Problemas de ecuaciones recíprocas

Solución:
Vemos que es una ecuación recíproca, entonces la dividimos por [tex]x^2[/tex]: [tex]\frac{x^4}{x^2}-3\frac{x^3}{x^2}+4\frac{x^2}{x^2}-3\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0[/tex]
[tex]x^2+\frac{1}{x^2}-3(x+\frac{1}{x})+4=0[/tex]. Véase como en el paso previo agrupamos términos equidistantes. Ahora hacemos el siguiente cambio de variable [tex]x+\frac{1}{x}=u[/tex]. Elevando al cuadrado obtenemos [tex]x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=u^2[/tex], o [tex]x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2[/tex]. Insertamos estas expresiones en la ecuación para sustituir por completo la variable x por la variable u, y obtenemos
[tex]u^2-2-3u+4=0[/tex], o [tex]u^2-3u+2=0[/tex]. Las soluciones son [tex]u_1=1[/tex] y [tex]u_2=2[/tex]. Así que sustituyendo los valores de u de regreso en las ecuaciones de sustitución obtenemos dos ecuaciones de segundo grado [tex]x+\frac{1}{x}=1[/tex] o [tex]x+\frac{1}{x}=2[/tex]. De la primera ecuación obtenemos [tex]x^2-x+1=0[/tex], lo cual no tiene soluciones. De la segunda obtenemos [tex]x^2-2x+1=0[/tex], o [tex]x=1[/tex].

Solución:
Dado que esta es una ecuación recíproca con coeficientes alternos, x=1 es una solución. Reagrupamos: [tex]x^5-1+3x^4-3x+2x^3-2x^2=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+3x(x^3-1)+2x^2(x-1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1)+(x-1)3x(x^2+x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x(x^2+x+1))=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x^3+3x^2+3x)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x+1)^4=0[/tex], por lo tanto las soluciones son [tex]x=1[/tex] y [tex]x=-1[/tex].