El plano coordenado - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
La simetría del punto A con respecto al punto O es el punto A', que se encuentra en la misma línea que A y O. O está a medio camino entre A y A'. El punto A es el vértice de un rectángulo en el cuadrante I con una longitud de 2 y un ancho de 3 y cuya diagonal es OA. El punto A' es el vértice de un rectángulo del mismo tamaño, pero en el cuadrante III y con diagonal OA'. Las coordenadas del punto A'son (-2, -3).

Solución:
AB es paralelo al eje x y tiene una longitud de 7 - 2 = 5 unidades. La longitud de AM es igual a la mitad de la longitud de AB = 2,5 unidades. Las coordenadas del punto M son (2 + 2,5, 3) = (4,5 , 3).

Solución:
Si el cuadrado tiene un área de 9 unidades cuadradas, entonces su lado tiene una longitud de 3 unidades. Si O es donde se encuentran los ejes, entonces los puntos C y B se encuentran en los ejes x e y, y tienen las coordenadas (3, 0) y (0, 3). El punto A está a 3 unidades del eje x y a 3 unidades del eje y, y tiene las coordenadas (3, 3).

Solución:
Los puntos que se encuentran en el círculo deben estar a una distancia de 2 unidades de O. Los puntos que cumplen esta condición son A, D, G y J. Los otros están a una distancia mayor que 2 del punto O.

Solución:
El triángulo ABC se puede incluir dentro del cuadrado MOCN. Podemos expresar el área del triángulo como la diferencia entre el área del cuadrado y el área de los 3 triángulos rectos. El área del cuadrado MOCN es de 9 unidades cuadradas. El área del triángulo AMB es de 2 unidades cuadradas. El área del triángulo BOC es 1,5 unidades cuadradas. El área del triángulo CAN es de 1,5 unidades cuadradas. Por lo tanto, el área del triángulo ABC es 9 - (2 + 1,5 + 1,5) = 9 - 5 = 4 unidades cuadradas.

Solución:
De [tex]D(-4; -1)[/tex] a [tex]B(6; 4)[/tex] la abscisa aumenta en [tex]10[/tex] y la ordenada en [tex]5[/tex], es decir, a lo largo de [tex]DB[/tex] la ordenada crece la mitad que la abscisa.
De [tex]D[/tex] al eje [tex]Oy[/tex] la abscisa aumenta en [tex]4[/tex] (de [tex]-4[/tex] a [tex]0[/tex]), así que la ordenada aumenta en [tex]2[/tex]: [tex]M(0; -1+2)=M(0; 1)[/tex].
[tex]a=AM=1-(-2)=3[/tex], [tex]b=CM=6-1=5[/tex]
[tex]a:b=3:5[/tex]

Solución:
El ángulo recto puede estar en [tex]O[/tex], en [tex]M[/tex] o en [tex]N[/tex].
Ángulo recto en [tex]O[/tex] ([tex]ON=OM[/tex], [tex]ON\perp OM[/tex]): [tex]N(-2; 2)[/tex] o [tex]N(2; -2)[/tex].
Ángulo recto en [tex]M[/tex] ([tex]MN=MO[/tex], [tex]MN\perp MO[/tex]): [tex]N(4; 0)[/tex] o [tex]N(0; 4)[/tex].
Ángulo recto en [tex]N[/tex] ([tex]OM[/tex] es la hipotenusa): [tex]N(2; 0)[/tex] o [tex]N(0; 2)[/tex].
En total, [tex]2+2+2=6[/tex] posibilidades.

Solución:
Área de [tex]ABC[/tex]: lo encerramos en el rectángulo [tex]-5\le x\le 2[/tex], [tex]-6\le y\le 0[/tex] de área [tex]7\times 6=42[/tex] y restamos tres triángulos rectángulos:
[tex]S_{ABC}=42-\frac{2\times 6}{2}-\frac{7\times 2}{2}-\frac{5\times 4}{2}=42-6-7-10=19[/tex]
Los triángulos [tex]APC[/tex] y [tex]ABC[/tex] tienen la misma altura desde [tex]C[/tex], así que [tex]S_{APC}=\frac{AP}{AB}\times S_{ABC}=\frac{2}{5}\times 19[/tex].
Los triángulos [tex]APM[/tex] y [tex]APC[/tex] tienen la misma altura desde [tex]P[/tex], así que
[tex]S_{APM}=\frac{AM}{AC}\times S_{APC}=\frac{4}{5}\times \frac{2}{5}\times 19=\frac{152}{25}=6{,} 08[/tex]