Ángulos - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Como los ángulos son adyacentes, comparten el vértice B y el lado BC. ∠ABD = ∠ABC + ∠DBC = 53° + 29° = 82°.

Solución:
∠ABC y ∠CBD son ángulos adyacentes. Por lo tanto, ∠ABC = ∠ABD - ∠DBC = 127° - 85° = 42°.

Solución:
Como AC es la bisectriz de ∠BAD, este ángulo es dos veces mayor que ∠BAC. La medida de ∠BAD es 104°.

Solución:
Si ∠AOB y ∠BOC son adyacentes y complementarios, entonces
∠AOB + ∠BOC = 90°
x° + 8° + 2x° - 17° = 90°
3x° - 9° = 90°
3x° = 99°
X° = 33°
Por lo tanto, ∠AOB = 41°

Solución:
OE es la bisectriz, entonces ∠BOC = 2∠EOC = 60°. ∠AOB y ∠BOC son suplementarios, por lo que ∠AOB = 180° - 60° = 120°.

Solución:
∠13 y ∠11 son ángulos alternos internos. Como las líneas a y b son paralelas, las medidas de estos ángulos son iguales. Así, ∠11 también tiene 40°. ∠11 y ∠3 son correspondientes. Como las líneas c y d son paralelas, las medidas de estos ángulos son iguales. Por lo tanto, ∠3 tiene 40°. ∠3 y ∠2 son adyacentes y suplementarios. Por lo tanto, ∠2 = 180° - 40° = 140°.

Solución:
∠AOC y ∠BOC son adyacentes y suplementarios. Por lo tanto, ∠AOC + ∠BOC = 180°.
x° + 4x° = 180°
5x° = 180°
x° = 36°
Por lo tanto, m∠AOC = 36° y m∠BOC = 144°. ∠AOD y ∠BOC son ángulos opuestos, por lo que mODAOD = 144°.

Solución:
∠AOC y ∠BOC son adyacentes y suplementarios. Por lo tanto, ∠AOC + ∠BOC = 180°.
x + 20° + x = 180°
2x + 20° = 180°
2x = 160°
x = 80°
Por lo tanto, m∠BOC = 80° y m∠AOC = 100°. ∠BOD y ∠AOC son ángulos opuestos, por lo que su medida es de 100°.

Solución:
Como son suplementarios, su suma es 180°.
2x° + 10° + 80° + 3x° -20° = 180°
5x° + 70° = 180°
5x° = 110°
x° = 22°
Así, ∠AOB = 54°.

Solución:
Los cuatro ángulos suman [tex]360^\circ[/tex], así que los otros tres suman [tex]360^\circ-\alpha[/tex]:
[tex]\alpha=\frac{2}{3}(360^\circ-\alpha) \Rightarrow 3\alpha=720^\circ-2\alpha \Rightarrow 5\alpha=720^\circ \Rightarrow \alpha=144^\circ[/tex]

Solución:
Los dos ángulos adyacentes a [tex]\alpha[/tex] son iguales (opuestos por el vértice), cada uno mide [tex]180^\circ-\alpha[/tex]:
[tex]\alpha=4\times 2(180^\circ-\alpha) \Rightarrow 9\alpha=1440^\circ \Rightarrow \alpha=160^\circ[/tex]
Cada ángulo adyacente mide [tex]180^\circ-160^\circ=20^\circ[/tex].
[tex]50^\circ 38'-20^\circ=30^\circ 38'[/tex]

Solución:
[tex]\angle AOD=180^\circ-143^\circ=37^\circ[/tex]
[tex]OC[/tex] no puede estar entre [tex]OA[/tex] y [tex]OD[/tex] (porque [tex]37^\circ\lt 90^\circ[/tex]), así que [tex]OD[/tex] está entre [tex]OA[/tex] y [tex]OC[/tex]:
[tex]\angle AOC=\angle AOD+\angle DOC=37^\circ+90^\circ=127^\circ[/tex]

Solución:
[tex]\angle DAM=2\times 38^\circ=76^\circ[/tex]
[tex]\angle CAM=180^\circ-76^\circ=104^\circ[/tex]
[tex]\angle LAM=\frac{104^\circ}{2}=52^\circ[/tex]

Solución:
[tex]5x+7x+2x=180^\circ \Rightarrow 14x=180^\circ[/tex]
[tex]\angle COD=7x=\frac{7\times 180^\circ}{14}=90^\circ[/tex]

Solución:
Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares, así que el ángulo entre ellas mide [tex]90^\circ[/tex].
La mitad de uno de los ángulos mide [tex]90^\circ-15^\circ=75^\circ[/tex], así que ese ángulo mide [tex]150^\circ[/tex] y el otro [tex]30^\circ[/tex].

Solución:
Como [tex]\angle AOC\lt \angle BOC[/tex], la semirrecta [tex]OA[/tex] está dentro del ángulo [tex]BOC[/tex]:
[tex]\angle BOC=\angle BOA+\angle AOC[/tex]
[tex]3x=50^\circ+x \Rightarrow 2x=50^\circ \Rightarrow x=25^\circ[/tex]

Solución:
Los ángulos conjugados internos entre paralelas suman [tex]180^\circ[/tex]:
[tex]x+(x+28^\circ)=180^\circ \Rightarrow x=76^\circ; x+28^\circ=104^\circ[/tex]
Los ocho ángulos miden [tex]76^\circ[/tex] o [tex]104^\circ[/tex] (cuatro de cada tipo).