Beta funkcija

Kalkulator za beta funkciju

Upišite $m$ i $n$ da biste izračunali $B(m,n)\text{:}$ cele brojeve, decimalne brojeve ili razlomke, na primer 2; 0,5; -1,5 ili 1/3. Kalkulator prikazuje rešenje korak po korak. Tačnu vrednost nalazi kada je $m$ ili $n$ ceo broj ili kada je $m+n$ ceo broj (za brojeve do $40$), a približnu vrednost daje uvek.

Šta je beta funkcija?

Mnoge funkcije nemaju elementarnu primitivnu funkciju, a ipak se neki njihovi određeni integrali mogu tačno izračunati. Velika grupa takvih integrala svodi se na jedan integral sa dva parametra, beta funkciju. Leonard Ojler ju je proučavao zajedno sa gama funkcijom, pa se ove dve funkcije nazivaju i Ojlerovi integrali prve i druge vrste. Beta funkcija se primenjuje u matematičkoj analizi, u teoriji verovatnoće (beta raspodela) i u kombinatorici, gde je tesno povezana sa binomnim koeficijentima.

Definicija beta funkcije $B(m,n)$

Slovo $B$ je veliko grčko slovo beta. Posle integracije promenljiva $t$ nestaje, pa vrednost integrala zavisi samo od dva parametra, $m$ i $n.$ U nekim knjigama piše se $B(x,y),$ $B(p,q)$ ili $B(a,b).$

Zašto $m\gt 0$ i $n\gt 0?$ Kada je $m\ge 1$ i $n\ge 1,$ podintegralna funkcija je neprekidna na segmentu $[0,1],$ pa je integral običan određeni integral. Kada je $0\lt m\lt 1,$ činilac $t^{m-1}=\frac{1}{t^{1-m}}$ neograničeno raste za $t\to 0,$ pa je integral nesvojstven. U okolini tačke $t=0$ drugi činilac $(1-\nobreak t)^{n-1}$ je blizak broju $1,$ pa se integral ponaša kao $\int_0^{1/2}\frac{dt}{t^{p}},$ gde je $p=1-m.$ Ovaj integral konvergira tačno onda kada je $p\lt 1,$ tj. kada je $m\gt 0.$ Isto važi u okolini tačke $t=1$ za činilac $(1-\nobreak t)^{n-1},$ gde je sada $p=1-n.$ Dakle, integral konvergira kada je $m\gt 0$ i $n\gt 0,$ a divergira kada je $m\le 0$ ili $n\le 0.$

Na ovoj stranici: Kalkulator · Prvi primeri · Simetrija · Rekurentne formule · Gama funkcija · Beta i gama · Drugi oblici · Tablica vrednosti · Beta raspodela · Vežbanje

Izračunavanje $B(m,n)$ po definiciji

Kada su $m$ i $n$ prirodni brojevi, podintegralna funkcija je polinom, pa se integral izračunava direktno.

Primer 1. Izračunajte $B(1,1)$ i $B(2,1).$

$B(1,1)=\int_0^1 1\,dt=1$

${B(2,1)}={\int_0^1 t\,dt}={\frac{t^2}{2}\Big\vert_0^1}={\frac{1}{2}}$

Na isti način je ${B(m,1)}={\int_0^1 t^{m-1}\,dt}={\frac{1}{m}}$ za svako $m\gt 0.$

Primer 2. Izračunajte $B(2,3).$

Ovde je $m-1=1$ i $n-1=2.$ Razvijmo $(1-\nobreak t)^2$ i integralimo član po član:

${B(2,3)}={\int_0^1 t(1-t)^2\,dt}={\int_0^1\left(t-2t^2+t^3\right)dt}={\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}={\frac{1}{12}}$

Geometrijski, $B(m,n)$ je površina ispod grafika funkcije $y=t^{m-1}(1-\nobreak t)^{n-1}$ od $t=0$ do $t=1.$

Primer 3. Izračunajte $B\left(\frac{1}{2},1\right).$

Podintegralna funkcija $t^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{t}}$ nije ograničena u okolini tačke $0,$ ali nesvojstveni integral konvergira:

${B\left(\frac{1}{2},1\right)}={\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t}}}={2\sqrt{t}\,\Big\vert_0^1}={2}$

To se slaže sa formulom $B(m,1)=\frac{1}{m}.$ Za većinu vrednosti $m$ i $n$ koje nisu celi brojevi primitivna funkcija nije elementarna; na primer, $\int t^{1/2}(1-\nobreak t)^{1/3}\,dt$ ne može da se izrazi pomoću elementarnih funkcija. Takve vrednosti računaju se pomoću gama funkcije (videti u nastavku).

Simetrija

Dokaz. U integralu iz definicije uvedimo smenu $t=1-u.$ Tada je $dt=-du,$ vrednosti $t=0$ odgovara $u=1,$ a vrednosti $t=1$ odgovara $u=0\text{:}$

${B(m,n)}={\int_1^0 (1-u)^{m-1}u^{n-1}\,(-du)}={\int_0^1 u^{n-1}(1-u)^{m-1}\,du}={B(n,m)}$

Grafici funkcija $y=t(1-\nobreak t)^4$ i $y=t^4(1-\nobreak t)$ simetrični su u odnosu na pravu $t=\frac{1}{2},$ pa su površine ispod njih jednake: $B(2,5)=B(5,2).$

Rekurentne formule

Dokaz. Pošto je $t+(1-\nobreak t)=1,$ integral $B(m,n)$ se rastavlja na zbir dva integrala:

${B(m,n)}={\int_0^1 t^{m-1}(1-t)^{n-1}\bigl(t+(1-t)\bigr)\,dt}={B(m+1,n)}+{B(m,n+1)}$

Sada na integral $B(m,n+\nobreak 1)$ primenimo parcijalnu integraciju sa $u=(1-\nobreak t)^n$ i $dv=t^{m-1}\,dt,$ tako da je $v=\frac{t^m}{m}\text{:}$

${B(m,n+1)}={\frac{t^m(1-t)^n}{m}\Big\vert_0^1}+{\frac{n}{m}\int_0^1 t^m(1-t)^{n-1}\,dt}={\frac{n}{m}\,B(m+1,n)}$

Prvi sabirak jednak je $0,$ jer je $t^m=0$ za $t=0$ i $(1-\nobreak t)^n=0$ za $t=1.$ Zamenom u prvu jednakost dobijamo ${B(m,n)}={B(m+1,n)}+{\frac{n}{m}\,B(m+1,n)}={\frac{m+n}{m}\,B(m+1,n).}$ To je prva formula. Druga formula sledi iz prve zbog simetrije.

Na primer, $B(1,3)=B(3,1)=\frac{1}{3},$ pa je ${B(2,3)}={\frac{1}{1+3}\,B(1,3)}={\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}}={\frac{1}{12},}$ isto kao u primeru 2.

Kada je $n$ prirodan broj

Pođimo od $B(m,1)=\frac{1}{m}$ i primenimo drugu formulu $n-1$ puta. Za svako $m\gt 0$ i svaki prirodan broj $n$ važi

Ako je i $m$ prirodan broj, imenilac je jednak $\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!},$ pa je

Primer 4. ${B(3,4)}={\frac{2!\cdot 3!}{6!}}={\frac{2\cdot 6}{720}}={\frac{1}{60}.}$

Primer 5. Izračunajte $\int_0^1 x^4(1-\nobreak x)^3\,dx.$

Ovo je $B(m,n)$ za $m-1=4$ i $n-1=3\text{:}$

${\int_0^1 x^4(1-x)^3\,dx}={B(5,4)}={\frac{4!\cdot 3!}{8!}}={\frac{24\cdot 6}{40320}}={\frac{1}{280}}$

Razvijanjem $(1-\nobreak x)^3$ dobija se isti rezultat, ali uz više računanja.

Primer 6. ${B\left(\frac{1}{2},3\right)}={\frac{2!}{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}}}={\frac{2}{\frac{15}{8}}}={\frac{16}{15}.}$

Uporedimo formulu za prirodne brojeve sa binomnim koeficijentom $\binom{N}{k}=\frac{N!}{k!\,(N-k)!}\text{:}$

${B(k+1,N-k+1)}={\frac{k!\,(N-k)!}{(N+1)!}}={\frac{1}{(N+1)\binom{N}{k}}}$

Dakle, kada su $m$ i $n$ prirodni brojevi, $B(m,n)$ je recipročna vrednost nekog celog broja, a beta funkcija uopštava binomne koeficijente na brojeve koji nisu celi.

Gama funkcija

Da bismo izračunali $B(m,n)$ kada ni $m$ ni $n$ nije ceo broj, potrebna nam je gama funkcija:

Njene osnovne osobine:

• $\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\,dt=1.$
• $\Gamma(x+\nobreak 1)=x\,\Gamma(x)$ (dokazuje se parcijalnom integracijom integrala $\int_0^\infty t^{x}e^{-t}\,dt$).
• Za prirodan broj $n$ važi $\Gamma(n)=(n-\nobreak 1)!\text{:}$ $\Gamma(2)=1,$ $\Gamma(3)=2,$ $\Gamma(4)=6,$ $\Gamma(5)=24.$ Dakle, gama funkcija uopštava faktorijel.
• $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ (dokaz je u primeru 7 u nastavku). Odatle je $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi},$ $\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi}=\frac{3}{4}\sqrt{\pi},$ $\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{15}{8}\sqrt{\pi},$ a u opštem slučaju $\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt{\pi}.$
• Formula $\Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x}$ proširuje funkciju $\Gamma$ na negativne brojeve, korak po korak: najpre na interval $(-1,0),$ zatim na $(-2,-\nobreak 1)$ i tako dalje. Na primer, ${\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)}={\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}}={-2\sqrt{\pi}.}$ U tačkama $0,$ $-1,$ $-2,$ ... gama funkcija nije definisana: u blizini tih tačaka $|\Gamma(x)|$ neograničeno raste.
• Formula dopunjavanja (formula refleksije; koristimo je bez dokaza): $\Gamma(x)\,\Gamma(1-\nobreak x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$ za svako $x$ koje nije ceo broj. Za $x=\frac{1}{2}$ ona ponovo daje $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2=\pi.$

Veza beta funkcije i gama funkcije

Dokaz. Zapišimo $\Gamma(m)$ sa promenljivom $x,$ a $\Gamma(n)$ sa promenljivom $y.$ Njihov proizvod je dvostruki integral po prvom kvadrantu:

${\Gamma(m)\,\Gamma(n)}={\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty x^{m-1}y^{n-1}e^{-(x+y)}\,dx\,dy}$

Uvedimo smenu promenljivih $x=uv$ i $y=u(1-\nobreak v),$ gde je $u\gt 0$ i $0\lt v\lt 1$ (tj. $u=x+y$ i $v=\frac{x}{x+y}$). Jakobijan je

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} v & u\\ 1-v & -u\end{vmatrix}$$

$=-uv-u(1-\nobreak v)=-u,$

pa je ${dx\,dy}={|-u|\,du\,dv}={u\,du\,dv.}$ Osim toga, ${x^{m-1}y^{n-1}}={u^{m+n-2}v^{m-1}(1-v)^{n-1}}$ i $x+y=u,$ pa se dvostruki integral rastavlja na proizvod dva integrala:

${\Gamma(m)\,\Gamma(n)}={\int_0^\infty u^{m+n-1}e^{-u}\,du}\cdot {\int_0^1 v^{m-1}(1-v)^{n-1}\,dv}={\Gamma(m+n)\,B(m,n)}$

Kada su $m$ i $n$ prirodni brojevi, zbog $\Gamma(k)=(k-\nobreak 1)!$ ova formula prelazi u ranije izvedenu formulu za prirodne brojeve.

Primer 7. Izračunajte $B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ i $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right).$

Ovde je primitivna funkcija elementarna, jer je ${\left(\arcsin(2t-1)\right)'}={\frac{1}{\sqrt{t(1-t)}}\text{:}}$

${B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}={\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}}={\arcsin(2t-1)\Big\vert_0^1}={\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)}={\pi}$

Prema dokazanoj formuli, $\pi=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\Gamma(1)}=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2.$ Pošto je $\Gamma(x)\gt 0$ za $x\gt 0,$ sledi $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.$

Primer 8. Izračunajte $B\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right).$

${B\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)}={\frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma(4)}}={\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\frac{3}{4}\sqrt{\pi}}{3!}}={\frac{\frac{3\pi}{8}}{6}}={\frac{\pi}{16}}$

Primer 9. Kada je $m+n=1,$ formula dopunjavanja daje ${B(p,1-p)}={\Gamma(p)\,\Gamma(1-p)}={\frac{\pi}{\sin\pi p}}$ za $0\lt p\lt 1.$ Na primer,

${B\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)}={\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}{3}}}={\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}={\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{3}}\approx{3{,}6276}$

Negativne vrednosti $m$ ili $n$

Kada je $m\le 0$ ili $n\le 0,$ integral divergira. Međutim, desna strana formule $B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\,\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ ima smisla i tada, ako nijedan od brojeva $m$ i $n$ nije jednak $0,$ $-1,$ $-2,$ ... (slučaj kada je $m+n$ jedan od tih brojeva razmatramo u nastavku). Za takve brojeve ova formula služi kao definicija vrednosti $B(m,n),$ a vrednosti funkcije $\Gamma$ u negativnim tačkama nalaze se iz formule $\Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x}.$ Simetrija i rekurentne formule i dalje važe, a integralni oblici ne važe.

Primer 10. ${B\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)}={\frac{\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(1)}}={\left(-2\sqrt{\pi}\right)\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}={-\pi.}$

Formula za prirodan broj $n$ važi i za negativne vrednosti $m$ koje nisu celi brojevi: na primer, ${B\left(-\frac{1}{2},2\right)}={\frac{1!}{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}}}={-4.}$ Kada je $m+n$ jednako $0$ ili negativnom celom broju (pri čemu $m$ i $n$ nisu celi brojevi), vrednost $\Gamma(m+\nobreak n)$ nije definisana; tada se za $\frac{1}{\Gamma(m+n)}$ uzima vrednost $0$ (u blizini tih tačaka $|\Gamma(x)|$ neograničeno raste, pa $\frac{1}{\Gamma(x)}\to 0$), pa je $B(m,n)=0.$

Drugi oblici beta funkcije

Smenom promenljive integral iz definicije prelazi u druge integrale. Svaki od njih je koristan alat: kada integral ima jedan od ovih oblika, njegova vrednost je neka vrednost beta funkcije.

Trigonometrijski oblik

Uvedimo smenu $t=\sin^2\theta.$ Tada je $1-t=\cos^2\theta$ i $dt=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta,$ a $\theta$ se menja od $0$ do $\frac{\pi}{2}\text{:}$

${B(m,n)}={\int_0^{\pi/2}\sin^{2m-2}\theta\,\cos^{2n-2}\theta}\cdot {2\sin\theta\cos\theta\,d\theta}={2\int_0^{\pi/2}\sin^{2m-1}\theta\,\cos^{2n-1}\theta\,d\theta}$

Za $p=2m-1$ i $q=2n-1$ pomoću ovog oblika računaju se integrali stepena sinusa i kosinusa:

Na primer, za $p=3$ i $q=1$ dobijamo ${\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\,\cos\theta\,d\theta}={\frac{1}{2}\,B(2,1)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}={\frac{1}{4}.}$ Smena $u=\sin\theta$ daje isti rezultat: $\int_0^1 u^3\,du=\frac{1}{4}.$

Primer 11. Izračunajte $\int_0^{\pi/2}\sin^6\theta\,\cos^4\theta\,d\theta.$

${\int_0^{\pi/2}\sin^6\theta\,\cos^4\theta\,d\theta}={\frac{1}{2}\,B\left(\frac{7}{2},\frac{5}{2}\right)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma(6)}}$

$={\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\cdot\frac{3}{4}\sqrt{\pi}}{120}}={\frac{1}{2}\cdot\frac{45\pi}{32\cdot 120}}={\frac{3\pi}{512}}$

Primer 12. Izračunajte $\int_0^{\pi/2}\sqrt{\operatorname{tg}\theta}\,d\theta.$

Zapišimo $\sqrt{\operatorname{tg}\theta}=\sin^{1/2}\theta\,\cos^{-1/2}\theta.$ Tada je $p=\frac{1}{2}$ i $q=-\frac{1}{2},$ pa na osnovu simetrije i primera 9 dobijamo

${\int_0^{\pi/2}\sqrt{\operatorname{tg}\theta}\,d\theta}={\frac{1}{2}\,B\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)}={\frac{1}{2}\,B\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}{4}}}={\frac{\pi}{\sqrt{2}}}={\frac{\sqrt{2}\,\pi}{2}}$

Integral od $0$ do $\infty$

U definiciji uvedimo smenu $t=\frac{x}{1+x}$ (tj. $x=\frac{t}{1-t}$). Tada je $1-t=\frac{1}{1+x}$ i $dt=\frac{dx}{(1+x)^2},$ a $x$ se menja od $0$ do $\infty\text{:}$

${B(m,n)}={\int_0^\infty\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m-1}}}\cdot {\frac{1}{(1+x)^{n-1}}\cdot\frac{dx}{(1+x)^2}}={\int_0^\infty\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n}}\,dx}$

Primer 13. ${\int_0^\infty\frac{x^2}{(1+x)^6}\,dx}={B(3,3)}={\frac{2!\cdot 2!}{5!}}={\frac{1}{30}}$ (ovde je $m-1=2$ i $m+n=6$).

Primer 14. Izračunajte $\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^4}.$

Uvedimo smenu $x^4=s,$ odakle je $x=s^{1/4}$ i $dx=\frac{1}{4}s^{-3/4}\,ds.$ Novi integral ima gornji oblik sa $m-1=-\frac{3}{4}$ i $m+n=1,$ pa je $m=\frac{1}{4}$ i $n=\frac{3}{4}\text{:}$

${\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^4}}={\frac{1}{4}\int_0^\infty\frac{s^{-3/4}}{1+s}\,ds}={\frac{1}{4}\,B\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)}={\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}{4}}}={\frac{\sqrt{2}\,\pi}{4}}$

Na isti način je ${\int_0^\infty\frac{x^{p-1}}{1+x}\,dx}={B(p,1-p)}={\frac{\pi}{\sin\pi p}}$ za $0\lt p\lt 1.$

Integral od $a$ do $b$

Uvedimo smenu $x=a+(b-\nobreak a)t.$ Tada je $x-a=(b-\nobreak a)t,$ $b-x=(b-\nobreak a)(1-\nobreak t)$ i $dx=(b-\nobreak a)\,dt,$ pa je ${(x-a)^{m-1}(b-x)^{n-1}\,dx}={(b-a)^{m+n-1}\,t^{m-1}(1-t)^{n-1}\,dt,}$ a $t$ se menja od $0$ do $1.$

Primer 15. Izračunajte $\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)^{3/2}dx.$

Pošto je $1-x^2=(x+\nobreak 1)(1-\nobreak x),$ ovo je gornji oblik sa $a=-1,$ $b=1$ i $m=n=\frac{5}{2}\text{:}$

${\int_{-1}^1 (x+1)^{3/2}(1-x)^{3/2}\,dx}={2^4\,B\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)}={16\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)^2}{\Gamma(5)}}={16\cdot\frac{\frac{9\pi}{16}}{24}}={\frac{3\pi}{8}}$

Oblik sa parametrom

Zapišimo definiciju sa promenljivom $s\text{:}$ ${B(m,n)}={\int_0^1 s^{m-1}(1-s)^{n-1}\,ds,}$ i uvedimo smenu $s=\frac{(r+1)t}{r+t}.$ Tada je $1-s=\frac{r(1-t)}{r+t}$ i $ds=\frac{r(r+1)}{(r+t)^2}\,dt;$ kada se $t$ menja od $0$ do $1,$ i $s$ se menja od $0$ do $1.$ Množenjem dobijamo ${s^{m-1}(1-s)^{n-1}\,ds}={\frac{r^n(r+1)^m\,t^{m-1}(1-t)^{n-1}}{(r+t)^{m+n}}\,dt.}$ Na primer, za $m=n=1\text{:}$

${r(r+1)\int_0^1\frac{dt}{(r+t)^2}}={r(r+1)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}\right)}={1}={B(1,1)}$

Tablica vrednosti

Vrednosti $B(m,n)$ za $m,n=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3.$ Tablica je simetrična, jer je $B(m,n)=B(n,m).$

$m\,\backslash\,n$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$	$3$
$\frac{1}{2}$	$\pi$	$2$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{3\pi}{8}$	$\frac{16}{15}$
$1$	$2$	$1$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{3}$
$\frac{3}{2}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{\pi}{8}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{\pi}{16}$	$\frac{16}{105}$
$2$	$\frac{4}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{1}{12}$
$\frac{5}{2}$	$\frac{3\pi}{8}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{\pi}{16}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{3\pi}{128}$	$\frac{16}{315}$
$3$	$\frac{16}{15}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{16}{105}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{16}{315}$	$\frac{1}{30}$

Beta raspodela

U teoriji verovatnoće slučajna promenljiva $X$ sa vrednostima između $0$ i $1$ ima beta raspodelu sa parametrima $\alpha\gt 0$ i $\beta\gt 0$ ako je njena gustina raspodele za $0\lt x\lt 1$ jednaka

$f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

Zbog deljenja sa $B(\alpha,\beta)$ ukupna površina ispod grafika gustine jednaka je $1.$ Beta raspodela opisuje udele i verovatnoće, na primer udeo neispravnih proizvoda, koji se menja od serije do serije. Iz rekurentne formule dobijamo njeno matematičko očekivanje:

${E(X)}={\int_0^1 x\,f(x)\,dx}={\frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)}}={\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}$

Na slici su prikazane četiri gustine. Kada je $\alpha\lt\beta,$ verovatnije su vrednosti blizu $0;$ kada je $\alpha=\beta,$ grafik je simetričan u odnosu na pravu $x=\frac{1}{2}.$

Zadaci za vežbanje

Rešite zadatke, a zatim ih otvorite da biste videli odgovore. Vrednosti $B(m,n)$ možete da proverite pomoću kalkulatora na početku stranice.

1. Izračunajte $B(3,2)$ po definiciji.

${B(3,2)}={\int_0^1 t^2(1-t)\,dt}={\int_0^1\left(t^2-t^3\right)dt}={\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}={\frac{1}{12}}$ (isto kao $B(2,3),$ zbog simetrije). Odgovor: $\frac{1}{12}.$

2. Izračunajte $B(4,4).$

${B(4,4)}={\frac{3!\cdot 3!}{7!}}={\frac{36}{5040}}={\frac{1}{140}.}$ Odgovor: $\frac{1}{140}.$

3. Izračunajte $\int_0^1 x^5(1-\nobreak x)^2\,dx.$

Ovo je ${B(6,3)}={\frac{5!\cdot 2!}{8!}}={\frac{240}{40320}}={\frac{1}{168}.}$ Odgovor: $\frac{1}{168}.$

4. Izračunajte $B\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right).$

${B\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)}={\frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(3)}}={\frac{\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{\pi}}{2}}={\frac{3\pi}{8}.}$ Odgovor: $\frac{3\pi}{8}.$

5. Izračunajte $B\left(\frac{1}{2},4\right).$

$n=4$ je prirodan broj: ${B\left(\frac{1}{2},4\right)}={\frac{3!}{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{7}{2}}}={\frac{6}{\frac{105}{16}}}={\frac{32}{35}.}$ Odgovor: $\frac{32}{35}.$

6. Znajući da je $B\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{3}},$ izračunajte $B\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right).$

Prema rekurentnoj formuli za $m=\frac{1}{3}$ i $n=\frac{2}{3}\text{:}$ ${B\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right)}={\frac{\frac{1}{3}}{1}\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}={\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}}={\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{9}.}$ Odgovor: $\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{9}.$

7. Izračunajte $\int_0^{\pi/2}\sin^5\theta\,\cos^3\theta\,d\theta.$

$p=5,$ $q=3,$ pa je $\frac{p+1}{2}=3,$ $\frac{q+1}{2}=2\text{:}$ ${\frac{1}{2}\,B(3,2)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{2!\cdot 1!}{4!}}={\frac{1}{24}.}$ Odgovor: $\frac{1}{24}.$

8. Izračunajte $\int_0^{\pi/2}\sin^4\theta\,d\theta.$

$p=4,$ $q=0,$ pa je $\frac{p+1}{2}=\frac{5}{2},$ $\frac{q+1}{2}=\frac{1}{2}\text{:}$ ${\frac{1}{2}\,B\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{3\pi}{8}}={\frac{3\pi}{16}}$ (videti zadatak 4). Odgovor: $\frac{3\pi}{16}.$

9. Izračunajte $\int_0^\infty\frac{x}{(1+x)^6}\,dx.$

$m-1=1$ i $m+n=6,$ pa je $m=2,$ $n=4\text{:}$ ${B(2,4)}={\frac{1!\cdot 3!}{5!}}={\frac{6}{120}}={\frac{1}{20}.}$ Odgovor: $\frac{1}{20}.$

10. Izračunajte $\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}.$

Smenom $x^3=s$ dobijamo $\frac{1}{3}\int_0^\infty\frac{s^{-2/3}}{1+s}\,ds;$ ovde je $m-1=-\frac{2}{3}$ i $m+n=1,$ pa je $m=\frac{1}{3},$ $n=\frac{2}{3}\text{:}$ ${\frac{1}{3}\,B\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)}={\frac{1}{3}\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}={\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}}={\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{9}}$ (isti broj kao u zadatku 6). Odgovor: $\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{9}.$

11. Izračunajte $\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.$

Smenom $x^2=t$ dobijamo $x=t^{1/2},$ $dx=\frac{1}{2}t^{-1/2}\,dt,$ a integral je jednak ${\frac{1}{2}\int_0^1 t^{1/2}(1-t)^{-1/2}\,dt}={\frac{1}{2}\,B\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{\pi}}{1}}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}={\frac{\pi}{4}.}$ Odgovor: $\frac{\pi}{4}.$

12. Izračunajte $\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}\,dx.$

Pošto je $2x-x^2=x(2-\nobreak x),$ važi ${x\sqrt{2x-x^2}}={x^{3/2}(2-x)^{1/2}.}$ Ovo je oblik integrala od $a$ do $b$ za $a=0,$ $b=2,$ $m-1=\frac{3}{2},$ $n-1=\frac{1}{2}\text{:}$ ${2^3\,B\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)}={8\cdot\frac{\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{3!}}={\frac{\pi}{2}.}$ Odgovor: $\frac{\pi}{2}.$

13. Izračunajte $B\left(-\frac{1}{2},3\right).$

$n=3$ je prirodan broj: ${\frac{2!}{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}}}={\frac{2}{-\frac{3}{8}}}={-\frac{16}{3}.}$ Odgovor: $-\frac{16}{3}.$

14. Slučajna promenljiva $X$ ima beta raspodelu sa parametrima $\alpha=3$ i $\beta=2.$ Izračunajte $E(X)$ i verovatnoću $P\left(X\lt\frac{1}{2}\right).$

$E(X)=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}.$ Pošto je $B(3,2)=\frac{1}{12},$ gustina je $f(x)=12x^2(1-\nobreak x),$ pa je ${P\left(X\lt\frac{1}{2}\right)}={12\int_0^{1/2}\left(x^2-x^3\right)dx}={12\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{64}\right)}={\frac{5}{16}.}$ Odgovor: $E(X)=\frac{3}{5},$ $P=\frac{5}{16}.$

Pogledajte i: rešavanje integrala korak po korak