Solución:
Comprobar si el sistema está definido para dos variables es una tarea difícil, por lo que encontraremos las soluciones posibles para el sistema y comprobaremos directamente si el sistema está definido para ellas. Sólo escribiremos [tex]\begin{array}{|l}x+y>0\\x-y>0\end{array}[/tex] por ahora.
[tex]\begin{array}{|l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=log_432\\log_3(x^2-y^2)=1\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{1}{2}log_232\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{5}{2}\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x^2+y^2=\frac{5}{2}xy\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x^2-2xy+y^2=\frac{1}{2}xy\\(x-y)(x+y)=3\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(x-y)^2=\frac{xy}{2}\\(x-y)(x+y)=3\end{array}[/tex], dividimos la primera con el cuadrado de la segunda:
[tex]\frac{1}{(x+y)^2}=\frac{xy}{18}[/tex], o [tex](x+y)^2=\frac{18}{xy}[/tex]. Obtenemos el sistema
[tex]\begin{array}{|l}x^2+2xy+y^2=\frac{18}{xy}\\x^2-2xy+y^2=\frac{xy}{2}\end{array}[/tex], ahora las restamos
[tex]4xy=\frac{18}{xy}-\frac{xy}{2}[/tex]
[tex]\frac{9}{2}xy=\frac{18}{xy}[/tex]
[tex](xy)^2=4[/tex]
[tex]xy = \pm 2[/tex]. Pero no puede ser negativo, porque [tex]2(x-y)^2=xy[/tex], por lo tanto [tex]xy=2[/tex]. Sustituyendo de nuevo en el sistema obtenemos
[tex]\begin{array}{|l}(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=x^2+y^2-4=1\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x^2+y^2=5\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex], las sumamos:
[tex]2x^2=8[/tex], así que [tex]x_1=2[/tex] y [tex]x_2=-2[/tex]. [tex]y_1=\frac{2}{x_1}=1[/tex] y [tex]y_2=\frac{2}{x_2}=-1[/tex]. Ahora debemos comprobar si son soluciones. [tex]x_1+y_1=3>0[/tex], [tex]x_1-y_1=1>0[/tex], por lo que [tex](2;1)[/tex] es una solución del sistema. [tex]x_2+y_2=-3<0[/tex], por lo tanto [tex](-2;-1)[/tex] no es una solución.
La solución final es x=2.
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