Ángulos - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Hacemos que la línea EF sea más larga hasta que intersecta la línea AB en el punto M. ∠DEF y ∠AME son correspondientes. Como DE y AM son paralelos, m∠AME también tiene 45°. ∠AME y ∠ABC son correspondientes. Como MF y BC son paralelos, ∠ABC también tiene 45°. Para concluir, dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos dos por dos tienen la misma medida.

Solución:
Hacemos el lado EF más largo hasta que intersecte el lado AB en el punto M. ∠DEF y ∠AME son correspondientes. Como DE y AM son paralelos, ∠AME también tiene 130°. ∠AME y ∠ABC son correspondientes. Como MF y BC son paralelos, ∠ABC también tiene 130°. Para concluir, dos ángulos cuyos lados son paralelos dos por dos tienen la misma medida.

Solución:
Hacemos que EF sea más largo hasta que intersecte AB en el punto M. ∠DEF y ∠AMN son correspondientes. Como DE y AM son paralelos, ∠AMN y ∠DEF son iguales. ∠AME y ∠ABC son correspondientes. Como MF y BC son paralelos, m∠AME = 40°. ∠AMN y ∠AME son adyacentes y suplementarios. Por lo tanto, m∠AMN = 140°, entonces m∠DEF = 140°. Dos concluyen, dos ángulos, uno de ellos agudo y otro obtuso, cuyos lados son paralelos, son suplementarios.

Solución:
Sea [tex]2\varphi[/tex] el ángulo obtuso en [tex]B[/tex]; la bisectriz [tex]BC[/tex] lo divide en dos ángulos de [tex]\varphi[/tex].
Como [tex]a\parallel b[/tex], la recta [tex]BC[/tex] forma con [tex]a[/tex] los mismos ángulos que con [tex]b[/tex] (ángulos alternos): [tex]\varphi[/tex] y [tex]180^\circ-\varphi[/tex].
[tex]\varphi\lt 90^\circ[/tex] (porque [tex]2\varphi\lt 180^\circ[/tex]), así que [tex]180^\circ-\varphi=125^\circ \Rightarrow \varphi=55^\circ[/tex].
Los ángulos obtusos miden [tex]2\times 55^\circ=110^\circ[/tex] y los agudos [tex]180^\circ-110^\circ=70^\circ[/tex]: los ocho ángulos miden [tex]110^\circ[/tex] o [tex]70^\circ[/tex].

Solución:
Sean [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex] los puntos donde la secante corta a las rectas, [tex]2\alpha[/tex] (en [tex]A[/tex]) y [tex]2\beta[/tex] (en [tex]B[/tex]) los ángulos conjugados internos, y [tex]M[/tex] el punto de corte de las bisectrices.
En el triángulo [tex]ABM[/tex]: [tex]\angle MAB=\alpha[/tex], [tex]\angle MBA=\beta[/tex], [tex]\angle AMB=90^\circ[/tex]. Los ángulos de un triángulo suman [tex]180^\circ[/tex]:
[tex]\alpha+\beta+90^\circ=180^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=90^\circ \Rightarrow 2\alpha+2\beta=180^\circ[/tex]
Los ángulos conjugados internos suman [tex]180^\circ[/tex], así que las rectas son paralelas.