Kako se rešavaju zadaci sa graničnim vrednostima?

Ova stranica je praktičan vodič za nalaženje graničnih vrednosti funkcija. Prvo što uvek treba pokušati jeste zamena. U nastavku je objašnjeno šta da radite kada zamena ne daje odgovor: jednostrane granične vrednosti, oblici $0/0$ i $\infty/\infty,$ značajne granične vrednosti, Lopitalovo pravilo i ostali neodređeni oblici. Svaki postupak je objašnjen na rešenim primerima, a na kraju su zadaci za vežbu sa odgovorima.

Ako se sa graničnim vrednostima srećete prvi put, počnite od lekcija Granične vrednosti (intuitivni uvod) i Granične vrednosti i metode izračunavanja.

Na ovoj stranici: Šta je granična vrednost · Osobine graničnih vrednosti · Jednostrane granične vrednosti · Neodređeni oblik 0/0 · Značajne granične vrednosti · Limesi u beskonačnosti · Lopitalovo pravilo · Ostali neodređeni oblici · Pregled · Zadaci za vežbu

Šta je granična vrednost?

Granična vrednost funkcije u tački $a$ je broj kojem se vrednosti funkcije približavaju kada se $x$ sve više približava broju $a.$ Simbolički se to zapisuje ovako:

$$\lim_{x\to a}f(x)=L.$$

Čita se „granična vrednost funkcije $f(x)$ kada $x$ teži ka $a$ jednaka je $L$“. To znači da vrednosti $f(x)$ možemo proizvoljno približiti broju $L$ tako što uzmemo $x$ dovoljno blizu $a$ (ali ${x\ne a}$).

Važne su samo vrednosti u blizini tačke $a,$ a ne vrednost u tački $a.$ Na slici funkcija ima neku vrednost $f(a)$ u samoj tački $a,$ ali se njene vrednosti u blizini tačke $a$ približavaju broju $L,$ pa je granična vrednost jednaka $L.$ Funkcija čak ne mora ni da bude definisana u tački $a.$

Granična vrednost može biti i beskonačna: ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ (ili $-\infty$) znači da vrednosti neograničeno rastu (ili neograničeno opadaju). Osim toga, $x$ može da teži ka $+\infty$ ili $-\infty$ umesto ka nekom broju. Najzad, može se desiti da granična vrednost uopšte ne postoji, kao što ćemo videti kod jednostranih graničnih vrednosti.

Osobine graničnih vrednosti

Ako granične vrednosti ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ i ${\lim_{x\to a}g(x)=M}$ postoje (to su brojevi) i ako je $c$ konstanta, onda je:

Osobina	Formula
Konstanta	${\lim_{x\to a}c=c}$
Identička funkcija	${\lim_{x\to a}x=a}$
Konstantni činilac	${\lim_{x\to a}[c\,f(x)]=c\,L}$
Zbir	${\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]}={L+M}$
Razlika	${\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]}={L-M}$
Proizvod	${\lim_{x\to a}[f(x)\,g(x)]=L\,M}$
Količnik	${\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}},$  ako je ${M\ne0}$
Stepen	${\lim_{x\to a}[f(x)]^n=L^n},$  ${n=1,2,3,\ldots}$
Koren	${\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}};$ za parno $n$ treba ${f(x)\ge0}$ blizu $a$

Iste osobine važe i za jednostrane granične vrednosti, kada ${x\to a-0}$ i ${x\to a+0},$ a sve osim osobine identičke funkcije i kada ${x\to\pm\infty}.$ Pri tome $L$ i $M$ moraju biti brojevi, a za količnik mora biti i ${M\ne0}.$ Ako to nije ispunjeno, primenite metode opisane dalje na ovoj stranici.

Neposredna zamena

Iz ovih osobina dobija se granična vrednost polinoma u bilo kojoj tački $a\text{:}$ to je vrednost polinoma u tački $a.$ Isto važi i za racionalnu funkciju čiji imenilac nije $0$ u tački $a.$ Funkcije $\sin x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln x$ i $\sqrt{x}$ ponašaju se na isti način u svakoj tački unutar svog domena (one su neprekidne). Za sve takve funkcije je

${\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}\text{:}$ dovoljno je izvršiti zamenu ${x=a}.$

Primer 1. Nađite ${\lim_{x\to1}(4x^2-8x^5+x+12)}.$

Najpre primenimo osobine, korak po korak:

${\lim_{x\to1}(4x^2-8x^5+x+12)}={\lim_{x\to1}4x^2-\lim_{x\to1}8x^5}+{\lim_{x\to1}x+\lim_{x\to1}12}$ osobine zbira i razlike

$={4\lim_{x\to1}x^2-8\lim_{x\to1}x^5}+{\lim_{x\to1}x+\lim_{x\to1}12}$ izvlačenje konstantnog činioca

$={4\cdot1^2-8\cdot1^5+1+12}={9}$ osobine stepena, identičke funkcije i konstante

U praksi srednje redove preskačemo i odmah vršimo zamenu: ${4\cdot1^2-8\cdot1^5+1+12}={9}.$

Primer 2. Nađite granične vrednosti.

a) ${\lim_{x\to4}(6x^4+5x^3-4x+16)}={6\cdot4^4+5\cdot4^3}-{4\cdot4+16}={1536+320-16+16}={{1856};}$

b) ${\lim_{x\to2}(12x^5+2\sin x+15x-4)}={12\cdot2^5+2\sin2}+{15\cdot2-4}={410+2\sin2}\approx{411{,}82}$  (ugao $2$ je izražen u radijanima);

v) ${\lim_{x\to2}\frac{x^2+1}{x+3}}={\frac{2^2+1}{2+3}}={1},$  jer imenilac nije $0$ za ${x=2}.$

Vrste graničnih vrednosti: jednostrane i dvostrane

Postoje tri osnovne vrste graničnih vrednosti u tački $a\text{:}$

• leva granična vrednost: $x$ se približava broju $a$ sleva (${x\lt a}$);
• desna granična vrednost: $x$ se približava broju $a$ zdesna (${x\gt a}$);
• dvostrana granična vrednost: $x$ se približava broju $a$ sa obe strane.

1. Leva granična vrednost

${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ znači da se $f(x)$ približava broju $L$ kada se $x$ približava broju $a$ uzimajući vrednosti manje od $a.$ Zapis $a-0$ samo pokazuje stranu; on ne znači da se od $a$ nešto oduzima.

2. Desna granična vrednost

${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}$ znači da se $f(x)$ približava broju $L$ kada se $x$ približava broju $a$ uzimajući vrednosti veće od $a.$ I ovde zapis $a+0$ samo pokazuje stranu.

3. Dvostrana granična vrednost

Obična granična vrednost ${\lim_{x\to a}f(x)}$ je dvostrana granična vrednost. Ona postoji samo ako obe jednostrane granične vrednosti postoje i jednake su:

${\lim_{x\to a}f(x)=L}$  ako i samo ako  ${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ i ${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}.$

Za funkcije iz prethodnog odeljka obe jednostrane granične vrednosti jednake su $f(a),$ pa se sve tri granične vrednosti nalaze zamenom. Na primer, ${\lim_{x\to4-0}(6x^4+5x^3-4x+16)}={1856},$ isto kao dvostrana granična vrednost u primeru 2a. Jednostrane granične vrednosti su važne tamo gde se funkcija ponaša različito sa dve strane tačke $a\text{:}$ kod funkcija zadatih po delovima, kod apsolutnih vrednosti i kod razlomaka čiji je imenilac jednak $0$ u tački $a.$

Primer 3. Nađite jednostrane granične vrednosti i graničnu vrednost funkcije $f$ u tački ${x=1},$ gde je

$$f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x\lt1,\\ 4-x, & x\ge1.\end{cases}$$

Levo od $1$ funkcija je zadata izrazom ${x^2+1},$ a desno izrazom ${4-x}\text{:}$

${\lim_{x\to1-0}f(x)}={\lim_{x\to1-0}(x^2+1)}={{2},}$   ${\lim_{x\to1+0}f(x)}={\lim_{x\to1+0}(4-x)}={{3}.}$

Jednostrane granične vrednosti su različite, pa ${\lim_{x\to1}f(x)}$ ne postoji: grafik „skače“ u tački ${x=1}.$ Vrednost ${f(1)=3}$ to ne menja. U svakoj drugoj tački granična vrednost se nalazi zamenom u formulu koja važi u blizini te tačke, na primer ${\lim_{x\to3}f(x)=4-3=1}.$

Apsolutne vrednosti

Primer 4. Nađite ${\lim_{x\to+0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}}$ i ${\lim_{x\to-0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}}.$

Za ${0\lt x\lt\pi}$ je ${\sin x\gt0},$ pa je ${\lvert\sin x\rvert=\sin x}$ i razlomak je jednak $1.$ Za ${-\pi\lt x\lt0}$ je ${\sin x\lt0},$ pa je ${\lvert\sin x\rvert=-\sin x}$ i razlomak je jednak $-1.$ Prema tome,

${\lim_{x\to+0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}=1},$   ${\lim_{x\to-0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}=-1},$

a dvostrana granična vrednost u tački $0$ ne postoji.

Kada se u izrazu javlja apsolutna vrednost, nađite gde izraz pod znakom apsolutne vrednosti menja znak i oslobodite se apsolutne vrednosti posebno sa svake strane te tačke.

Broj različit od nule podeljen nulom

Ako zamenom dobijete ${\frac{c}{0}},$ gde je ${c\ne0},$ apsolutna vrednost razlomka neograničeno raste, a jednostrane granične vrednosti su $+\infty$ ili $-\infty.$ Koja je od njih u pitanju, određuje znak razlomka sa svake strane tačke $a$ (kada je imenilac polinom, u blizini tačke $a$ znak je stalan sa svake strane).

Primer 5. Nađite ${\lim_{x\to3-0}\frac{x+2}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+2}{x-3}}$ i ${\lim_{x\to3}\frac{x+2}{(x-3)^2}}.$

Brojilac teži ka $5,$ a imenioci teže ka $0.$ Za $x$ nešto manje od $3,$ ${x-3}$ je mali negativan broj, a za $x$ nešto veće od $3$ to je mali pozitivan broj:

${\lim_{x\to3-0}\frac{x+2}{x-3}=-\infty},$   ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+2}{x-3}=+\infty}.$

Kvadrat ${(x-3)^2}$ je pozitivan sa obe strane, pa je ${\lim_{x\to3}\frac{x+2}{(x-3)^2}=+\infty}.$

Neodređeni oblik $0/0\text{:}$ prvo uprostite

Ako zamenom dobijete ${\frac{0}{0}},$ izraz nema vrednost u tački $a,$ ali granična vrednost ipak može da postoji. Zapis ${\frac{0}{0}}$ naziva se neodređeni oblik: on ne kaže kolika je granična vrednost, već samo da zadatak treba dalje rešavati. Izraz treba transformisati tako da zamena može da se izvrši. Smete da skratite činioce koji su jednaki $0$ u tački $a,$ jer granična vrednost zavisi samo od vrednosti za ${x\ne a}.$

Rastavljanje na činioce i skraćivanje

Primer 6. Nađite ${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}.$

Zamenom dobijamo ${\frac{16-16}{8-8}=\frac{0}{0}}.$ Oba polinoma imaju činilac ${x-2}\text{:}$

${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}={\lim_{x\to2}\frac{4x(x-2)}{4(x-2)}}={\lim_{x\to2}x}={{2}.}$

Primer 7. Nađite ${\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}}.$

${\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}}={\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\lim_{x\to-1}\frac{x^2-x+1}{x-1}}={\frac{3}{-2}}={{-\frac{3}{2}}.}$

Ako su dva polinoma jednaka $0$ za ${x=a},$ oba su deljiva sa ${x-a},$ pa se taj činilac uvek može skratiti (Hornerova šema brzo daje količnike). Ako ponovo dobijete ${\frac{0}{0}},$ skratite još jednom.

Množenje konjugovanim izrazom

Primer 8. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}.$

Ponovo dobijamo ${\frac{0}{0}}.$ Brojilac i imenilac pomnožite konjugovanim izrazom ${\sqrt{x+4}+2}.$ Pošto je ${(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}={x+4-4}={{x},}$

${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}={\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}}={\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$

Značajne granične vrednosti

Neke granične vrednosti ne mogu da se nađu samo algebarskim transformacijama: prvih pet u tabeli ispod ima oblik ${\frac{0}{0}},$ a poslednja oblik $1^\infty.$ One se dokazuju jedanput, a zatim se koriste kao poznati rezultati (uglovi su u radijanima):

${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}}$

${\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e}$

Funkcija ${\frac{\sin x}{x}}$ nije definisana u tački $0,$ pa je na njenom grafiku tu izostavljena tačka $(0,\,1)\text{:}$ granična vrednost ove funkcije u tački $0$ jednaka je $1.$ U svakoj formuli iz tabele $x$ može da se zameni, na svakom mestu gde se pojavljuje, bilo kojim izrazom koji teži ka $0$ (a u blizini te tačke nije jednak $0$). Na primer, ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}=1},$ jer ${u=5x}$ teži ka $0$ kada $x$ teži nuli.

Primer 9. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}}={\lim_{x\to0}\left(\frac{5}{2}\cdot\frac{\sin5x}{5x}\right)}={\frac{5}{2}\cdot1}={{\frac{5}{2}}.}$

Primer 10. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\sin x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\sin x}}={\lim_{x\to0}\left(3\cdot\frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot\frac{x}{\sin x}\right)}={3\cdot1\cdot1}={{3}.}$

Granične vrednosti u beskonačnosti

Kada ${x\to+\infty}$ ili ${x\to-\infty},$ polinom se ponaša kao svoj član najvišeg stepena. Kod količnika dva polinoma zamena daje ${\frac{\infty}{\infty}},$ još jedan neodređeni oblik. Brojilac i imenilac tada podelite najvećim stepenom promenljive $x$ u imeniocu.

Primer 11. Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{1-4x^3}}.$

${\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{1-4x^3}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2/x^2}{1/x^3-4}}={\frac{5-0}{0-4}}={{-\frac{5}{4}}.}$

Primer 12. Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)}.$

Ovde zamena daje ${\infty-\infty}.$ Pomnožite i podelite konjugovanim izrazom ${\sqrt{x^2+3x}+x},$ a zatim brojilac i imenilac podelite sa $x$ (za ${x\gt0}$ je ${\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+3/x}}$):

${\sqrt{x^2+3x}-x}={\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}}={\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}}={{\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}}.}$

Kada ${x\to+\infty},$ ovaj izraz teži ka ${\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}}.$ Dakle, granična vrednost je ${\frac{3}{2}},$ iako bi zapis „${\infty-\infty}$“ mogao da navede na pomisao da je ona $0.$ Više primera ima u odeljku Granične vrednosti u beskonačnosti.

Izračunavanje graničnih vrednosti Lopitalovim pravilom

Lopitalovo pravilo (ime se u originalu piše L'Hôpital ili L'Hospital) zamenjuje graničnu vrednost oblika ${\frac{0}{0}}$ ili ${\frac{\infty}{\infty}}$ graničnom vrednošću količnika izvoda. Da biste ga primenjivali, treba da umete da nalazite izvode.

Brojilac i imenilac diferenciraju se odvojeno. To nije pravilo za izvod količnika: sam razlomak ${\frac{f(x)}{g(x)}}$ se ne diferencira.

Zašto pravilo važi u najjednostavnijem slučaju: ako je ${f(a)=g(a)=0},$ ako su $f'$ i $g'$ neprekidne u tački $a$ i ako je ${g'(a)\ne0},$ onda je za ${x\ne a}$

${\frac{f(x)}{g(x)}}={\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={{\frac{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}},}$

a ova dva količnika priraštaja teže redom ka $f'(a)$ i $g'(a).$ Dakle, granična vrednost je ${\frac{f'(a)}{g'(a)}},$ a to je upravo ${\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}},$ jer su $f'$ i $g'$ neprekidne.

Primer 13. Nađite ${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}$ pomoću Lopitalovog pravila.

Za ${x=2}$ oba izraza, ${4x^2-8x}$ i ${4x-8},$ jednaka su $0,$ pa imamo oblik ${\frac{0}{0}}.$ Izvodi su ${(4x^2-8x)'=8x-8}$ i ${(4x-8)'=4},$ pa je

${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}={\lim_{x\to2}\frac{8x-8}{4}}={\frac{16-8}{4}}={{2},}$

što je isti rezultat koji smo u primeru 6 dobili rastavljanjem na činioce.

Primer 14 (pravilo primenjeno dva puta). Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}={\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}}={\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}}={{\frac{1}{2}}.}$

Posle prvog koraka granična vrednost je i dalje oblika ${\frac{0}{0}},$ pa pravilo primenjujemo ponovo. (U drugom koraku mogla je da se iskoristi i prva značajna granična vrednost ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}.$)

Primer 15 (oblik ${\frac{\infty}{\infty}}$). Nađite granične vrednosti.

a) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}={{0};}$

b) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}}={{0}.}$

Ako pravilo primenimo $n$ puta, dobijamo ${\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0}$ za svako $n.$ Dakle, $e^x$ raste brže od bilo kog stepena promenljive $x,$ a (prema delu a) $\ln x$ raste sporije od $x.$

Ostali neodređeni oblici

Pored ${\frac{0}{0}}$ i ${\frac{\infty}{\infty}},$ neodređeni oblici su i ${0\cdot\infty},$ ${\infty-\infty},$ $1^\infty,$ $0^0$ i $\infty^0.$ Svedite ih na razlomak, a zatim uprostite izraz ili primenite Lopitalovo pravilo:

Oblik	Kako se transformiše
${0\cdot\infty}$	${f\cdot g=\frac{f}{1/g}}$  ili  ${\frac{g}{1/f}}$
${\infty-\infty}$	zajednički imenilac ili konjugovani izraz
$1^\infty,$ $0^0,$ $\infty^0$	${f^g=e^{g\ln f}}$ (za ${f\gt0}$): nađite graničnu vrednost $K$ izraza ${g\ln f};$ odgovor je $e^K$

Primer 16 (${0\cdot\infty}$). Nađite ${\lim_{x\to+0}x\ln x}.$

Kada ${x\to+0},$ onda ${\ln x\to-\infty}.$ Proizvod napišite kao razlomak oblika ${\frac{\infty}{\infty}}$ (ovde ${\frac{-\infty}{+\infty}}$):

${\lim_{x\to+0}x\ln x}={\lim_{x\to+0}\frac{\ln x}{1/x}}={\lim_{x\to+0}\frac{1/x}{-1/x^2}}={\lim_{x\to+0}(-x)}={{0}.}$

Primer 17 (${\infty-\infty}$). Nađite ${\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}.$

Razlomke svedite na zajednički imenilac. Dobija se oblik ${\frac{0}{0}},$ pa Lopitalovo pravilo primenjujemo dva puta:

${\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}={\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}}={\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{e^x-1+xe^x}}={\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2e^x+xe^x}}={{\frac{1}{2}}.}$

Primer 18 ($1^\infty$). Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x}.$

Osnova teži ka $1,$ a eksponent neograničeno raste. Napišimo ${\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^{x\ln(1+3/x)}}$ i nađimo graničnu vrednost eksponenta. On je oblika ${0\cdot\infty}.$ Zapisan kao razlomak ${\frac{\ln(1+3/x)}{1/x}},$ on je oblika ${\frac{0}{0}}.$

Izvod brojioca ${\ln(1+3/x)}$ je ${\frac{-3/x^2}{1+3/x}=-\frac{3}{x^2+3x}},$ a izvod imenioca ${1/x}$ je ${-1/x^2}.$ Zato je

${\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}={\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+3/x)}{1/x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-3/(x^2+3x)}{-1/x^2}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2+3x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{x+3}}={{3}.}$

Eksponent teži ka $3,$ pa je ${\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^3}.$

Primer 19 ($0^0$). Nađite ${\lim_{x\to+0}x^x}.$

Važi ${x^x=e^{x\ln x}},$ a prema primeru 16 ${x\ln x\to0}.$ Dakle, granična vrednost je ${e^0=1}.$

Pregled: kako se rešava zadatak sa graničnom vrednošću

Stavite ${x=a}$ (kada ${x\to\pm\infty},$ posmatrajte vodeće članove) i postupite prema onome što dobijete:

Dobijate	Šta treba uraditi
broj, a ista formula važi sa obe strane tačke $a$	To je granična vrednost (polinomi, racionalne funkcije, koreni, $\sin x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln x$ unutar svog domena).
funkciju zadatu po delovima ili apsolutnu vrednost: različite formule sa dve strane tačke $a$	Nađite levu i desnu graničnu vrednost; granična vrednost postoji samo ako su one jednake.
${\frac{c}{0}},$ ${c\ne0}$	Jednostrane granične vrednosti su beskonačne: $+\infty$ ili $-\infty,$ zavisno od znaka sa svake strane.
${\frac{0}{0}}$	Rastavite na činioce i skratite, pomnožite konjugovanim izrazom, primenite značajnu graničnu vrednost ili Lopitalovo pravilo.
${\frac{\infty}{\infty}}$	Podelite najvećim stepenom promenljive $x$ ili primenite Lopitalovo pravilo.
${0\cdot\infty},$ ${\infty-\infty}$	Svedite na jedan razlomak.
$1^\infty,$ $0^0,$ $\infty^0$	Koristite ${f^g=e^{g\ln f}}.$

Zadaci za vežbu

1. Nađite ${\lim_{x\to2}(3x^3-x+5)}.$

Odgovor

Zamenom dobijamo ${3\cdot2^3-2+5}={24-2+5}={{27}.}$

2. Neka je ${f(x)=2x+1}$ za ${x\lt1}$ i ${f(x)=x^2+3}$ za ${x\ge1}.$ Nađite ${\lim_{x\to1-0}f(x)}$ i ${\lim_{x\to1+0}f(x)}.$ Da li postoji ${\lim_{x\to1}f(x)}?$

Odgovor

${\lim_{x\to1-0}(2x+1)=3}$ i ${\lim_{x\to1+0}(x^2+3)=4}.$ One su različite, pa granična vrednost u tački $1$ ne postoji.

3. Nađite ${\lim_{x\to-2}\frac{x^2-4}{x^2+5x+6}}.$

Odgovor

Zamenom dobijamo ${\frac{0}{0}}.$ Rastavljanjem na činioce dobijamo ${\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}},$ pa je granična vrednost ${\frac{-4}{1}=-4}.$

4. Nađite ${\lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}}.$

Odgovor

Pošto je ${x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)},$ razlomak je jednak ${\frac{1}{\sqrt{x}+3}},$ a granična vrednost je ${\frac{1}{6}}.$

5. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\sin7x}}.$

Odgovor

Važi ${\frac{\sin3x}{\sin7x}}={\frac{3}{7}\cdot\frac{\sin3x}{3x}\cdot\frac{7x}{\sin7x}},$ pa je granična vrednost ${\frac{3}{7}}.$

6. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}.$

Odgovor

Lopitalovo pravilo primenjujemo tri puta: ${\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}={\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}}={\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x}}={\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6}}={{\frac{1}{6}}.}$

7. Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}}.$

Odgovor

Oblik je ${\frac{\infty}{\infty}};$ Lopitalovo pravilo primenjujemo dva puta: ${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}}={{0}.}$

8. Nađite ${\lim_{x\to+0}x^2\ln x}.$

Odgovor

Važi ${x^2\ln x=\frac{\ln x}{1/x^2}}$ (oblik ${\frac{\infty}{\infty}}$), pa je ${\lim_{x\to+0}\frac{\ln x}{1/x^2}}={\lim_{x\to+0}\frac{1/x}{-2/x^3}}={\lim_{x\to+0}\left(-\frac{x^2}{2}\right)}={{0}.}$

9. Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)}.$

Odgovor

Pomoću konjugovanog izraza: ${\sqrt{x^2+x}-x}={\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}}={{\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}},}$ što teži ka ${\frac{1}{2}}.$

10. Nađite ${\lim_{x\to0}(1+2x)^{1/x}}.$

Odgovor

Važi ${(1+2x)^{1/x}=e^{\ln(1+2x)/x}},$ a ${\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{x}}={\lim_{x\to0}\frac{2}{1+2x}}={2}$ (po Lopitalovom pravilu), pa je granična vrednost $e^2.$

Pogledajte i: Granične vrednosti (intuitivni uvod), Granične vrednosti i metode izračunavanja, Granična vrednost niza, Osobine neprekidnih funkcija i kalkulator prvog izvoda.