Problemas usando fórmulas de Vieta

Solución:
De las fórmulas de Vieta tenemos [tex]-(x_1+x_2)=-54[/tex], así [tex]x_1+x_2=54[/tex]. Sustituimos [tex]x_1[/tex] por su valor y obtenemos [tex]2+x_2=54[/tex], por tanto [tex]x_2=52[/tex].

Solución:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10$

$\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5$

$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2\alpha\beta= 10^2- 2\cdot5= 100 - 10$

$\alpha^2+\beta^2 = 90$

$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta + \alpha\beta^2}= \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta(\alpha + \beta)}= \frac{90}{5\times 10}= \frac{90}{50}= 1{,}8$

Solución:
Identifica los coeficientes de la ecuación dada. La ecuación cuadrática es $2x^{2}+5x+3=0$.
Comparándola con la forma estándar $ax^{2}+bx+c=0$, obtenemos: $a=2$, $b=5$, $c=3$.

Usa las fórmulas de Viète para encontrar la suma y el producto de las raíces.

Suma de las raíces: $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{5}{2}$

Producto de las raíces: $\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$

Expresa el valor deseado en términos de la suma y el producto de las raíces.
Queremos hallar $\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }$.
Combinamos las fracciones: $\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }=\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }$.

Usamos la identidad $(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}$ para reescribir el numerador: $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta $.

Sustituimos: $\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }=\frac{(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta }{\alpha \beta }$.

Sustituimos los valores: $\frac{(-\frac{5}{2})^{2}-2(\frac{3}{2})}{\frac{3}{2}}$.

Simplificamos: $\frac{\frac{25}{4}-\frac{6}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{25}{4}-\frac{12}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{\frac{3}{2}}$.

Dividimos multiplicando por el recíproco: $\frac{13}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{26}{12}$.

Reducimos la fracción: $\frac{26}{12}=\frac{13}{6}$.