Expresii raționale: monoame, polinoame și fracții algebrice

Expresii ca $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5}$ și $\frac{x+1}{2y+x}$ se formează cu numere și litere (variabile) prin semnele adunării, scăderii, înmulțirii și împărțirii. Se numesc expresii raționale. În această lecție vei afla ce tipuri există (monoame, polinoame și fracții algebrice), cum se calculează valoarea lor și cum se simplifică. Fiecare regulă este însoțită de exemple rezolvate, iar la final sunt probleme de exersare cu răspunsurile lor.

Pe această pagină: Expresii raționale · Valoarea numerică · Valori admisibile · Monoame · Termeni asemenea · Polinoame · Operații cu polinoame · Identități · Fracții algebrice · Simplificarea fracțiilor · Înmulțirea și împărțirea fracțiilor · Adunarea și scăderea fracțiilor · Pentru exersare

Ce este o expresie rațională?

O expresie rațională este formată din numere și variabile legate prin operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la putere cu exponent natural.

Exemple: $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5},$ $\frac{3a+c}{5},$ $\frac{4}{5xy+12},$ $\frac{x+1}{2y+x}.$ Un număr singur, ca $7,$ și o variabilă singură, ca $x,$ sunt, de asemenea, expresii raționale. Expresiile $\sqrt{x}$ (rădăcina unei variabile) și $2^x$ (o variabilă în exponent) nu sunt raționale.

Expresii întregi și fracționare

În primele trei exemple nu se împarte la nicio expresie care conține o variabilă. Aceste expresii se numesc expresii raționale întregi. În ultimele două se împarte la o expresie cu o variabilă; ele se numesc expresii raționale fracționare.

• Întregi: $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5},$ $\frac{3a+c}{5}.$
• Fracționare: $\frac{4}{5xy+12},$ $\frac{x+1}{2y+x}.$

Într-o expresie întreagă se poate împărți la un număr: $\frac{3a+c}{5}$ este același lucru cu ${\frac{1}{5}(3a+c)}.$ Ne putem uita și la o singură variabilă: $\frac{3x+2}{a-1}$ este întreagă în raport cu $x$ (nu există niciun $x$ la numitor), dar fracționară în raport cu $a.$

Valoarea numerică a unei expresii

Dacă înlocuim variabilele cu numere și efectuăm operațiile, obținem un număr. Acest număr se numește valoarea numerică a expresiei pentru acele valori ale variabilelor.

Exemplul 1. Află valoarea lui ${x^2y+2y^2}$ pentru ${x=2}$ și ${y=3}.$

Rezolvare. ${x^2y+2y^2}={2^2\cdot3+2\cdot3^2}={12+18}={{30}.}$

Exemplul 2. Află valoarea lui ${3a^2-a}$ pentru ${a=-2}.$

Rezolvare. Un număr negativ se scrie între paranteze: ${3a^2-a}={3\cdot(-2)^2-(-2)}={12+2}={{14}.}$

Valori admisibile

Nu se poate împărți la zero, deci o expresie fracționară nu are valoare când unul dintre numitorii ei este $0.$ Valorile variabilelor pentru care o expresie are valoare se numesc valorile admisibile ale ei (formează domeniul de definiție al expresiei). O expresie întreagă are valoare pentru orice valori ale variabilelor ei.

Exemplul 3. Pentru ce valori ale lui $x$ are valoare expresia $\frac{x+1}{x-3}?$

Rezolvare. Numitorul este $0$ când ${x-3=0},$ adică pentru ${x=3}.$ Prin urmare, expresia are valoare pentru orice $x$ cu excepția lui $3.$ Scriem așa: ${x\ne3}.$

Exemplul 4. Află valorile admisibile ale lui $\frac{5}{x^2-4x}.$

Rezolvare. ${x^2-4x}={x(x-4)}.$ Acest produs este $0$ pentru ${x=0}$ și pentru ${x=4}.$ Valorile admisibile sunt toate numerele, cu excepția lui $0$ și $4\text{:}$ ${x\ne0},$ ${x\ne4}.$

Monoame

Un monom este un produs de numere, variabile și puteri ale variabilelor cu exponent natural. Un număr singur și o variabilă singură sunt, de asemenea, monoame.

Sunt monoame: $2ab,$ $a^3,$ ${7x^2y^4},$ $-5,$ $x,$ ${\frac{2}{3}m^2n}.$

Nu sunt monoame: ${x+3}$ (o sumă), ${a^2-b}$ (o diferență) și $\frac{2x}{y}$ (se împarte la o variabilă, deci este o expresie fracționară).

Forma redusă, coeficientul și gradul

Un monom este în forma redusă dacă are un singur factor numeric (coeficientul), scris pe primul loc, iar fiecare variabilă apare în el o singură dată, ca putere. Coeficientul $1$ nu se scrie, iar variabilele se scriu de obicei în ordine alfabetică. Pentru a scrie un monom în forma redusă, se înmulțesc numerele și se grupează puterile fiecărei variabile cu regula ${a^m\cdot a^n=a^{m+n}}.$

Exemplul 5. Scrie în forma redusă: a) ${3x\cdot5a\cdot y\cdot x};$ b) ${-2a^2b\cdot4ab^3};$ c) ${14(xy)xy^2}.$

Rezolvare. a) ${3x\cdot5a\cdot y\cdot x}={(3\cdot5)\cdot a\cdot(x\cdot x)\cdot y}={{15ax^2y}.}$

b) ${-2a^2b\cdot4ab^3}={(-2\cdot4)}\cdot {(a^2\cdot a)\cdot(b\cdot b^3)}={{-8a^3b^4}.}$

c) Aici $x$ și $y$ apar de două ori: ${14(xy)xy^2}={14x^2y^3}.$

Într-un monom în forma redusă, factorul numeric este coeficientul lui, iar suma exponenților tuturor variabilelor lui este gradul său.

Monomul	Coeficientul	Gradul
${-8a^3b^4}$	$-8$	${3+4=7}$
${14x^2y^3}$	$14$	${2+3=5}$
${x^2y}$	$1$	${2+1=3}$
${-ab}$	$-1$	${1+1=2}$
$7$	$7$	$0$

Din coeficientul $-1$ se scrie doar semnul minus. Un număr diferit de $0$ este un monom de gradul $0.$

Exemplul 6. Ridică la puterea indicată: a) ${(2x^3)^3};$ b) ${(-3a^2b)^2}.$

Rezolvare. Se ridică fiecare factor la putere, iar ${(a^m)^n=a^{m\cdot n}}\text{:}$ a) ${(2x^3)^3}={2^3\cdot(x^3)^3}={{8x^9};}$ b) ${(-3a^2b)^2}={(-3)^2\cdot(a^2)^2\cdot b^2}={{9a^4b^2}.}$

Termeni asemenea

Monoamele care au aceleași variabile cu aceiași exponenți se numesc termeni asemenea (monoame asemenea). Ele pot diferi doar prin coeficienți. Pentru a compara monoame, scrie-le mai întâi în forma redusă:

• $2a^2$ și $10a^2$ sunt asemenea;
• $5xy$ și $xy$ sunt asemenea;
• $a^3b^2c$ și $20a^2b^2ac$ sunt asemenea, deoarece ${20a^2b^2ac=20a^3b^2c};$
• $2a^2$ și $2a^3$ nu sunt asemenea (exponenții sunt diferiți), și nici $x^2y$ și $xy^2.$ nu sunt asemenea.

Pentru a reduce termenii asemenea, se adună coeficienții lor și se păstrează partea literală.

Exemplul 7. a) ${3x^2-5x^2+8x^2}={(3-5+8)x^2}={{6x^2};}$ b) ${7ab+2ab-ab}={8ab};$ c) ${4x^2+3x-x^2+2x}={{3x^2+5x}.}$

Termenii care nu sunt asemenea nu se pot reduce: ${2x+3y}$ și ${3x^2+5x}$ rămân cum sunt.

Polinoame

Un polinom este o sumă de monoame. Aceste monoame se numesc termenii lui.

Exemple: ${2x+3},$ ${2ab+a^3},$ ${c^2-2xa+93y^2b^5}.$ O diferență este și ea o sumă: termenii lui ${c^2-2xa+93y^2b^5}$ sunt $c^2,$ ${-2ax}$ și ${93b^5y^2}.$ Un polinom cu doi termeni se numește binom, iar unul cu trei termeni, trinom. Un monom este un polinom cu un singur termen.

Forma redusă și gradul unui polinom

Un polinom este în forma redusă dacă fiecare dintre termenii lui este un monom în forma redusă și nu are termeni asemenea. De exemplu, ${5x^2+7x}$ și ${60xy^2+34x-10}$ sunt în forma redusă. Gradul unui polinom în forma redusă este cel mai mare dintre gradele termenilor lui: termenii lui ${60xy^2+34x-10}$ au gradele $3,$ $1$ și $0,$ deci gradul lui este $3.$

Exemplul 8. Scrie ${3x^2+2x-5x^2+4-x}$ în forma redusă și află gradul lui.

Rezolvare. Reducem termenii asemenea: ${3x^2-5x^2=-2x^2}$ și ${2x-x=x}.$ Astfel, ${3x^2+2x-5x^2+4-x}={{-2x^2+x+4},}$ un polinom de gradul $2.$ Termenii se ordonează de obicei de la gradul cel mai mare la cel mai mic.

Operații cu polinoame

Adunarea și scăderea

Apoi se reduc termenii asemenea.

Exemplul 9. Află suma și diferența polinoamelor ${3x^2-2x+1}$ și ${x^2+5x-4}.$

Rezolvare. Suma:

${(3x^2-2x+1)}+{(x^2+5x-4)}$

$={3x^2-2x+1}+{x^2+5x-4}={4x^2+3x-3.}$

Diferența: semnele lui ${x^2+5x-4}$ se schimbă.

${(3x^2-2x+1)}-{(x^2+5x-4)}$

$={3x^2-2x+1}-{x^2-5x+4}={2x^2-7x+5.}$

Înmulțirea

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, se înmulțește monomul cu fiecare termen al polinomului. Pentru a înmulți două polinoame, se înmulțește fiecare termen al primului cu fiecare termen al celui de-al doilea și apoi se reduc termenii asemenea.

Exemplul 10. ${2x(3x^2-x+4)}={{6x^3-2x^2+8x}.}$

Exemplul 11. ${(x+3)(2x-5)}={2x^2-5x+6x-15}={{2x^2+x-15}.}$

Exemplul 12. ${(a-2)(a^2+2a+4)}={a^3+2a^2+4a}-{2a^2-4a-8}={{a^3-8}.}$

Unele produse apar atât de des încât merită ținute minte, de exemplu ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},$ ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$ și ${(a-b)(a+b)=a^2-b^2}.$ Ele sunt adunate în lecția Formule de calcul prescurtat.

Împărțirea unui polinom la un monom

Pentru a împărți un polinom la un monom (diferit de $0$), se împarte fiecare termen la monom. La puteri se scad exponenții: ${\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$ $(a\ne0).$

Exemplul 13. a) ${\frac{12x^5y^2}{4x^2y}}={3x^3y}$ (pentru ${x\ne0},$ ${y\ne0}$); b) ${\frac{6x^3-4x^2+2x}{2x}}={\frac{6x^3}{2x}-\frac{4x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}}={3x^2-2x+1}$ (pentru ${x\ne0}$).

Un polinom se împarte la un alt polinom prin împărțirea lungă; vezi Împărțirea polinoamelor.

Expresii identic egale și identități

Două expresii sunt identic egale dacă iau valori egale pentru toate valorile admisibile ale variabilelor lor. O egalitate între două expresii identic egale se numește identitate.

De exemplu, ${(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}$ este o identitate. Să o verificăm pentru ${x=5}$ și ${y=2}\text{:}$ membrul stâng este ${(5-2)^2=9}$ iar membrul drept este ${25-20+4=9}.$

O verificare cu câteva numere nu este o demonstrație, deoarece o identitate trebuie să fie adevărată pentru toate valorile admisibile. Pentru a demonstra o identitate, se transformă unul dintre membrii ei până se obține celălalt.

Exemplul 14. Demonstrează că ${(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}.$

Rezolvare. Transformăm membrul stâng:

${(a+b)^2-(a-b)^2}={a^2+2ab+b^2}-{(a^2-2ab+b^2)}$

$={a^2+2ab+b^2}-{a^2+2ab-b^2}={4ab.}$

Am obținut membrul drept, deci identitatea este demonstrată.

Pentru a arăta că o egalitate nu este o identitate, este suficient un singur exemplu. Egalitatea ${(x-y)^2=x^2-y^2}$ nu este o identitate: pentru ${x=3}$ și ${y=1}$ membrul stâng este ${(3-1)^2=4},$ dar membrul drept este ${3^2-1^2=8}.$

Expresiile cu fracții se compară doar pe valorile lor admisibile. De exemplu, ${\frac{x^2-1}{x-1}=x+1}$ pentru orice ${x\ne1};$ pentru ${x=1}$ membrul stâng nu are valoare.

Fracții algebrice

O fracție algebrică (fracție rațională) este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame, de exemplu $\frac{x+1}{x-3}$ sau $\frac{5}{x^2-4x}.$ Orice expresie rațională fracționară poate fi scrisă ca o singură fracție algebrică. Fracțiile algebrice respectă aceleași reguli ca fracțiile numerice.

Proprietatea fundamentală a fracțiilor. Numărătorul și numitorul pot fi înmulțite sau împărțite cu aceeași expresie, atâta timp cât ea nu este $0\text{:}$ ${\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}},$ unde ${B\ne0}$ și ${C\ne0}.$

Simplificarea fracțiilor algebrice

1. Descompune în factori numărătorul și numitorul: dă factor comun sau folosește formulele de calcul prescurtat.
2. Află valorile pentru care numitorul este $0\text{:}$ ele sunt excluse.
3. Simplifică factorii comuni.

Exemplul 15. ${\frac{6x^2y}{9xy^3}}={\frac{3xy\cdot2x}{3xy\cdot3y^2}}={\frac{2x}{3y^2}}$ pentru ${x\ne0},$ ${y\ne0}.$

Exemplul 16. ${\frac{x^2-9}{x^2+3x}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}}={\frac{x-3}{x}}$ pentru ${x\ne0},$ ${x\ne-3}.$

Exemplul 17. ${\frac{a^2-4a+4}{2a-4}}={\frac{(a-2)^2}{2(a-2)}}={\frac{a-2}{2}}$ pentru ${a\ne2}.$

Se pot simplifica doar factori comuni, niciodată termeni ai unei sume. În $\frac{x+3}{x}$ litera $x$ de la numărător este un termen al sumei, nu un factor, deci această fracție nu se poate simplifica.

Uneori doi factori diferă doar prin semn: ${3-x=-(x-3)},$ deci ${\frac{3-x}{x-3}=-1}$ pentru ${x\ne3}.$

Înmulțirea și împărțirea

${\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}}$ și ${\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}}$

Mai întâi descompune în factori și simplifică, și abia apoi înmulțește: așa expresiile rămân scurte.

Exemplul 18. ${\frac{x^2-1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x+1}}={\frac{(x-1)(x+1)\cdot6x^2}{3x\cdot(x+1)}}={2x(x-1)}$ pentru ${x\ne0},$ ${x\ne-1}.$

Exemplul 19. ${\frac{a^2-4}{a}\div\frac{a+2}{a^2}}={\frac{(a-2)(a+2)}{a}\cdot\frac{a^2}{a+2}}={a(a-2)}$ pentru ${a\ne0},$ ${a\ne-2}.$

Adunarea și scăderea

Fracții cu același numitor: se adună sau se scad numărătorii și se păstrează numitorul.

Exemplul 20. ${\frac{3x}{x+2}+\frac{6}{x+2}}={\frac{3x+6}{x+2}}={\frac{3(x+2)}{x+2}}={3}$ pentru ${x\ne-2}.$

Fracțiile cu numitori diferiți se aduc mai întâi la un numitor comun. Cel mai simplu este cel mai mic numitor comun: se descompun numitorii în factori și se ia fiecare factor cu cel mai mare exponent cu care apare într-unul dintre ei.

Exemplul 21. ${\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}}={\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{2x}{x(x+1)}}={{\frac{3x+1}{x(x+1)}}.}$

Exemplul 22. Simplifică ${\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}}.$

Rezolvare. ${x^2-4=(x-2)(x+2)},$ deci numitorul comun este ${(x-2)(x+2)}.$ Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu ${x+2}\text{:}$

${\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}}={\frac{x(x+2)-8}{(x-2)(x+2)}}$

$=\frac{x^2+2x-8}{(x-2)(x+2)}$

$={\frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(x+2)}}={\frac{x+4}{x+2}.}$

Numărătorul a fost descompus în factori prin grupare: ${x^2+2x-8}={(x^2-4)+(2x-4)}={(x-2)(x+2)}+{2(x-2)}={{(x-2)(x+4)}.}$ Rezultatul este valabil pentru ${x\ne2}$ și ${x\ne-2}.$

Probleme pentru exersare

1. Care dintre aceste expresii sunt întregi și care sunt fracționare? a) $\frac{a+b}{2};$ b) $\frac{2}{a+b};$ c) ${x^2-\frac{x}{3}};$ d) ${\frac{1}{x}+x}.$

Răspuns

a) și c) sunt întregi: în ele se împarte doar la numere. b) și d) sunt fracționare: în ele se împarte la o expresie cu o variabilă.

2. Află valoarea lui ${2a^2-3ab}$ pentru ${a=-1}$ și ${b=2}.$

Răspuns

${2a^2-3ab}={2\cdot(-1)^2}-{3\cdot(-1)\cdot2}={2+6}={{8}.}$

3. Pentru ce valori ale lui $x$ nu are valoare expresia $\frac{2x+1}{x^2-9}?$

Răspuns

Când ${x^2-9=0}.$ Deoarece ${x^2-9=(x-3)(x+3)},$ acest lucru se întâmplă pentru ${x=3}$ și pentru ${x=-3}.$

4. Scrie în forma redusă și indică coeficientul și gradul: a) ${-2x\cdot3xy\cdot y^2};$ b) ${(-2a^2b)^3}.$

Răspuns

a) ${-2x\cdot3xy\cdot y^2}={-6x^2y^3\text{:}}$ coeficientul este $-6$ iar gradul este $5.$

b) ${(-2a^2b)^3=-8a^6b^3}\text{:}$ coeficientul este $-8$ iar gradul este $9.$

5. Simplifică ${(4x^2-3x+2)}-{(x^2-3x-5).}$

Răspuns

${(4x^2-3x+2)}-{(x^2-3x-5)}={4x^2-3x+2}-{x^2+3x+5}={{3x^2+7}.}$

6. Înmulțește: a) ${-3a(a^2-2a+5)};$ b) ${(2a-3)(a+4)}.$

Răspuns

a) ${-3a(a^2-2a+5)}={{-3a^3+6a^2-15a}.}$

b) ${(2a-3)(a+4)}={2a^2+8a-3a-12}={{2a^2+5a-12}.}$

7. Împarte: ${\frac{9a^3b-6a^2b^2}{3a^2b}}.$

Răspuns

${\frac{9a^3b-6a^2b^2}{3a^2b}}={\frac{9a^3b}{3a^2b}-\frac{6a^2b^2}{3a^2b}}={3a-2b}$ pentru ${a\ne0},$ ${b\ne0}.$

8. Demonstrează identitatea ${x(x+2)-(x+1)^2=-1}.$

Răspuns

${x(x+2)-(x+1)^2}={x^2+2x-(x^2+2x+1)}={x^2+2x-x^2-2x-1}={{-1}.}$

9. Simplifică: a) $\frac{15a^3b}{10ab^2};$ b) $\frac{5x+10}{x^2-4};$ c) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}.$

Răspuns

a) ${\frac{15a^3b}{10ab^2}}={\frac{5ab\cdot3a^2}{5ab\cdot2b}}={\frac{3a^2}{2b}}$ pentru ${a\ne0},$ ${b\ne0}.$

b) ${\frac{5x+10}{x^2-4}}={\frac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)}}={\frac{5}{x-2}}$ pentru ${x\ne2},$ ${x\ne-2}.$

c) ${\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}}={\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}}={\frac{x-3}{x+3}}$ pentru ${x\ne3},$ ${x\ne-3}.$

10. Simplifică: a) ${\frac{a^2-ab}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2-b^2}};$ b) ${\frac{x^2-4}{x}\div\frac{x-2}{3x}}.$

Răspuns

a) ${\frac{a(a-b)}{b^2}}\cdot {\frac{b}{(a-b)(a+b)}}={\frac{a}{b(a+b)}}$ pentru ${b\ne0},$ ${a\ne b},$ ${a\ne-b}.$

b) ${\frac{(x-2)(x+2)}{x}\cdot\frac{3x}{x-2}}={3(x+2)}$ pentru ${x\ne0},$ ${x\ne2}.$

11. Simplifică: a) ${\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}};$ b) ${\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}}.$

Răspuns

a) ${\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}}={{\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}}.}$

b) Deoarece ${b-a=-(a-b)}\text{:}$ ${\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}}={\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}}={\frac{a-b}{a-b}}={1}$ pentru ${a\ne b}.$

12. Simplifică ${\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\div\frac{b-a}{ab}}.$

Răspuns

Mai întâi, ${\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}={\frac{b-a}{ab}}.$ Apoi, ${\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\div\frac{b-a}{ab}}={\frac{b-a}{ab}\cdot\frac{ab}{b-a}}={1}$ pentru ${a\ne0},$ ${b\ne0},$ ${a\ne b}.$

Mai multe probleme

• Expresii raționale: probleme rezolvate (partea 1): expresii întregi și fracționare, monoame, polinoame, înmulțire și împărțire.
• Partea a 2-a: pătrate perfecte, descompunere în factori și demonstrarea identităților.
• Calculator pentru descompunerea polinoamelor în factori (cu pași).