Problemas de valores extremos - problemas y soluciones

Solución:
[tex]f(x)[/tex] es una parábola, abierta hacia arriba (ya que su coeficiente principal es [tex]a^2+1>0[/tex]), por lo que tiene un solo extremo y es un mínimo (global). [tex]f'(x)=0 <=> 2(a^2+1)x-2a=0[/tex], o [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. Por suerte para nosotros, [tex]\frac{a}{a^2+1}=\frac{1}{2}.\frac{2a}{a^2+1} \le \frac{1}{2}[/tex] (dado que [tex]0 \le \frac{2a}{a^2+1} \le 1[/tex] para cualquier a positiva). Así se alcanza el mínimo en el intervalo para [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. Sustituimos en f(x) para alcanzar
[tex]f_{min}(x)=f(\frac{a}{a^2+1})=(a^2+1).(\frac{a}{a^2+1})^2-2a.\frac{a}{a^2+1}+10=\frac{a^2}{a^2+1}-\frac{2a^2}{a^2+1}+10=10-\frac{a^2}{a^2+1}=\frac{9a^2+10}{a^2+1}[/tex]. Queremos que este valor sea igual a [tex]\frac{451}{50}[/tex]:
[tex]\frac{9a^2+10}{a^2+1}=\frac{451}{50}[/tex], multiplicamos en cruz:
[tex]450a^2+500=451a^2+451[/tex], o [tex]a^2=49[/tex]. Lo que significa que [tex]a=7[/tex], dado que a es positiva.