Problemas de valores extremos - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Reescribimos [tex]f(x)[/tex] como [tex]f(x)=-x^2+18x+3=-x^2+2 \times 9 \times x-81+81+3=-(x^2-2 \times 9 \times x+9^2)+84=-(x-9)^2+84[/tex]. Dado que [tex]-(x-9)^2 \le 0[/tex], [tex]f(x) \le 84[/tex] con desigualdad para [tex]x=9[/tex].

Solución:
[tex]f(x)=\sqrt{2}|senx+cosx|=\sqrt{2}|\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}(senx+cosx)|=2|\frac{\sqrt{2}}{2}senx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx|=2|sen\frac{\pi}{4}senx+\cos\frac{\pi}{4}cosx|=2|cos(\frac{\pi}{4}-x)|[/tex]. Sabemos que [tex]|cosu| \le 1[/tex], por lo que [tex]2|cos(\frac{\pi}{4}-x)| \le 2 \times 1=2[/tex].

Solución:
[tex]1+|x-1| \ge 1[/tex], con igualdad para [tex]x=1[/tex]. Así [tex]|1+|x-1|| \ge |1|=1[/tex], dado que [tex]1[/tex] es un número positivo.

Solución:
[tex]f(x)=x^2+2 \times \frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+1=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}[/tex]. Dado que [tex](x+\frac{5}{2})^2 \ge 0[/tex], el valor mínimo para [tex]f(x)[/tex] es [tex]-\frac{21}{4}[/tex].

Solución:
Los extremos de [tex]f(x)[/tex] se alcanzan para los valores de [tex]x[/tex], para los cuales su primera derivada es cero. [tex]f'(x)=2x+8[/tex], que es cero para [tex]x=-4[/tex]. Así, un extremo para [tex]f(x)[/tex] es [tex]f(-4)=(-4)^2+8 \times (-4)+15=16-32+15=-1[/tex]. Dado que la gráfica de [tex]f(x)[/tex] es una parábola con un coeficiente principal positivo, el extremo es un mínimo.

Solución:
Dado que la función es una función cuadrática con un coeficiente principal negativo, su único extremo es el máximo. También se alcanza cuando x es igual a la raíz de la ecuación. [tex]f'(x)=0[/tex]. Calculamos [tex]f'(x)=-2x-10[/tex], la cual tiene una raíz [tex]x=-5[/tex].

Solución:
[tex]f(x)[/tex] es una función quártica con un coeficiente principal positivo, por eso tiene un valor mínimo. Su primera derivada es [tex]f'(x)=x^3+3x^2+4x-8=x^3-x^2+4x^2+4x-8=x^2(x-1)+4(x^2+x-2)=x^2(x-1)+(4x+8)(x-1)=(x-1)(x^2+4x+8)[/tex]. Una raíz de la derivada es [tex]x=1[/tex]. Ya que [tex]x^2+4x+8=x^2+4x+4+4=(x+2)^2+4>0[/tex], no tiene otras raíces. Así que el mínimo se alcanza para [tex]x=1[/tex] y es [tex]f(1)=\frac{41}{4}[/tex].

Solución:
[tex]f'(x)=x^3-6x^2+11x-6=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)[/tex]. Ya que [tex]f(x)[/tex] es una función quártica con un coeficiente principal positivo, entonces alcanza su valor mínimo en una raíz de [tex]f'(x)[/tex]. Dado que [tex]f'(x)[/tex] tiene tres raíces ([tex]x_1=1,x_2=2,x_3=3)[/tex], sustituimos cada una de ellas y calculamos el valor de [tex]f(x)[/tex]: [tex]f(1)=\frac{23}{4}[/tex], [tex]f(2)=6[/tex] y [tex]f(3)=\frac{23}{4}[/tex]. Así que la función tiene un valor mínimo de [tex]\frac{23}{4}[/tex], que se alcanza para [tex]x=1[/tex] y [tex]x=3[/tex].

Solución:
Reescribimos [tex]f(x)=cos^2x+2cosx+2(1-cos^2x)=cos^2x+2cosx+2-2cos^2x=-cos^2x+2cosx+2[/tex]. Ahora sustituimos [tex]cosx=t \in [-1;1][/tex] y obtenemos [tex]g(t)=f(x)=-t^2+2t+2, t \in [-1;1][/tex]. Pero [tex]g(t)=-t^2+2t+2=-t^2+2t-1+3=-(t-1)^2+3[/tex], la cual es máxima para [tex]t=1[/tex] y [tex]t=1[/tex] pertenece al intervalo dado, por lo que el valor máximo para [tex]f(x)[/tex] es [tex]3[/tex].

Solución:
[tex]f(t)=log_2(t)[/tex] es una función estrictamente creciente para toda [tex]t > 0[/tex], por lo que su valor mínimo se alcanza en el valor mínimo del argumento. Pero [tex]|x|+2 \ge 2[/tex] (dado que [tex]|x|[/tex] es no negativa), por lo tanto [tex]log_2(|x|+2) \ge log_2(2)=1[/tex]