este suficient să încercăm un număr în fiecare interval. Schema semnelor de pe axa numerelor se numește tabel de semne.

Exemplul 1. Rezolvă inecuația ${(x+5)}{(x-2)}\gt 0.$

Rădăcinile sunt ${-5}$ și $2.$ Încearcă un număr în fiecare interval:

• ${x=-6}\text{:}$ ${(-1)}\cdot(-8)=8\gt 0,$ semnul este ${+;}$
• ${x=0}\text{:}$ $5\cdot(-2)=-10\lt 0,$ semnul este ${-;}$
• ${x=3}\text{:}$ ${8\cdot 1=8\gt 0,}$ semnul este ${+.}$

Avem nevoie de intervalele cu semnul ${+.}$ Răspuns: $x\in{(-\infty,\ -5)}\cup{(2,\ +\infty)},$ același ca în exemplul 1 de mai sus, pentru că ${{(x+5)}{(x-2)}}={x^2+3x-10.}$

Pentru ${a\gt 0}$ semnele, de la stânga la dreapta, sunt întotdeauna ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$ Pentru ${a\lt 0}$ sunt ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$

Exemplul 2. Rezolvă inecuația ${(3-x)}{(x+1)}\ge 0.$

Factorii sunt 0 în ${x=3}$ și în ${x=-1.}$ Încearcă un număr în fiecare interval:

• ${x=-2}\text{:}$ $5\cdot(-1)=-5\lt 0,$ semnul este ${-;}$
• ${x=0}\text{:}$ ${3\cdot 1=3\gt 0,}$ semnul este ${+;}$
• ${x=4}\text{:}$ ${(-1)}\cdot 5=-5\lt 0,$ semnul este ${-.}$

Semnele sunt ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ așa cum se cuvine pentru un coeficient dominant negativ: prin desfacerea produsului se obține ${-x^2+2x+3.}$ Avem nevoie de intervalul cu semnul ${+}$ și, deoarece semnul este ${\ge,}$ și de capetele lui. Răspuns: ${x\in[-1,\ 3].}$

Metoda intervalelor se folosește și pentru produse cu mai mulți factori și pentru fracții: vezi Inecuații polinomiale și raționale.

Sisteme, duble inegalități și domenii

Exemplul 1. Rezolvă sistemul de inecuații

$$\begin{cases} x^2-4x-5\le 0 \\ x^2\gt 4 \end{cases}$$

Rezolvă fiecare inecuație separat:

• ${x^2-4x-5\le 0}\text{:}$ rădăcinile sunt ${-1}$ și $5$ (${D=16+20=36}$), deci ${x\in[-1,\ 5];}$
• ${x^2\gt 4,}$ adică ${x^2-4\gt 0}\text{:}$ rădăcinile sunt ${-2}$ și $2,$ deci $x\in{(-\infty,\ -2)}\cup{(2,\ +\infty)}.$

O soluție a sistemului trebuie să verifice ambele inecuații, deci luăm partea comună a celor două mulțimi (intersecția lor, care se scrie $\cap;$ vezi inecuații compuse).

Răspuns: $x\in(2,\ 5].$

Exemplul 2. Rezolvă dubla inegalitate ${-3\lt x^2-4x\le 5.}$

O dublă inegalitate este un sistem de două inecuații:

• ${x^2-4x\gt -3,}$ adică ${x^2-4x+3\gt 0}\text{:}$ rădăcinile sunt $1$ și $3,$ deci ${x\lt 1}$ sau ${x\gt 3;}$
• ${x^2-4x\le 5,}$ adică ${x^2-4x-5\le 0}\text{:}$ rădăcinile sunt ${-1}$ și $5,$ deci ${-1\le x\le 5.}$

Partea comună este ${-1\le x\lt 1}$ împreună cu ${3\lt x\le 5.}$ Răspuns: $x\in{[-1,\ 1)}\cup{(3,\ 5]}.$

Exemplul 3. Află domeniul de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{6+x-x^2}.$

Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită, deci avem nevoie de ${6+x-x^2\ge 0.}$ Înmulțește cu ${-1}$ și inversează sensul: ${x^2-x-6\le 0.}$ Este parabola de la începutul lecției, cu rădăcinile ${-2}$ și $3.$ Răspuns: domeniul de definiție este ${[-2,\ 3].}$

Probleme cu text

Problema 1. O minge este aruncată vertical în sus. După $t$ secunde, înălțimea ei este ${h=20t-5t^2}$ metri. Cât timp se află mingea la o înălțime mai mare de 15 m?

Rezolvare. Avem nevoie de ${20t-5t^2\gt 15.}$ Mută 15 în primul membru, împarte la ${-5}$ și inversează sensul:

$-5t^2+20t-15\gt 0,$   ${t^2-4t+3\lt 0,}$   ${(t-1)(t-3)\lt 0}$

Prin urmare, ${1\lt t\lt 3}\text{:}$ mingea se află la o înălțime de peste 15 m de la sfârșitul primei secunde până la sfârșitul celei de-a treia. (Mingea este în aer cât timp ${h\ge 0,}$ adică pentru ${0\le t\le 4,}$ iar ${1\lt t\lt 3}$ se află în acest interval.) Răspuns: timp de 2 secunde.

Problema 2. Perimetrul unui dreptunghi este de 20 m. Cât pot fi laturile lui dacă aria trebuie să fie de cel puțin 21 m²?

Rezolvare. Fie $x$ m lungimea unei laturi. Semiperimetrul este de 10 m, deci cealaltă latură are ${10-x}$ m, cu ${0\lt x\lt 10.}$ Aria este ${x(10-x),}$ astfel că

${x(10-x)\ge 21,}$   $-x^2+10x-21\ge 0,$   ${x^2-10x+21\le 0,}$   ${(x-3)(x-7)\le 0}$

Prin urmare, ${3\le x\le 7}$ (acesta se află în ${0\lt x\lt 10}$), iar atunci și cealaltă latură ${10-x}$ are între 3 m și 7 m. Răspuns: fiecare latură trebuie să aibă cel puțin 3 m și cel mult 7 m.

Inecuații de gradul al doilea cu parametru

Problema 1. Pentru ce valori ale lui $m$ este adevărată inecuația ${x^2+mx+4\gt 0}$ pentru orice număr real $x?$

Rezolvare. Parabola ${y=x^2+mx+4}$ este deschisă în sus (${a=1\gt 0}$). Se află toată deasupra axei $x$ dacă și numai dacă nu are niciun punct comun cu axa, adică dacă ${D\lt 0}\text{:}$

${D=m^2-16\lt 0,}$   ${(m-4)}{(m+4)}\lt 0,$   ${-4\lt m\lt 4}$

Răspuns: ${m\in(-4,\ 4).}$ Pentru ${m=4}$ inecuația este ${(x+2)^2\gt 0,}$ care este falsă pentru ${x=-2,}$ iar pentru ${m=-4}$ este ${(x-2)^2\gt 0,}$ care este falsă pentru ${x=2}\text{:}$ de aceea capetele nu sunt incluse.

Problema 2. Pentru ce valori ale lui $k$ are ecuația $x^2-2kx+k+6=0$ două rădăcini reale distincte?

Rezolvare. Avem nevoie de ${D\gt 0}\text{:}$

${D}={{(-2k)}^2-4{(k+6)}}={4k^2-4k-24}\gt{0,}$   ${k^2-k-6\gt 0,}$   ${(k-3)(k+2)\gt 0}$

Răspuns: ${k\lt -2}$ sau ${k\gt 3,}$ adică $k\in{(-\infty,\ -2)}\cup{(3,\ +\infty)}.$

Problema 3. Pentru ce valori ale lui $p$ este adevărată inecuația ${px^2-4x+p\lt 0}$ pentru orice număr real $x?$

Rezolvare. Dacă ${p=0,}$ inecuația este ${-4x\lt 0.}$ Este falsă pentru ${x=-1,}$ deci ${p=0}$ nu convine. Dacă ${p\ne 0,}$ primul membru este un polinom de gradul al doilea, iar conform chenarului de mai sus avem nevoie de ${p\lt 0}$ și ${D\lt 0}\text{:}$

${D=16-4p^2\lt 0,}$   ${p^2\gt 4,}$   ${p\lt -2}$ sau ${p\gt 2}$

Împreună cu ${p\lt 0}$ se obține ${p\lt -2.}$ Răspuns: ${p\in(-\infty,\ -2).}$

Probleme pentru exersat

Încearcă să le rezolvi singur, apoi deschide răspunsul.

1. Rezolvă inecuația ${x^2-9\lt 0.}$

${(x-3)}{(x+3)}\lt 0,$ rădăcinile sunt ${\pm 3.}$ Răspuns: ${x\in(-3,\ 3).}$

2. Rezolvă inecuația ${x^2-7x+10\ge 0.}$

Rădăcinile sunt $2$ și $5.$ Răspuns: $x\in{(-\infty,\ 2]}\cup{[5,\ +\infty)}.$

3. Rezolvă inecuația ${x^2+x-12\lt 0.}$

${(x+4)}{(x-3)}\lt 0.$ Răspuns: ${x\in(-4,\ 3).}$

4. Rezolvă inecuația ${-x^2+2x+8\gt 0.}$

Înmulțește cu ${-1}$ și inversează sensul: ${x^2-2x-8\lt 0,}$ adică ${(x-4)}{(x+2)}\lt 0.$ Răspuns: ${x\in(-2,\ 4).}$

5. Rezolvă inecuația ${x^2+6x+9\gt 0.}$

${(x+3)^2\gt 0}$ pentru orice $x$ în afară de ${-3.}$ Răspuns: $x\in{(-\infty,\ -3)}\cup{(-3,\ +\infty)}.$

6. Rezolvă inecuația ${x^2+6x+9\le 0.}$

${(x+3)^2\le 0}$ doar când ${(x+3)^2=0.}$ Răspuns: ${x=-3.}$

7. Rezolvă inecuația ${x^2-x+1\lt 0.}$

${D=1-4=-3\lt 0}$ și ${a\gt 0,}$ deci primul membru este pozitiv pentru orice $x.$ Răspuns: nu are soluții.

8. Rezolvă inecuația ${3x^2-5x-2\le 0.}$

${D=25+24=49,}$ ${x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6},}$ ${x_1=-\frac13,}$ ${x_2=2.}$ Răspuns: ${x\in\left[-\frac13,\ 2\right].}$

9. Rezolvă inecuația ${x^2\ge 2x.}$

${x^2-2x\ge 0,}$ adică ${x(x-2)\ge 0.}$ Răspuns: $x\in{(-\infty,\ 0]}\cup{[2,\ +\infty)}.$

10. Rezolvă inecuația ${x^2-2x-1\gt 0.}$

${D=4+4=8,}$ ${\sqrt{D}=2\sqrt{2},}$ $x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}.$ Răspuns: $x\in{(-\infty,\ 1-\sqrt{2})}\cup{(1+\sqrt{2},\ +\infty)}.$

11. Rezolvă inecuația ${(x-1)}{(x+3)}\le 5.$

${x^2+2x-3\le 5,}$ adică ${x^2+2x-8\le 0}$ și ${(x+4)}{(x-2)}\le 0.$ Răspuns: ${x\in[-4,\ 2].}$

12. Află domeniul de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{x^2-5x+4}.$

Avem nevoie de ${x^2-5x+4\ge 0,}$ adică ${(x-1)}{(x-4)}\ge 0.$ Răspuns: domeniul de definiție este ${(-\infty,\ 1]}\cup{[4,\ +\infty)}.$

13. Rezolvă sistemul de inecuații ${x^2-1\gt 0}$ și ${x^2-9\le 0.}$

Prima dă ${x\lt -1}$ sau ${x\gt 1,}$ iar a doua, ${-3\le x\le 3.}$ Răspuns: $x\in{[-3,\ -1)}\cup{(1,\ 3]}.$

14. Pentru ce valori ale lui $m$ este adevărată inecuația ${x^2-4x+m\gt 0}$ pentru orice număr real $x?$

Avem nevoie de ${D=16-4m\lt 0,}$ adică ${m\gt 4.}$ Răspuns: ${m\in(4,\ +\infty).}$

15. Înălțimea unei mingi este ${h=30t-5t^2}$ metri după $t$ secunde. Cât timp se află la o înălțime de cel puțin 40 m?

${30t-5t^2\ge 40.}$ Mută 40 în primul membru, împarte la ${-5}$ și inversează sensul: ${t^2-6t+8\le 0,}$ adică ${(t-2)}{(t-4)}\le 0,$ deci ${2\le t\le 4.}$ Răspuns: timp de 2 secunde.

16. Rezolvă inecuația ${-x^2+2x-3\lt 0.}$

Înmulțește cu ${-1}$ și inversează sensul: ${x^2-2x+3\gt 0.}$ Aici $D=4-12=-8\lt 0$ și ${a\gt 0,}$ deci primul membru este pozitiv pentru orice $x.$ Răspuns: $x\in\mathbb{R}.$

17. Câte numere întregi verifică inecuația ${x^2-x-6\le 0}?$

Rădăcinile sunt ${-2}$ și $3,$ deci ${x\in[-2,\ 3].}$ Numerele întregi ${-2,}$ ${-1,}$ $0,$ $1,$ $2,$ $3$ aparțin acestui interval. Răspuns: 6 numere întregi.

18. Pentru ce valori ale lui $m$ este adevărată inecuația ${x^2-4x+m\ge 0}$ pentru orice număr real $x?$

Avem nevoie de ${D=16-4m\le 0,}$ adică ${m\ge 4.}$ Compară cu problema 14: pentru ${m=4}$ obținem ${(x-2)^2\ge 0,}$ care este adevărată pentru orice $x.$ Răspuns: ${m\in[4,\ +\infty).}$

Vezi și: Ecuații de gradul al doilea · Graficul funcției de gradul al doilea · Inecuații liniare · Inecuații polinomiale și raționale