¿Cómo resolver problemas de límites?

Esta página es una guía práctica para calcular límites de funciones. Lo primero que hay que probar siempre es la sustitución. El resto de la página explica qué hacer cuando la sustitución no da la respuesta: los límites laterales, las indeterminaciones $0/0$ y $\infty/\infty,$ los límites notables, la regla de L'Hôpital y las demás indeterminaciones. Cada método va acompañado de ejemplos resueltos, y al final hay problemas para practicar con sus respuestas.

Si es la primera vez que estudias los límites, empieza por «Límites (introducción intuitiva)» y «Límites y métodos de cálculo».

En esta página: ¿Qué es un límite? · Propiedades de los límites · Límites laterales · La indeterminación 0/0 · Límites notables · Límites en el infinito · Regla de L'Hôpital · Otras indeterminaciones · Resumen · Problemas

¿Qué es un límite?

El límite de una función en un punto $a$ es el número al que se acercan los valores de la función cuando $x$ se acerca cada vez más a $a.$ Se escribe así:

$$\lim_{x\to a}f(x)=L.$$

Se lee «el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$». Significa que podemos conseguir que $f(x)$ esté tan cerca de $L$ como queramos tomando $x$ suficientemente cerca de $a$ (pero ${x\ne a}$).

Solo importan los valores cerca de $a,$ no el valor en $a.$ En la figura, la función tiene un cierto valor $f(a)$ en el propio punto $a,$ pero cerca de $a$ sus valores se aproximan a $L,$ así que el límite es $L.$ Ni siquiera hace falta que la función esté definida en $a.$

Un límite también puede ser infinito: ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ (o $-\infty$) significa que los valores crecen (o decrecen) indefinidamente. Además, $x$ puede tender a $+\infty$ o a $-\infty$ en lugar de a un número. Por último, puede ocurrir que el límite no exista, como veremos con los límites laterales.

Propiedades de los límites

Si existen los límites ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ y ${\lim_{x\to a}g(x)=M}$ (y son números) y $c$ es una constante, entonces:

Propiedad	Fórmula
Constante	${\lim_{x\to a}c=c}$
Identidad	${\lim_{x\to a}x=a}$
Factor constante	${\lim_{x\to a}[c\,f(x)]=c\,L}$
Suma	${\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]}={L+M}$
Diferencia	${\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]}={L-M}$
Producto	${\lim_{x\to a}[f(x)\,g(x)]=L\,M}$
Cociente	${\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}},$  si ${M\ne0}$
Potencia	${\lim_{x\to a}[f(x)]^n=L^n},$  ${n=1,2,3,\ldots}$
Raíz	${\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}};$ para $n$ par, ${f(x)\ge0}$ cerca de $a$

Las mismas propiedades se cumplen para los límites laterales ${x\to a^-},$ ${x\to a^+}$ y, salvo la de la identidad, para ${x\to\pm\infty}.$ Exigen que $L$ y $M$ sean números, y la propiedad del cociente exige además ${M\ne0}.$ Cuando esto no se cumple, usa los métodos que se explican más abajo.

Sustitución directa

Con las propiedades se obtiene el límite de un polinomio en cualquier punto $a\text{:}$ es el valor del polinomio en $a.$ Lo mismo ocurre con una función racional cuyo denominador no vale $0$ en $a.$ Las funciones $\operatorname{sen}x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln x$ y $\sqrt{x}$ se comportan igual en todos los puntos interiores de su dominio (son continuas). Para todas estas funciones

${\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}\text{:}$ basta con sustituir ${x=a}.$

Ejemplo 1. Halla ${\lim_{x\to1}(4x^2-8x^5+x+12)}.$

Primero con las propiedades, paso a paso:

${\lim_{x\to1}(4x^2-8x^5+x+12)}={\lim_{x\to1}4x^2-\lim_{x\to1}8x^5}+{\lim_{x\to1}x+\lim_{x\to1}12}$ propiedades de la suma y de la diferencia

$={4\lim_{x\to1}x^2-8\lim_{x\to1}x^5}+{\lim_{x\to1}x+\lim_{x\to1}12}$ propiedad del factor constante

$={4\cdot1^2-8\cdot1^5+1+12}={9}$ propiedades de la potencia, de la identidad y de la constante

En la práctica nos saltamos los pasos intermedios y sustituimos directamente: ${4\cdot1^2-8\cdot1^5+1+12}={9}.$

Ejemplo 2. Halla los límites.

a) ${\lim_{x\to4}(6x^4+5x^3-4x+16)}={6\cdot4^4+5\cdot4^3}-{4\cdot4+16}={1536+320-16+16}={{1856};}$

b) ${\lim_{x\to2}(12x^5+2\operatorname{sen}x+15x-4)}={12\cdot2^5}+{2\operatorname{sen}2+15\cdot2-4}={410+2\operatorname{sen}2}\approx{411{,}82}$  (el ángulo $2$ está en radianes);

c) ${\lim_{x\to2}\frac{x^2+1}{x+3}}={\frac{2^2+1}{2+3}}={1},$  porque el denominador no vale $0$ en ${x=2}.$

Tipos de límites: límites laterales y límite bilateral

Hay tres tipos básicos de límites en un punto $a\text{:}$

• el límite por la izquierda: $x$ tiende a $a$ por la izquierda (${x\lt a}$);
• el límite por la derecha: $x$ tiende a $a$ por la derecha (${x\gt a}$);
• el límite bilateral: $x$ tiende a $a$ por ambos lados.

1. Límite por la izquierda

${\lim_{x\to a^-}f(x)=L}$ significa que $f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ tiende a $a$ tomando valores menores que $a.$ El signo menos que aparece en $a^-$ solo indica por qué lado nos acercamos; no significa que $a$ sea negativo.

2. Límite por la derecha

${\lim_{x\to a^+}f(x)=L}$ significa que $f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ tiende a $a$ tomando valores mayores que $a.$ El signo más que aparece en $a^+$ solo indica por qué lado nos acercamos.

3. Límite bilateral

El límite ordinario ${\lim_{x\to a}f(x)}$ es el límite bilateral. Existe solo cuando los dos límites laterales existen y son iguales:

${\lim_{x\to a}f(x)=L}$  si y solo si  ${\lim_{x\to a^-}f(x)=L}$ y ${\lim_{x\to a^+}f(x)=L}.$

Para las funciones de la sección anterior, los dos límites laterales son iguales a $f(a),$ así que los tres límites se hallan por sustitución. Por ejemplo, ${\lim_{x\to4^-}(6x^4+5x^3-4x+16)}={1856},$ igual que el límite bilateral del ejemplo 2a. Los límites laterales importan cuando la función se comporta de forma distinta a cada lado de $a\text{:}$ funciones definidas a trozos, valores absolutos y fracciones cuyo denominador vale $0$ en $a.$

Ejemplo 3. Halla los límites laterales y el límite de $f$ en ${x=1},$ donde

$$f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x\lt1,\\ 4-x, & x\ge1.\end{cases}$$

A la izquierda de $1$ la función es ${x^2+1},$ y a la derecha es ${4-x}\text{:}$

${\lim_{x\to1^-}f(x)}={\lim_{x\to1^-}(x^2+1)}={{2},}$   ${\lim_{x\to1^+}f(x)}={\lim_{x\to1^+}(4-x)}={{3}.}$

Los límites laterales son distintos, así que ${\lim_{x\to1}f(x)}$ no existe: la gráfica da un salto en ${x=1}.$ El valor ${f(1)=3}$ no cambia esta conclusión. En cualquier otro punto, el límite se halla sustituyendo en la fórmula válida cerca de ese punto; por ejemplo, ${\lim_{x\to3}f(x)=4-3=1}.$

Valores absolutos

Ejemplo 4. Halla ${\lim_{x\to0^+}\frac{\lvert\operatorname{sen}x\rvert}{\operatorname{sen}x}}$ y ${\lim_{x\to0^-}\frac{\lvert\operatorname{sen}x\rvert}{\operatorname{sen}x}}.$

Para ${0\lt x\lt\pi}$ se tiene ${\operatorname{sen}x\gt0},$ así que ${\lvert\operatorname{sen}x\rvert=\operatorname{sen}x}$ y la fracción vale $1.$ Para ${-\pi\lt x\lt0}$ se tiene ${\operatorname{sen}x\lt0},$ así que ${\lvert\operatorname{sen}x\rvert=-\operatorname{sen}x}$ y la fracción vale $-1.$ Por tanto,

${\lim_{x\to0^+}\frac{\lvert\operatorname{sen}x\rvert}{\operatorname{sen}x}=1},$   ${\lim_{x\to0^-}\frac{\lvert\operatorname{sen}x\rvert}{\operatorname{sen}x}=-1},$

y el límite bilateral en $0$ no existe.

Cuando hay un valor absoluto, busca dónde cambia de signo la expresión que está dentro y quita las barras por separado a cada lado.

Un número no nulo dividido entre cero

Si la sustitución da ${\frac{c}{0}}$ con ${c\ne0},$ el valor absoluto de la fracción crece indefinidamente, y los límites laterales son $+\infty$ o $-\infty.$ Cuál de los dos lo decide el signo de la fracción a cada lado de $a$ (si el denominador es un polinomio, cerca de $a$ el signo se mantiene constante a cada lado).

Ejemplo 5. Halla ${\lim_{x\to3^-}\frac{x+2}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3^+}\frac{x+2}{x-3}}$ y ${\lim_{x\to3}\frac{x+2}{(x-3)^2}}.$

El numerador tiende a $5$ y los denominadores tienden a $0.$ Para $x$ un poco menor que $3,$ ${x-3}$ es un número negativo próximo a cero, y para $x$ un poco mayor que $3$ es un número positivo próximo a cero:

${\lim_{x\to3^-}\frac{x+2}{x-3}=-\infty},$   ${\lim_{x\to3^+}\frac{x+2}{x-3}=+\infty}.$

El cuadrado ${(x-3)^2}$ es positivo a ambos lados, así que ${\lim_{x\to3}\frac{x+2}{(x-3)^2}=+\infty}.$

La indeterminación $0/0\text{:}$ primero, simplificar

Si la sustitución da ${\frac{0}{0}},$ la expresión no tiene valor en $a,$ pero aun así el límite puede existir. La forma ${\frac{0}{0}}$ se llama indeterminación: no dice cuál es el límite; solo indica que hace falta seguir trabajando. Transforma la expresión hasta que se pueda sustituir. Puedes simplificar los factores que valen $0$ en $a,$ porque el límite solo usa los valores ${x\ne a}.$

Factorizar y simplificar

Ejemplo 6. Halla ${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}.$

La sustitución da ${\frac{16-16}{8-8}=\frac{0}{0}}.$ Los dos polinomios tienen el factor común ${x-2}\text{:}$

${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}={\lim_{x\to2}\frac{4x(x-2)}{4(x-2)}}={\lim_{x\to2}x}={{2}.}$

Ejemplo 7. Halla ${\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}}.$

${\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}}={\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\lim_{x\to-1}\frac{x^2-x+1}{x-1}}={\frac{3}{-2}}={{-\frac{3}{2}}.}$

Si dos polinomios valen $0$ en ${x=a},$ los dos son divisibles por ${x-a},$ así que este factor siempre se puede simplificar (la regla de Horner da los cocientes rápidamente). Si el resultado sigue siendo ${\frac{0}{0}},$ vuelve a simplificar.

Multiplicar por el conjugado

Ejemplo 8. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}.$

Otra vez obtenemos ${\frac{0}{0}}.$ Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado ${\sqrt{x+4}+2}.$ Como ${(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}={x+4-4}={{x},}$

${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}={\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}}={\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$

Límites notables

Algunos límites no se pueden hallar solo con álgebra: los cinco primeros de la tabla son de la forma ${\frac{0}{0}},$ y el último, de la forma $1^\infty.$ Se demuestran una vez y después se usan como resultados conocidos (con los ángulos en radianes):

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}}$

${\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e}$

La función ${\frac{\operatorname{sen}x}{x}}$ no está definida en $0,$ así que su gráfica tiene ahí un hueco, en el punto $(0,\,1)\text{:}$ su límite en $0$ es $1.$ En cada fórmula de la tabla, $x$ se puede sustituir, en todos los lugares donde aparece, por cualquier expresión que tienda a $0$ (y que no valga $0$ cerca del punto). Por ejemplo, ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}5x}{5x}=1},$ porque ${u=5x}$ tiende a $0$ cuando lo hace $x.$

Ejemplo 9. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}5x}{2x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}5x}{2x}}={\lim_{x\to0}\left(\frac{5}{2}\cdot\frac{\operatorname{sen}5x}{5x}\right)}={\frac{5}{2}\cdot1}={{\frac{5}{2}}.}$

Ejemplo 10. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\operatorname{sen}x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\operatorname{sen}x}}={\lim_{x\to0}\left(3\cdot\frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot\frac{x}{\operatorname{sen}x}\right)}={3\cdot1\cdot1}={{3}.}$

Límites en el infinito

Cuando ${x\to+\infty}$ o ${x\to-\infty},$ un polinomio se comporta como su término de mayor grado. Para un cociente de polinomios, la sustitución da ${\frac{\infty}{\infty}},$ otra indeterminación. Divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador.

Ejemplo 11. Halla ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{1-4x^3}}.$

${\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{1-4x^3}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2/x^2}{1/x^3-4}}={\frac{5-0}{0-4}}={{-\frac{5}{4}}.}$

Ejemplo 12. Halla ${\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)}.$

Aquí la sustitución da ${\infty-\infty}.$ Multiplica y divide por el conjugado ${\sqrt{x^2+3x}+x}$ y después divide entre $x$ (para ${x\gt0},$ ${\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+3/x}}$):

${\sqrt{x^2+3x}-x}={\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}}={\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}}={{\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}}.}$

Cuando ${x\to+\infty},$ esta expresión tiende a ${\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}}.$ Así pues, el límite es ${\frac{3}{2}},$ aunque «${\infty-\infty}$» podría hacer pensar en $0.$ Hay más ejemplos en «Límites en el infinito».

Cómo resolver límites con la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital (también se escribe L'Hospital) sustituye un límite de la forma ${\frac{0}{0}}$ o ${\frac{\infty}{\infty}}$ por el límite del cociente de las derivadas. Para usarla hay que saber calcular derivadas.

Deriva el numerador y el denominador por separado. No se trata de la regla de la derivada de un cociente: la fracción ${\frac{f(x)}{g(x)}}$ en sí no se deriva.

¿Por qué funciona? En el caso más sencillo, si ${f(a)=g(a)=0},$ $f'$ y $g'$ son continuas en $a$ y ${g'(a)\ne0},$ entonces para ${x\ne a}$

${\frac{f(x)}{g(x)}}={\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={{\frac{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}},}$

y los dos cocientes incrementales tienden, respectivamente, a $f'(a)$ y a $g'(a).$ Por tanto, el límite es ${\frac{f'(a)}{g'(a)}},$ que es igual a ${\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ porque $f'$ y $g'$ son continuas.

Ejemplo 13. Halla ${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}$ con la regla de L'Hôpital.

En ${x=2}$ tanto ${4x^2-8x}$ como ${4x-8}$ valen $0,$ así que tenemos una indeterminación ${\frac{0}{0}}.$ Las derivadas son ${(4x^2-8x)'=8x-8}$ y ${(4x-8)'=4},$ de modo que

${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}={\lim_{x\to2}\frac{8x-8}{4}}={\frac{16-8}{4}}={{2},}$

la misma respuesta que obtuvimos factorizando en el ejemplo 6.

Ejemplo 14 (la regla aplicada dos veces). Halla ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}={\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{2x}}={\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}}={{\frac{1}{2}}.}$

Después del primer paso, el límite sigue siendo de la forma ${\frac{0}{0}},$ así que se vuelve a aplicar la regla. (En el segundo paso también se podría usar el límite notable ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1}.$)

Ejemplo 15 (la forma ${\frac{\infty}{\infty}}$). Halla los límites.

a) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}={{0};}$

b) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}}={{0}.}$

Aplicada $n$ veces, la regla da ${\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0}$ para todo $n.$ Por tanto, $e^x$ crece más deprisa que cualquier potencia de $x,$ y (por el apartado a) $\ln x$ crece más despacio que $x.$

Otras indeterminaciones

Además de ${\frac{0}{0}}$ y ${\frac{\infty}{\infty}},$ son indeterminaciones ${0\cdot\infty},$ ${\infty-\infty},$ $1^\infty,$ $0^0$ y $\infty^0.$ Transforma la expresión en una fracción y después simplifica o aplica la regla de L'Hôpital:

Forma	Cómo reescribirla
${0\cdot\infty}$	${f\cdot g=\frac{f}{1/g}}$  o  ${\frac{g}{1/f}}$
${\infty-\infty}$	un denominador común o el conjugado
$1^\infty,$ $0^0,$ $\infty^0$	${f^g=e^{g\ln f}}$ (para ${f\gt0}$): halla el límite $K$ de ${g\ln f};$ la respuesta es $e^K$

Ejemplo 16 (${0\cdot\infty}$). Halla ${\lim_{x\to0^+}x\ln x}.$

Cuando ${x\to0^+},$ ${\ln x\to-\infty}.$ Escribe el producto como una fracción de la forma ${\frac{\infty}{\infty}}$ (aquí ${\frac{-\infty}{+\infty}}$):

${\lim_{x\to0^+}x\ln x}={\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}}={\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}}={\lim_{x\to0^+}(-x)}={{0}.}$

Ejemplo 17 (${\infty-\infty}$). Halla ${\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}.$

Reduce las fracciones a común denominador. El resultado es de la forma ${\frac{0}{0}},$ y se aplica dos veces la regla de L'Hôpital:

${\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}={\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}}={\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{e^x-1+xe^x}}={\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2e^x+xe^x}}={{\frac{1}{2}}.}$

Ejemplo 18 ($1^\infty$). Halla ${\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x}.$

La base tiende a $1$ y el exponente crece indefinidamente. Escribe ${\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^{x\ln(1+3/x)}}$ y halla el límite del exponente. Es de la forma ${0\cdot\infty}.$ Escrito como la fracción ${\frac{\ln(1+3/x)}{1/x}},$ es de la forma ${\frac{0}{0}}.$

La derivada del numerador ${\ln(1+3/x)}$ es ${\frac{-3/x^2}{1+3/x}=-\frac{3}{x^2+3x}},$ y la derivada del denominador ${1/x}$ es ${-1/x^2}.$ Por tanto,

${\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}={\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+3/x)}{1/x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-3/(x^2+3x)}{-1/x^2}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2+3x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{x+3}}={{3}.}$

El exponente tiende a $3,$ así que ${\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^3}.$

Ejemplo 19 ($0^0$). Halla ${\lim_{x\to0^+}x^x}.$

Como ${x^x=e^{x\ln x}}$ y ${x\ln x\to0}$ por el ejemplo 16, el límite es ${e^0=1}.$

Resumen: cómo resolver un problema de límites

Sustituye ${x=a}$ (si ${x\to\pm\infty},$ fíjate en los términos principales) y actúa según lo que obtengas:

Obtienes	Qué hacer
un número, y una misma fórmula vale a ambos lados de $a$	Ese es el límite (polinomios, funciones racionales, raíces, $\operatorname{sen}x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln x$ dentro de su dominio).
una función definida a trozos o un valor absoluto: fórmulas distintas a cada lado de $a$	Halla los límites por la izquierda y por la derecha; el límite existe solo si son iguales.
${\frac{c}{0}},$ ${c\ne0}$	Los límites laterales son infinitos: $+\infty$ o $-\infty,$ según el signo a cada lado.
${\frac{0}{0}}$	Factoriza y simplifica, multiplica por el conjugado, usa un límite notable o la regla de L'Hôpital.
${\frac{\infty}{\infty}}$	Divide entre la mayor potencia de $x$ o usa la regla de L'Hôpital.
${0\cdot\infty},$ ${\infty-\infty}$	Escribe la expresión como una sola fracción.
$1^\infty,$ $0^0,$ $\infty^0$	Usa ${f^g=e^{g\ln f}}.$

Problemas para practicar

1. Halla ${\lim_{x\to2}(3x^3-x+5)}.$

Respuesta

Por sustitución: ${3\cdot2^3-2+5}={24-2+5}={{27}.}$

2. Sea ${f(x)=2x+1}$ para ${x\lt1}$ y ${f(x)=x^2+3}$ para ${x\ge1}.$ Halla ${\lim_{x\to1^-}f(x)}$ y ${\lim_{x\to1^+}f(x)}.$ ¿Existe ${\lim_{x\to1}f(x)}?$

Respuesta

${\lim_{x\to1^-}(2x+1)=3}$ y ${\lim_{x\to1^+}(x^2+3)=4}.$ Son distintos, así que el límite en $1$ no existe.

3. Halla ${\lim_{x\to-2}\frac{x^2-4}{x^2+5x+6}}.$

Respuesta

La sustitución da ${\frac{0}{0}}.$ Factorizamos: ${\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}},$ así que el límite es ${\frac{-4}{1}=-4}.$

4. Halla ${\lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}}.$

Respuesta

Como ${x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)},$ la fracción es igual a ${\frac{1}{\sqrt{x}+3}}$ y el límite es ${\frac{1}{6}}.$

5. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}3x}{\operatorname{sen}7x}}.$

Respuesta

Como ${\frac{\operatorname{sen}3x}{\operatorname{sen}7x}}={{\frac{3}{7}\cdot\frac{\operatorname{sen}3x}{3x}\cdot\frac{7x}{\operatorname{sen}7x}},}$ el límite es ${\frac{3}{7}}.$

6. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{x-\operatorname{sen}x}{x^3}}.$

Respuesta

Aplicando tres veces la regla de L'Hôpital: ${\lim_{x\to0}\frac{x-\operatorname{sen}x}{x^3}}={\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}}={\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{6x}}={\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6}}={{\frac{1}{6}}.}$

7. Halla ${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}}.$

Respuesta

Es de la forma ${\frac{\infty}{\infty}};$ aplicando dos veces la regla de L'Hôpital: ${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}}={{0}.}$

8. Halla ${\lim_{x\to0^+}x^2\ln x}.$

Respuesta

Escribimos ${x^2\ln x=\frac{\ln x}{1/x^2}}$ (la forma ${\frac{\infty}{\infty}}$), y entonces ${\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x^2}}={\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-2/x^3}}={\lim_{x\to0^+}\left(-\frac{x^2}{2}\right)}={{0}.}$

9. Halla ${\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)}.$

Respuesta

Con el conjugado: ${\sqrt{x^2+x}-x}={\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}}={{\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}},}$ que tiende a ${\frac{1}{2}}.$

10. Halla ${\lim_{x\to0}(1+2x)^{1/x}}.$

Respuesta

Tenemos ${(1+2x)^{1/x}=e^{\ln(1+2x)/x}}$ y ${\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{x}}={\lim_{x\to0}\frac{2}{1+2x}}={2}$ (por la regla de L'Hôpital), así que el límite es $e^2.$

Mira también: Límites (introducción intuitiva), Límites y métodos de cálculo, Límites de sucesiones, Propiedades de las funciones continuas y la calculadora de derivadas.