El plano coordenado - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Si el punto A está en el eje x, la distancia desde A al eje x es 0, entonces a = 0.

Solución:
Si el punto B está en el eje y, la distancia desde B al eje y es 0, entonces a = 0.

Solución:
Dado que el punto se encuentra en el cuadrante II, su primera coordenada es negativa y su segunda coordenada es positiva. Como se encuentra a una distancia de 4 unidades del eje y, su primera coordenada es -4. Como está a una distancia de 2 unidades del eje x, su segunda coordenada es 2. Las coordenadas del punto son (-4, 2).

Solución:
Como el punto se encuentra en el cuadrante III, ambas coordenadas son negativas. Como se encuentra a una distancia de 4 unidades del eje x, su segunda coordenada es -4. Como se encuentra a una distancia de 3 unidades del eje y, su primera coordenada es -3. Las coordenadas del punto son (-3, -4).

Solución:
Como el punto se encuentra en el cuadrante I, ambas coordenadas son positivas. Dado que se encuentra a una distancia de 3 unidades del eje x, su segunda coordenada es 3. Dado que está a una distancia de 2 unidades del eje y, su primera coordenada es 2. Las coordenadas del punto son (2 , 3).

Solución:
Dado que el punto se encuentra en el cuadrante IV, su primera coordenada es positiva y su segunda coordenada es negativa. Como se encuentra a una distancia de 1 unidad del eje y, su primera coordenada es 1. Dado que se encuentra a una distancia de 4 unidades del eje x, su segunda coordenada es -4. Las coordenadas del punto son (1, -4).

Solución:
Dado que los puntos tienen la misma coordenada y, AB es paralelo al eje x. La distancia entre los 2 puntos es igual a la diferencia de las coordenadas x. La distancia entre el punto A y el punto B es 4 - 1 = 3 unidades.

Solución:
La longitud de AB es igual a la distancia de A a B. Dado que ambos puntos tienen la misma coordenada y, AB es paralelo al eje x. La longitud de AB es igual a la diferencia de las coordenadas x, por lo que 2 - (-3) = 2 + 3 = 5.

Solución:
La longitud de AB es igual a la distancia de A a B. Dado que ambos puntos tienen la misma coordenada x, AB es paralelo al eje y. La longitud de AB es igual a la diferencia de las coordenadas y, por lo que 6 - 2 = 4.

Solución:
La simetría del punto A con respecto al punto B es el punto A ', que se encuentra en la misma línea que A y B. B está a medio camino entre A y A'. La distancia de A 'al eje y es 6 unidades mayor, por lo que su primera coordenada es 8. La distancia al eje x es la misma, por lo que la segunda coordenada del punto A' es 3.
Las coordenadas del punto A 'son (8, 3).

Solución:
La longitud de AB es igual a la distancia de A a B. Dado que ambos puntos tienen la misma coordenada x, AB es paralelo al eje y. La longitud de AB es igual a la diferencia de las coordenadas y, por lo que 3 - (-5) = 8.

Solución:
La longitud de AB es igual a la distancia de A a B. Dado que ambos puntos tienen la misma coordenada x, AB es paralelo al eje y. La longitud de AB es igual a la diferencia de las coordenadas y, por lo que 5 - (-1) = 5 + 1 = 6.

Solución:
Como el punto A tiene las coordenadas (3, 3) y AB es horizontal, el punto B tendrá la misma coordenada y. Como la longitud de AB es 4, la coordenada x del punto B es 3 + 4 = 7. El punto B tiene las coordenadas (7, 3).

Solución:
Como el punto A tiene las coordenadas (3, 3) y AB es vertical, el punto B tendrá la misma coordenada x. Como la longitud de AB es 4, la coordenada y del punto B es 3 - 4 = -1. El punto B tiene las coordenadas (3, -1).

Solución:
Como AB es horizontal, la coordenada y del punto B es 1 y la coordenada x es 1 + 2 = 3. Por lo tanto, B tiene las coordenadas (3, 1). Como BC es vertical, la coordenada x del punto C es 3 y la coordenada y es 1 + 1 = 2. Por lo tanto, el punto C tiene las coordenadas (3, 2).

Solución:
Como todas las líneas horizontales tienen una longitud de 1 unidad, la coordenada x del punto B es 1 + 4 = 5.
Como todas las líneas verticales tienen una longitud de 1 unidad, la coordenada y del punto B es -3 + 5 = 2.
El punto B tiene las coordenadas (5, 2).

Solución:
Corte con el eje [tex]Oy[/tex] ([tex]x=0[/tex]): [tex]y=2[/tex], el punto [tex](0; 2)[/tex].
Corte con el eje [tex]Ox[/tex] ([tex]y=0[/tex]): [tex]-0{,} 5x+2=0 \Rightarrow x=4[/tex], el punto [tex](4; 0)[/tex].
El triángulo es rectángulo con catetos [tex]2[/tex] y [tex]4[/tex]:
[tex]S=\frac{2\times 4}{2}=4[/tex]

Solución:
Una recta que pasa por el origen es la gráfica de una proporcionalidad directa [tex]y=kx[/tex].
[tex]N(-4; 3)[/tex]: [tex]3=k(-4) \Rightarrow k=-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]x=-3[/tex]: [tex]y=-\frac{3}{4}\times (-3)=\frac{9}{4}=2{,} 25[/tex]

Solución:
[tex]y=3\times 2=6 \Rightarrow A(2; 6)[/tex]
[tex]9=3x \Rightarrow x=3 \Rightarrow B(3; 9)[/tex]
[tex]A[/tex] y [tex]C[/tex] tienen la misma ordenada, y [tex]B[/tex] y [tex]C[/tex] la misma abscisa, así que el ángulo en [tex]C[/tex] es recto: [tex]AC=3-2=1[/tex], [tex]BC=9-6=3[/tex].
[tex]S=\frac{1\times 3}{2}=1{,} 5[/tex]

Solución:
Ningún lado es paralelo a un eje, así que encerramos el triángulo en un rectángulo de lados paralelos a los ejes: [tex]-5\le x\le 0[/tex], [tex]0\le y\le 4[/tex]. Su área es [tex]5\times 4=20[/tex].
Restamos los tres triángulos rectángulos que quedan fuera de [tex]ABC[/tex]:
[tex]AB[/tex]: [tex]\frac{5\times 3}{2}=7{,} 5[/tex]
[tex]BC[/tex]: [tex]\frac{4\times 1}{2}=2[/tex]
[tex]CA[/tex]: [tex]\frac{1\times 4}{2}=2[/tex]
[tex]S=20-7{,} 5-2-2=8{,} 5[/tex]

Solución:
[tex]B[/tex], [tex]D[/tex], [tex]F[/tex] y [tex]H[/tex] son los vértices de un cuadrado de lado [tex]4-(-4)=8[/tex] y área [tex]8\times 8=64[/tex].
Fuera del cuadrado quedan cuatro triángulos iguales, por ejemplo [tex]HAB[/tex] de base [tex]HB=8[/tex] y altura [tex]5-4=1[/tex]; su área es [tex]\frac{8\times 1}{2}=4[/tex].
[tex]S=64+4\times 4=80[/tex]

Solución:
Encerramos el cuadrilátero en el rectángulo [tex]-3\le x\le 4[/tex], [tex]-3\le y\le 3[/tex] de área [tex]7\times 6=42[/tex].
Fuera de [tex]ABCD[/tex] quedan cuatro triángulos rectángulos y un pequeño rectángulo:
[tex]AB[/tex]: [tex]\frac{5\times 1}{2}=2{,} 5[/tex]
[tex]BC[/tex]: [tex]\frac{2\times 6}{2}=6[/tex]
[tex]CD[/tex]: [tex]\frac{6\times 2}{2}=6[/tex]
[tex]DA[/tex]: [tex]\frac{1\times 3}{2}=1{,} 5[/tex]
el rectángulo de la esquina superior izquierda: [tex]1\times 2=2[/tex]
[tex]S=42-(2{,} 5+6+6+1{,} 5+2)=42-18=24[/tex]

Solución:
Sustituimos [tex]x=p-1[/tex] e [tex]y=3p+1[/tex]:
[tex]3p+1=3(p-1)-2[/tex]
[tex]3p+1=3p-5[/tex]
[tex]1=-5[/tex], lo cual es falso para todo [tex]p[/tex].
En efecto, todos los puntos [tex](p-1; 3p+1)[/tex] están en la recta [tex]y=3x+4[/tex], paralela a [tex]y=3x-2[/tex]. Por lo tanto, no existe tal [tex]p[/tex].

Solución:
Las rectas [tex]y=1[/tex] e [tex]y=3[/tex] son paralelas (al eje [tex]Ox[/tex]), y también lo son [tex]y=3x+3[/tex] e [tex]y=3x+6[/tex] (misma pendiente [tex]3[/tex]). El cuadrilátero es un paralelogramo.
Vértices sobre [tex]y=1[/tex]: [tex]3x+3=1 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}[/tex] y [tex]3x+6=1 \Rightarrow x=-\frac{5}{3}[/tex].
El lado sobre [tex]y=1[/tex] mide [tex]-\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{3}\right)=1[/tex].
La altura es la distancia entre [tex]y=1[/tex] e [tex]y=3[/tex]: [tex]h=2[/tex].
[tex]S=1\times 2=2[/tex]