Problemas usando fórmulas de Vieta

Solución:
Primero reescribimos [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] en términos de polinomios simétricos elementales:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

Por las fórmulas de Vieta tenemos [tex]x_1+x_2=-5[/tex] y [tex]x_1x_2=-3[/tex].

Sustituimos en la expresión para obtener [tex]x_1^2+x_2^2=(-5)^2-2\cdot(-3)=25+6=31[/tex].

Solución:
Primero reescribimos [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] en términos de polinomios simétricos elementales:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

Por las fórmulas de Vieta tenemos [tex]x_1+x_2=-11[/tex] y [tex]x_1x_2=12[/tex].

Sustituimos en la expresión para obtener [tex]x_1^2+x_2^2=(-11)^2-2\cdot 12=121-24=97[/tex].

Solución:
[tex]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}[/tex].

De las fórmulas de Vieta, tenemos [tex]x_1+x_2=-9[/tex], [tex]x_1x_2=33[/tex].

Sustituimos y obtenemos: [tex]\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-9}{33}=-\frac{3}{11}[/tex]

Solución:
Primero reescribimos la expresión deseada en términos de los polinomios simétricos elementales.

[tex](x_1^3+x_2^3)+(x_1^2+x_2^2)+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)+(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)+(x_1+x_2) = (x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)-2x_1x_2[/tex].

De las fórmulas de Vieta, sabemos que [tex]x_1+x_2=8[/tex] y [tex]x_2x_2=11[/tex].

Sustituimos [tex]8(8^2-3\cdot 11)+8^2+8-2 \cdot 11=8(64-33)+64+8-22=8 \cdot 31+50=8 \cdot 31+8 \cdot 6 +2=8 \cdot 37 + 2=298[/tex]

Solución:
Primero, utilizaremos la siguiente identidad: [tex]|a|=\sqrt{a^2}[/tex].

Esto nos lleva a [tex]|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}=\sqrt{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}[/tex].

Luego usamos las fórmulas de Vieta para obtener [tex]x_1+x_2=15[/tex], [tex]x_1x_2=36[/tex].

El resultado es [tex]\sqrt{15^2-4.36}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9[/tex]

Solución:
Reescribimos la expresión de la siguiente forma [tex]x_1-x_1^2+x_2-x_2^2=x_1+x_2-(x_1^2+x_2^2)=x_1+x_2-(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)=x_1+x_2-((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)=(x_1+x_2)-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)(1-(x_1+x_2))+2x_1x_2[/tex].

De las fórmulas de Vieta sabemos que [tex]x_1+x_2=12[/tex] y [tex]x_1x_2=19[/tex].

Sustituimos y obtenemos [tex]12(1-12)+2\cdot 19=-12 \cdot 11+38=-132+38=-94[/tex]

Solución:
Quitamos los paréntesis y expresamos en términos de los polinomios simétricos elementales:

[tex]x_1^2-2x_1\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+x_2^2-2x_2\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2^2}=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}-4=x_1^2+x_2^2+\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}-4=(x_1^2+x_2^2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4[/tex].

Por las fórmulas de Vieta tenemos [tex]x_1+x_2=4[/tex] y [tex]x_1x_2=1[/tex].

Sustituimos y obtenemos: [tex](4^2-2)(1+1)-4=(16-2)\cdot 2-4=28-4=24[/tex]

Solución:
De las fórmulas de Vieta tenemos [tex]x_1x_2=a^2-2a+1=(a-1)^2[/tex]. Dado que es un cuadrado perfecto, [tex](a-1)^2 \ge 0[/tex], con igualdad para [tex]a=1[/tex]. Por lo tanto la respuesta es [tex]a=1[/tex] y el valor mínimo es 0.

Solución:
Usando las fórmulas de Vieta, $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2/3\Rightarrow\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\right)^2=4/9$

Por otro lado, $\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\right)^2=\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+ 2\left(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3\right)$

Usando de nuevo las fórmulas de Vieta, $\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3=5/3$ Entonces, $\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2=4/9-10/3=-26/9$

Observación: la suma de tres cuadrados es negativa. Esto solo es posible si los valores de las raíces son complejos.