Inecuații polinomiale și raționale

O inecuație polinomială compară un polinom cu zero sau poate fi transformată astfel încât să o facă, de exemplu ${x^3-x\gt 0}$ sau ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$ Într-o inecuație rațională necunoscuta apare la un numitor, de exemplu ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$ Ambele tipuri se rezolvă cu aceeași idee: căutăm numerele în care expresia este zero sau nu este definită, cu ele împărțim axa numerelor în intervale și aflăm semnul expresiei în fiecare interval. Aceasta este metoda intervalelor, numită și metoda tabelului de semne.

Pe această pagină: Inecuații polinomiale · Alternanța semnelor · Rădăcini multiple · Inecuații raționale · Exerciții

Inecuații polinomiale

După ce mutăm toți termenii într-o parte, o inecuație polinomială are una dintre formele ${P(x)\gt 0,}$ ${P(x)\ge 0,}$ ${P(x)\lt 0}$ sau ${P(x)\le 0,}$ unde ${P(x)}$ este un polinom. O inecuație de gradul al doilea, ca ${3x^2-2x-5}\gt{0,}$ este cazul gradului 2: punctele ei de intersecție sunt rădăcinile ecuației de gradul al doilea. Alte exemple: ${x^3-x\gt 0,}$   ${-2x^4+x^2-3}\lt{7,}$   ${4x^3-2x^2}\gt{{5x+7}.}$

Metoda intervalelor

1. Mutăm toți termenii într-o parte, astfel încât în cealaltă să rămână ${0.}$
2. Rezolvăm ecuația asociată ${P(x)=0}$: descompunem polinomul în factori și aflăm rădăcinile lui.
3. Marcăm rădăcinile pe axa numerelor. Ele o împart în intervale.
4. Aflăm semnul lui ${P(x)}$ în fiecare interval: înlocuim cu o valoare de probă din interval sau folosim regula alternanței semnelor (mai jos).
5. Alegem intervalele cu semnul căutat. La ${\ge}$ și ${\le}$ rădăcinile fac parte din soluție (paranteze drepte); la ${\gt}$ și ${\lt}$ nu (paranteze rotunde).

Exemplul 1

Rezolvă ${x^3-x\gt 0.}$

Partea dreaptă este deja ${0.}$ Descompunem în factori partea stângă:

${x^3-x}={x(x^2-1)}={x(x+1)(x-1)}$

Rădăcinile sunt ${-1,}$ ${0}$ și ${1.}$ Ele împart axa numerelor în patru intervale. Luăm o valoare de probă în fiecare:

Interval	${x}$	${x^3-x}$
${(-\infty,\,-1)}$	${-2}$	${-6}$
${(-1,\,0)}$	${-0{,}5}$	${0{,}375}$
${(0,\,1)}$	${0{,}5}$	${-0{,}375}$
${(1,\,+\infty)}$	${2}$	${6}$

Semnele lui ${x^3-x}$ în intervale. Cercurile goale arată că rădăcinile nu sunt soluții.

Căutăm ${x^3-x\gt 0,}$ deci luăm cele două intervale cu semnul „+”. În rădăcini expresia este ${0,}$ și ${0\gt 0}$ este fals, deci rădăcinile rămân în afară.

Soluție: $x\in(-1,\,0)\cup(1,\,+\infty),$ adică ${-1\lt x\lt 0}$ sau ${x\gt 1.}$

Graficul lui ${y=x^3-x}$ arată același lucru: curba se află deasupra axei ${x}$ exact pe aceste două intervale.

Graficul lui ${y=x^3-x.}$ Soluția este marcată cu portocaliu pe axa ${x.}$

Regula alternanței semnelor

Valorile de probă funcționează întotdeauna, dar dacă polinomul este deja descompus în factori există o cale mai rapidă. Îl scriem sub forma

${P(x)}={a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n),}$   unde $x_1\lt x_2\lt\dots\lt x_n.$

La dreapta rădăcinii celei mai mari toate parantezele sunt pozitive, deci acolo ${P(x)}$ are semnul coeficientului dominant ${a.}$ De fiecare dată când trecem peste o rădăcină spre stânga, exact o paranteză își schimbă semnul, și deci se schimbă și semnul produsului.

În exemplul 1, ${x^3-x}={x(x+1)(x-1)}$ are ${a=1\gt 0,}$ deci de la dreapta la stânga semnele sunt ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ întocmai cum au arătat valorile de probă.

Exemplul 2

Rezolvă ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$

Scădem ${11x^3+4}$ din ambele părți:

${3x^4-11x^3+10x-4}\le 0$

Rezolvare algebrică

Rezolvăm ecuația asociată ${3x^4-11x^3+10x-4}=0.$ Mai întâi încercăm numere mici: ${P(-1)}={3+11-10-4}={{0},}$ deci ${x=-1}$ este rădăcină și polinomul este divizibil cu ${x+1.}$ Împărțirea (de exemplu, cu schema lui Horner) dă

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x^3-14x^2+14x-4)}$

Dacă un polinom cu coeficienți întregi are o rădăcină rațională ${\frac pq,}$ atunci ${p}$ divide termenul liber și ${q}$ divide coeficientul dominant. Pentru polinomul de gradul trei candidații sunt ${\pm1,}$ ${\pm2,}$ ${\pm4,}$ ${\pm\frac13,}$ ${\pm\frac23,}$ ${\pm\frac43,}$ și ${x=\frac23}$ este rădăcină:

${3\cdot\frac{8}{27}-14\cdot\frac49+14\cdot\frac23-4}={\frac{8-56+84-36}{9}}={0}$

Prin împărțirea polinomului de gradul trei la ${3x-2}$ rămâne ${x^2-4x+2,}$ ale cărui rădăcini sunt ${x}={\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}}={{2\pm\sqrt2}.}$ Prin urmare,

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x-2)(x^2-4x+2)}$

iar cele patru rădăcini, de la cea mai mică la cea mai mare, sunt

${-1}\lt{2-\sqrt2}\lt{\frac23}\lt{2+\sqrt2,}$   sau aproximativ   ${-1;}$ ${0{,}586;}$ ${0{,}667;}$ ${3{,}414.}$

Coeficientul dominant este ${3\gt 0}$ și cele patru rădăcini sunt distincte, deci de la dreapta la stânga semnele sunt ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+}$:

Valorile de probă o confirmă (valoarea ${0{,}6}$ se află între ${0{,}586}$ și ${0{,}667}$):

Interval	${x}$	${P(x)}$
${(-\infty,\,-1)}$	${-2}$	${112}$
${(-1,\,2-\sqrt2)}$	${0}$	${-4}$
${(2-\sqrt2,\,\frac23)}$	${0{,}6}$	${0{,}0128}$
${(\frac23,\,2+\sqrt2)}$	${1}$	${-2}$
${(2+\sqrt2,\,+\infty)}$	${4}$	${100}$

Căutăm ${P(x)\le 0}$: cele două intervale cu semnul „−” împreună cu capetele lor, pentru că inegalitatea nu este strictă.

Soluție: $x\in\left[-1,\,2-\sqrt2\,\right]\cup\left[\frac23,\,2+\sqrt2\,\right].$

Rezolvare grafică

Graficul lui $y={3x^4-11x^3+10x-4}$ intersectează axa ${x}$ în ${x=-1}$ și aproape de ${x=3{,}414.}$ Între ${x=0}$ și ${x=1}$ pare că curba doar atinge axa.

Dacă mărim zona marcată cu cerc, vedem că de fapt curba intersectează axa de două ori: în ${2-\sqrt2}\approx{0{,}586}$ și în ${\frac23}\approx{0{,}667.}$ Între aceste rădăcini există o mică cocoașă deasupra axei; punctul ei cel mai de sus are doar aproximativ ${0{,}022.}$

Graficul se află pe axa ${x}$ sau sub ea de la ${-1}$ până la ${0{,}586}$ și de la ${0{,}667}$ până la ${3{,}414,}$ ceea ce coincide cu rezolvarea algebrică. Un grafic este o bună verificare, dar dă doar valori aproximative și poate ascunde rădăcini foarte apropiate între ele. Algebra dă punctele critice exacte; graficul arată dintr-o privire care intervale verifică inecuația.

Exemplul 3

Rezolvă ${x^4-5x^2+4}\lt 0.$

Partea stângă este o expresie bipătrată, adică de gradul al doilea în ${x^2.}$ O descompunem în doi pași:

${x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}$

Rădăcinile ${-2,}$ ${-1,}$ ${1,}$ ${2}$ sunt distincte și coeficientul dominant este ${1,}$ deci de la dreapta la stânga semnele sunt ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Soluție: $x\in(-2,\,-1)\cup(1,\,2).$

Rădăcini multiple

Dacă o paranteză apare de două ori, ca în ${(x-2)^2,}$ atunci ${2}$ este o rădăcină dublă. Un pătrat nu este niciodată negativ, deci acolo semnul nu se schimbă.

Exemplul 4. Rezolvă ${x^3-4x^2+4x}\le 0.$

${x^3-4x^2+4x}={x(x^2-4x+4)}={x(x-2)^2}$

Rădăcina ${0}$ este simplă, iar rădăcina ${2}$ este dublă. La dreapta lui ${2}$ semnul este ${+.}$ Trecând prin ${2}$ rămâne ${+;}$ iar trecând prin ${0}$ se schimbă în ${-.}$

Expresia este negativă pentru ${x\lt 0}$ și este ${0}$ în ${x=0}$ și în ${x=2.}$ Toate aceste numere verifică ${\le 0.}$

Soluție: $x\in(-\infty,\,0]\cup\{2\}.$

Nu uita punctul izolat ${x=2.}$ Pentru inegalitatea strictă ${x(x-2)^2\lt 0}$ soluția ar fi doar ${x\lt 0.}$ Pentru ${x(x-2)^2\gt 0}$ ar fi $x\in(0,\,2)\cup(2,\,+\infty);$ aici trebuie exclus ${2.}$

Graficul lui ${y=x(x-2)^2}$ intersectează axa ${x}$ în rădăcina simplă ${0}$ și doar o atinge în rădăcina dublă ${2.}$

Factori care nu devin niciodată zero

Un factor de gradul al doilea cu discriminant negativ, ca ${x^2+x+1}$ (${D=1-4=-3\lt 0}$), nu are rădăcini reale. Își păstrează semnul coeficientului dominant pentru orice ${x,}$ deci nu influențează tabelul de semne. Un factor pozitiv poate fi eliminat direct, pentru că împărțirea la un număr pozitiv nu schimbă inegalitatea.

Exemplul 5. Rezolvă ${(x^2+x+1)(x^2-9)}\ge 0.$

Deoarece ${x^2+x+1\gt 0}$ pentru orice ${x,}$ inecuația este echivalentă cu ${x^2-9\ge 0,}$ adică cu ${(x+3)(x-3)}\ge 0.$

Soluție: $x\in(-\infty,\,-3]\cup[3,\,+\infty).$

Inecuații raționale

Într-o inecuație rațională necunoscuta apare la un numitor. După ce mutăm toți termenii într-o parte și îi scriem ca o singură fracție, ea are forma ${\frac{P(x)}{Q(x)}}\gt 0$ (sau ${\ge,}$ ${\lt,}$ ${\le}$), unde ${P}$ și ${Q}$ sunt polinoame.

Metoda pentru inecuații raționale

1. Mutăm toți termenii într-o parte și îi aducem la numitor comun.
2. Descompunem în factori numărătorul și numitorul.
3. Aflăm punctele critice: zerourile numărătorului și zerourile numitorului.
4. Le marcăm pe axa numerelor. Zerourile numitorului sunt întotdeauna cercuri goale. Zerourile numărătorului sunt cercuri pline la ${\ge}$ și ${\le,}$ și goale la ${\gt}$ și ${\lt.}$
5. Aflăm semnul în fiecare interval cu valori de probă sau cu regula alternanței semnelor. Parantezele de la numitor contează la fel ca cele de la numărător, pentru că ${\frac PQ}$ și ${P\cdot Q}$ au întotdeauna același semn.
6. Scriem soluția. Nu includem niciodată un zero al numitorului.

Exemplul 6

Rezolvă ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$

Rezolvare algebrică

Scădem ${\frac{x+2}{x-5}}$ și aducem cele două fracții la numitorul comun ${(x+4)(x-5)}$:

${\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}\ge 0$

${\frac{(x-3)(x-5)-(x+2)(x+4)}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Numărătorul este ${(x^2-8x+15)}-{(x^2+6x+8)}={{-14x+7},}$ deci

${\frac{-14x+7}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Împărțim ambele părți la ${-7.}$ La împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează:

${\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}}\le 0$

Punctele critice sunt ${x=\frac12}$ (zeroul numărătorului; cerc plin, pentru că inegalitatea nu este strictă) și ${x=-4,}$ ${x=5}$ (zerourile numitorului; cercuri goale). Cu excepția unui factor pozitiv, toate parantezele sunt de forma ${(x-c),}$ deci de la dreapta la stânga semnele sunt ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$

Avem nevoie de intervalele cu semnul „−”, inclusiv ${\frac12}$ dar fără ${-4}$ și ${5.}$

Soluție: $x\in(-\infty,\,-4)\cup\left[\frac12,\,5\right).$

Ca verificare, iată valori de probă pentru ${f(x)}={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5},}$ diferența dintre cele două părți ale inecuației inițiale:

Interval	${x}$	${f(x)}$
${(-\infty,\,-4)}$	${-5}$	${7{,}7}$
${(-4,\,\frac12)}$	${-2}$	${-2{,}5}$
${(\frac12,\,5)}$	${3}$	${2{,}5}$
${(5,\,+\infty)}$	${6}$	${-7{,}7}$

Rezolvare grafică

Graficul lui $y={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}$ se întrerupe în ${x=-4}$ și ${x=5,}$ unde funcția nu este definită; dreptele punctate sunt asimptote verticale. Curba intersectează axa ${x}$ o singură dată, în ${x=\frac12.}$

Curba se află pe axa ${x}$ sau deasupra ei în ${(-\infty,\,-4)}$ și în ${\left[\frac12,\,5\right),}$ ceea ce este aceeași soluție. Observă că funcția își schimbă semnul și la întreruperi, fără să intersecteze acolo axa. De aceea și zerourile numitorului sunt puncte critice.

Exemplul 7

Rezolvă ${\frac{x^2-x-6}{x^2-1}}\ge 0.$

Descompunem în factori numărătorul și numitorul:

${\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}}\ge 0$

Numărătorul se anulează în ${-2}$ și ${3}$ (cercuri pline); numitorul, în ${-1}$ și ${1}$ (cercuri goale). Cele patru puncte critice sunt distincte, deci de la dreapta la stânga semnele sunt ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Soluție: $x\in(-\infty,\,-2]\cup(-1,\,1)\cup[3,\,+\infty).$

Exerciții

Rezolvă inecuațiile. Încearcă mai întâi singur, apoi deschide rezolvarea.

1. ${(x+3)(x-1)(x-4)}\lt 0$

Rădăcinile ${-3,}$ ${1,}$ ${4;}$ semnele de la dreapta la stânga ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$ Soluție: $x\in(-\infty,\,-3)\cup(1,\,4)$

2. ${x^3\ge 9x}$

${x^3-9x}={x(x-3)(x+3)}\ge 0.$ Soluție: $x\in[-3,\,0]\cup[3,\,+\infty)$

3. ${x^4-10x^2+9}\le 0$

${x^4-10x^2+9}={(x^2-1)(x^2-9)}={(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)}\le 0.$ Soluție: $x\in[-3,\,-1]\cup[1,\,3]$

4. ${(x-2)^2(x+5)}\lt 0$

Rădăcina dublă ${2}$ nu schimbă semnul, iar în ${x=2}$ expresia este ${0,}$ care nu este negativ. Soluție: $x\in(-\infty,\,-5)$

5. ${x^3+x^2-4x-4}\gt 0$

Grupăm termenii: ${x^2(x+1)-4(x+1)}={(x+1)(x-2)(x+2)}\gt 0.$ Soluție: $x\in(-2,\,-1)\cup(2,\,+\infty)$

6. ${\frac{x-1}{x+2}}\le 0$

Puncte critice ${-2}$ (cerc gol) și ${1}$ (cerc plin). Soluție: ${x\in(-2,\,1]}$

7. ${\frac{x+3}{x-1}}\gt 2$

${\frac{x+3}{x-1}-2}={\frac{5-x}{x-1}}\gt{0,}$ adică ${\frac{x-5}{x-1}}\lt 0.$ Soluție: ${x\in(1,\,5)}$

8. ${\frac{x^2-4}{x^2+x}}\ge 0$

${\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}}\ge 0.$ Puncte critice ${-2,}$ ${-1,}$ ${0,}$ ${2;}$ semnele de la dreapta la stânga ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$ Soluție: $x\in(-\infty,\,-2]\cup(-1,\,0)\cup[2,\,+\infty)$

9. ${\frac{1}{x-1}}\ge{\frac{1}{x+1}}$

${\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2}{(x-1)(x+1)}}\ge 0.$ Numărătorul nu este niciodată zero, deci fracția trebuie să fie pozitivă. Soluție: $x\in(-\infty,\,-1)\cup(1,\,+\infty)$

10. ${\frac{(x-3)^2}{x^2-4}}\le 0$

Numărătorul nu este niciodată negativ și este ${0}$ doar în ${x=3.}$ Fracția este negativă acolo unde ${x^2-4\lt 0.}$ Soluție: $x\in(-2,\,2)\cup\{3\}$

Îți poți verifica soluțiile cu calculatorul de probleme, care rezolvă inecuații prin metoda intervalelor pas cu pas.