La función beta

Calculadora de la función beta

Escribe $m$ y $n$ para calcular $B(m,n)\text{:}$ números enteros, decimales o fracciones, por ejemplo 2; 0,5; -1,5 o 1/3. La calculadora muestra la solución paso a paso. Obtiene el valor exacto cuando $m$ o $n$ es un número entero, o cuando lo es $m+n$ (para números de hasta $40$), y siempre da un valor aproximado.

¿Qué es la función beta?

Muchas funciones no tienen una primitiva elemental y, sin embargo, algunas de sus integrales definidas se pueden calcular exactamente. Una gran familia de estas integrales se reduce a una sola integral con dos parámetros: la función beta. Leonhard Euler la estudió junto con la función gamma; por eso, a las dos se las llama también integrales eulerianas de primera y de segunda especie. La función beta se usa en cálculo, en probabilidad (la distribución beta) y en combinatoria, donde está estrechamente relacionada con los coeficientes binomiales.

Definición de la función beta $B(m,n)$

La letra $B$ es la beta mayúscula del alfabeto griego. La variable $t$ desaparece al integrar, así que el valor depende solo de los dos parámetros $m$ y $n.$ Algunos libros escriben $B(x,y),$ $B(p,q)$ o $B(a,b).$

¿Por qué $m\gt 0$ y $n\gt 0?$ Si $m\ge 1$ y $n\ge 1,$ el integrando es continuo en $[0,1]$ y la integral es una integral definida ordinaria. Si $0\lt m\lt 1,$ el factor $t^{m-1}=\frac{1}{t^{1-m}}$ tiende a infinito cuando $t\to 0,$ y la integral es impropia. Cerca de $t=0,$ el otro factor, $(1-\nobreak t)^{n-1},$ es casi igual a $1,$ así que la integral se comporta como $\int_0^{1/2}\frac{dt}{t^{p}}$ con $p=1-m,$ que converge si y solo si $p\lt 1,$ es decir, si $m\gt 0.$ Lo mismo ocurre en $t=1$ con el factor $(1-\nobreak t)^{n-1},$ ahora con $p=1-n.$ Por tanto, la integral converge cuando $m\gt 0$ y $n\gt 0,$ y diverge cuando $m\le 0$ o $n\le 0.$

En esta página: Calculadora · Primeros ejemplos · Simetría · Recurrencia · Función gamma · Beta y gamma · Otras formas · Tabla de valores · Distribución beta · Práctica

Cálculo de $B(m,n)$ a partir de la definición

Cuando $m$ y $n$ son enteros positivos, el integrando es un polinomio y la integral se calcula directamente.

Ejemplo 1. Halla $B(1,1)$ y $B(2,1).$

$B(1,1)=\int_0^1 1\,dt=1$

${B(2,1)}={\int_0^1 t\,dt}={\frac{t^2}{2}\Big\vert_0^1}={\frac{1}{2}}$

Del mismo modo, ${B(m,1)}={\int_0^1 t^{m-1}\,dt}={\frac{1}{m}}$ para todo $m\gt 0.$

Ejemplo 2. Halla $B(2,3).$

Aquí $m-1=1$ y $n-1=2.$ Desarrolla $(1-\nobreak t)^2$ e integra término a término:

${B(2,3)}={\int_0^1 t(1-t)^2\,dt}={\int_0^1\left(t-2t^2+t^3\right)dt}={\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}={\frac{1}{12}}$

Geométricamente, $B(m,n)$ es el área bajo la gráfica de $y=t^{m-1}(1-\nobreak t)^{n-1}$ entre $t=0$ y $t=1.$

Ejemplo 3. Halla $B\left(\frac{1}{2},1\right).$

El integrando $t^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{t}}$ no está acotado cerca de $0,$ pero la integral impropia converge:

${B\left(\frac{1}{2},1\right)}={\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t}}}={2\sqrt{t}\,\Big\vert_0^1}={2}$

Esto concuerda con $B(m,1)=\frac{1}{m}.$ Para la mayoría de los valores no enteros de $m$ y $n,$ la primitiva no es una función elemental; por ejemplo, $\int t^{1/2}(1-\nobreak t)^{1/3}\,dt$ no se puede expresar mediante funciones elementales. Estos valores se calculan con la función gamma (mira más abajo).

Simetría

Demostración. Haz el cambio de variable $t=1-u$ en la definición. Entonces $dt=-du,$ y los límites $t=0$ y $t=1$ pasan a ser $u=1$ y $u=0\text{:}$

${B(m,n)}={\int_1^0 (1-u)^{m-1}u^{n-1}\,(-du)}={\int_0^1 u^{n-1}(1-u)^{m-1}\,du}={B(n,m)}$

Las gráficas de $y=t(1-\nobreak t)^4$ e $y=t^4(1-\nobreak t)$ son simétricas entre sí respecto de la recta $t=\frac{1}{2},$ así que las áreas bajo ellas son iguales: $B(2,5)=B(5,2).$

Fórmulas de recurrencia

Demostración. Como $t+(1-\nobreak t)=1,$ la integral $B(m,n)$ se descompone en la suma de dos integrales:

${B(m,n)}={\int_0^1 t^{m-1}(1-t)^{n-1}\bigl(t+(1-t)\bigr)\,dt}={B(m+1,n)}+{B(m,n+1)}$

Ahora integra $B(m,n+\nobreak 1)$ por partes con $u=(1-\nobreak t)^n$ y $dv=t^{m-1}\,dt,$ de modo que $v=\frac{t^m}{m}\text{:}$

${B(m,n+1)}={\frac{t^m(1-t)^n}{m}\Big\vert_0^1}+{\frac{n}{m}\int_0^1 t^m(1-t)^{n-1}\,dt}={\frac{n}{m}\,B(m+1,n)}$

El primer término es $0,$ porque $t^m=0$ en $t=0$ y $(1-\nobreak t)^n=0$ en $t=1.$ Sustituye esto en la primera igualdad: ${B(m,n)}={B(m+1,n)}+{\frac{n}{m}\,B(m+1,n)}={\frac{m+n}{m}\,B(m+1,n).}$ Esta es la primera fórmula. La segunda se deduce de la primera por simetría.

Por ejemplo, $B(1,3)=B(3,1)=\frac{1}{3},$ así que ${B(2,3)}={\frac{1}{1+3}\,B(1,3)}={\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}}={\frac{1}{12},}$ igual que en el ejemplo 2.

Cuando $n$ es un entero positivo

Parte de $B(m,1)=\frac{1}{m}$ y aplica la segunda fórmula $n-1$ veces. Para todo $m\gt 0$ y todo entero positivo $n,$

Si $m$ también es un entero positivo, el denominador es igual a $\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!},$ así que

Ejemplo 4. ${B(3,4)}={\frac{2!\cdot 3!}{6!}}={\frac{2\cdot 6}{720}}={\frac{1}{60}.}$

Ejemplo 5. Halla $\int_0^1 x^4(1-\nobreak x)^3\,dx.$

Se trata de $B(m,n)$ con $m-1=4$ y $n-1=3\text{:}$

${\int_0^1 x^4(1-x)^3\,dx}={B(5,4)}={\frac{4!\cdot 3!}{8!}}={\frac{24\cdot 6}{40320}}={\frac{1}{280}}$

Desarrollando $(1-\nobreak x)^3$ se obtiene el mismo resultado, pero con más trabajo.

Ejemplo 6. ${B\left(\frac{1}{2},3\right)}={\frac{2!}{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}}}={\frac{2}{\frac{15}{8}}}={\frac{16}{15}.}$

Compara esto con el coeficiente binomial $\binom{N}{k}=\frac{N!}{k!\,(N-k)!}\text{:}$

${B(k+1,N-k+1)}={\frac{k!\,(N-k)!}{(N+1)!}}={\frac{1}{(N+1)\binom{N}{k}}}$

Así, para enteros positivos, cada valor $B(m,n)$ es el inverso de un número entero, y la función beta extiende los coeficientes binomiales a números no enteros.

La función gamma

Para hallar $B(m,n)$ cuando ni $m$ ni $n$ son enteros, necesitamos la función gamma:

Sus propiedades principales:

• $\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\,dt=1.$
• $\Gamma(x+\nobreak 1)=x\,\Gamma(x)$ (integra $\int_0^\infty t^{x}e^{-t}\,dt$ por partes).
• Para enteros positivos, $\Gamma(n)=(n-\nobreak 1)!\text{:}$ $\Gamma(2)=1,$ $\Gamma(3)=2,$ $\Gamma(4)=6,$ $\Gamma(5)=24.$ Así, la función gamma generaliza el factorial.
• $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ (lo demostramos en el ejemplo 7, más abajo). Entonces $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi},$ $\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi}=\frac{3}{4}\sqrt{\pi},$ $\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{15}{8}\sqrt{\pi},$ y en general $\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt{\pi}.$
• La fórmula $\Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x}$ extiende $\Gamma$ a los números negativos, paso a paso: primero al intervalo $(-1,0),$ después a $(-2,-\nobreak 1),$ y así sucesivamente. Por ejemplo, ${\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)}={\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}}={-2\sqrt{\pi}.}$ En $0,$ $-1,$ $-2,$ ... la función gamma no está definida: $|\Gamma(x)|$ tiende a infinito cuando $x$ se acerca a estos puntos.
• La fórmula de reflexión de Euler (la usamos sin demostración): $\Gamma(x)\,\Gamma(1-\nobreak x)=\frac{\pi}{\operatorname{sen}\pi x}$ para todo $x$ no entero. Con $x=\frac{1}{2}$ da de nuevo $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2=\pi.$

Relación entre las funciones beta y gamma

Demostración. Escribe $\Gamma(m)$ con la variable $x$ y $\Gamma(n)$ con la variable $y.$ Su producto es una integral doble sobre el primer cuadrante:

${\Gamma(m)\,\Gamma(n)}={\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty x^{m-1}y^{n-1}e^{-(x+y)}\,dx\,dy}$

Haz el cambio $x=uv$ e $y=u(1-\nobreak v),$ donde $u\gt 0$ y $0\lt v\lt 1$ (es decir, $u=x+y$ y $v=\frac{x}{x+y}$). El jacobiano es

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} v & u\\ 1-v & -u\end{vmatrix}$$

$=-uv-u(1-\nobreak v)=-u,$

así que ${dx\,dy}={|-u|\,du\,dv}={u\,du\,dv.}$ Además, ${x^{m-1}y^{n-1}}={u^{m+n-2}v^{m-1}(1-v)^{n-1}}$ y $x+y=u,$ de modo que la integral doble se separa en el producto de dos integrales:

${\Gamma(m)\,\Gamma(n)}={\int_0^\infty u^{m+n-1}e^{-u}\,du}\cdot {\int_0^1 v^{m-1}(1-v)^{n-1}\,dv}={\Gamma(m+n)\,B(m,n)}$

Para enteros positivos, $\Gamma(k)=(k-\nobreak 1)!$ convierte esta fórmula en la fórmula para enteros que vimos antes.

Ejemplo 7. Halla $B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ y $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right).$

Aquí la primitiva es elemental, porque ${\left(\operatorname{arcsen}(2t-1)\right)'}={\frac{1}{\sqrt{t(1-t)}}\text{:}}$

${B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}={\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}}={\operatorname{arcsen}(2t-1)\Big\vert_0^1}={\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)}={\pi}$

Por la fórmula, $\pi=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\Gamma(1)}=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2.$ Como $\Gamma(x)\gt 0$ para $x\gt 0,$ se tiene $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.$

Ejemplo 8. Halla $B\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right).$

${B\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)}={\frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma(4)}}={\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\frac{3}{4}\sqrt{\pi}}{3!}}={\frac{\frac{3\pi}{8}}{6}}={\frac{\pi}{16}}$

Ejemplo 9. Cuando $m+n=1,$ la fórmula de reflexión da ${B(p,1-p)}={\Gamma(p)\,\Gamma(1-p)}={\frac{\pi}{\operatorname{sen}\pi p}}$ para $0\lt p\lt 1.$ Por ejemplo,

${B\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)}={\frac{\pi}{\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}}}={\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}={\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{3}}\approx{3{,}6276}$

Valores negativos de $m$ o $n$

Cuando $m\le 0$ o $n\le 0,$ la integral diverge. Pero el segundo miembro de $B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\,\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ sigue teniendo sentido cuando $m$ y $n$ no son $0,$ $-1,$ $-2,$ ... (el caso en que $m+n$ es uno de estos números se trata más abajo). Para estos números, esta fórmula se toma como definición de $B(m,n),$ y los valores de $\Gamma$ en los números negativos se hallan con $\Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x}.$ La simetría y las fórmulas de recurrencia se siguen cumpliendo; las formas integrales, no.

Ejemplo 10. ${B\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)}={\frac{\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(1)}}={\left(-2\sqrt{\pi}\right)\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}={-\pi.}$

La fórmula para $n$ entero positivo también vale para $m$ negativo no entero: por ejemplo, ${B\left(-\frac{1}{2},2\right)}={\frac{1!}{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}}}={-4.}$ Cuando $m+n$ es $0$ o un entero negativo (y $m,$ $n$ no son enteros), $\Gamma(m+\nobreak n)$ no está definida; en ese caso, $\frac{1}{\Gamma(m+n)}$ se toma como $0$ (al acercarse $x$ a estos puntos, $|\Gamma(x)|$ tiende a infinito, así que $\frac{1}{\Gamma(x)}\to 0$), y $B(m,n)=0.$

Otras formas de la función beta

Con un cambio de variable, la definición se transforma en otras integrales. Cada una de ellas es una herramienta: cuando una integral tiene una de estas formas, su valor es un valor de la función beta.

Forma trigonométrica

Haz el cambio $t=\operatorname{sen}^2\theta.$ Entonces $1-t=\cos^2\theta,$ $dt=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta\,d\theta,$ y $\theta$ varía de $0$ a $\frac{\pi}{2}\text{:}$

${B(m,n)}={\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^{2m-2}\theta\,\cos^{2n-2}\theta}\cdot {2\operatorname{sen}\theta\cos\theta\,d\theta}={2\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^{2m-1}\theta\,\cos^{2n-1}\theta\,d\theta}$

Con $p=2m-1$ y $q=2n-1,$ esta forma permite calcular las integrales de potencias del seno y del coseno:

Por ejemplo, con $p=3$ y $q=1\text{:}$ ${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^3\theta\,\cos\theta\,d\theta}={\frac{1}{2}\,B(2,1)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}={\frac{1}{4}.}$ El cambio $u=\operatorname{sen}\theta$ da lo mismo: $\int_0^1 u^3\,du=\frac{1}{4}.$

Ejemplo 11. Halla $\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^6\theta\,\cos^4\theta\,d\theta.$

${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^6\theta\,\cos^4\theta\,d\theta}={\frac{1}{2}\,B\left(\frac{7}{2},\frac{5}{2}\right)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma(6)}}$

$={\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\cdot\frac{3}{4}\sqrt{\pi}}{120}}={\frac{1}{2}\cdot\frac{45\pi}{32\cdot 120}}={\frac{3\pi}{512}}$

Ejemplo 12. Halla $\int_0^{\pi/2}\sqrt{\tan\theta}\,d\theta.$

Escribe $\sqrt{\tan\theta}=\operatorname{sen}^{1/2}\theta\,\cos^{-1/2}\theta.$ Entonces $p=\frac{1}{2},$ $q=-\frac{1}{2},$ y, por la simetría y el ejemplo 9,

${\int_0^{\pi/2}\sqrt{\tan\theta}\,d\theta}={\frac{1}{2}\,B\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)}={\frac{1}{2}\,B\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}}}={\frac{\pi}{\sqrt{2}}}={\frac{\sqrt{2}\,\pi}{2}}$

Integral de $0$ a $\infty$

En la definición, haz el cambio $t=\frac{x}{1+x}$ (es decir, $x=\frac{t}{1-t}$). Entonces $1-t=\frac{1}{1+x},$ $dt=\frac{dx}{(1+x)^2},$ y $x$ varía de $0$ a $\infty\text{:}$

${B(m,n)}={\int_0^\infty\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m-1}}}\cdot {\frac{1}{(1+x)^{n-1}}\cdot\frac{dx}{(1+x)^2}}={\int_0^\infty\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n}}\,dx}$

Ejemplo 13. ${\int_0^\infty\frac{x^2}{(1+x)^6}\,dx}={B(3,3)}={\frac{2!\cdot 2!}{5!}}={\frac{1}{30}}$ (aquí $m-1=2$ y $m+n=6$).

Ejemplo 14. Halla $\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^4}.$

Haz el cambio $x^4=s,$ de modo que $x=s^{1/4}$ y $dx=\frac{1}{4}s^{-3/4}\,ds.$ La nueva integral tiene la forma anterior con $m-1=-\frac{3}{4}$ y $m+n=1,$ así que $m=\frac{1}{4}$ y $n=\frac{3}{4}\text{:}$

${\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^4}}={\frac{1}{4}\int_0^\infty\frac{s^{-3/4}}{1+s}\,ds}={\frac{1}{4}\,B\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)}={\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}}}={\frac{\sqrt{2}\,\pi}{4}}$

Del mismo modo, ${\int_0^\infty\frac{x^{p-1}}{1+x}\,dx}={B(p,1-p)}={\frac{\pi}{\operatorname{sen}\pi p}}$ para $0\lt p\lt 1.$

Integral de $a$ a $b$

Haz el cambio $x=a+(b-\nobreak a)t.$ Entonces $x-a=(b-\nobreak a)t,$ $b-x=(b-\nobreak a)(1-\nobreak t)$ y $dx=(b-\nobreak a)\,dt,$ así que ${(x-a)^{m-1}(b-x)^{n-1}\,dx}={(b-a)^{m+n-1}\,t^{m-1}(1-t)^{n-1}\,dt,}$ y $t$ varía de $0$ a $1.$

Ejemplo 15. Halla $\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)^{3/2}dx.$

Como $1-x^2=(x+\nobreak 1)(1-\nobreak x),$ se trata de la forma anterior con $a=-1,$ $b=1$ y $m=n=\frac{5}{2}\text{:}$

${\int_{-1}^1 (x+1)^{3/2}(1-x)^{3/2}\,dx}={2^4\,B\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)}={16\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)^2}{\Gamma(5)}}={16\cdot\frac{\frac{9\pi}{16}}{24}}={\frac{3\pi}{8}}$

Una forma con un parámetro

Escribe la definición con la letra $s\text{:}$ ${B(m,n)}={\int_0^1 s^{m-1}(1-s)^{n-1}\,ds,}$ y haz el cambio $s=\frac{(r+1)t}{r+t}.$ Entonces $1-s=\frac{r(1-t)}{r+t}$ y $ds=\frac{r(r+1)}{(r+t)^2}\,dt;$ cuando $t$ varía de $0$ a $1,$ también $s$ varía de $0$ a $1.$ Al multiplicar se obtiene ${s^{m-1}(1-s)^{n-1}\,ds}={\frac{r^n(r+1)^m\,t^{m-1}(1-t)^{n-1}}{(r+t)^{m+n}}\,dt.}$ Por ejemplo, con $m=n=1\text{:}$

${r(r+1)\int_0^1\frac{dt}{(r+t)^2}}={r(r+1)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}\right)}={1}={B(1,1)}$

Tabla de valores

Estos son los valores de $B(m,n)$ para $m,n=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3.$ La tabla es simétrica, porque $B(m,n)=B(n,m).$

$m\,\backslash\,n$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$	$3$
$\frac{1}{2}$	$\pi$	$2$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{3\pi}{8}$	$\frac{16}{15}$
$1$	$2$	$1$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{3}$
$\frac{3}{2}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{\pi}{8}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{\pi}{16}$	$\frac{16}{105}$
$2$	$\frac{4}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{1}{12}$
$\frac{5}{2}$	$\frac{3\pi}{8}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{\pi}{16}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{3\pi}{128}$	$\frac{16}{315}$
$3$	$\frac{16}{15}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{16}{105}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{16}{315}$	$\frac{1}{30}$

La distribución beta

En probabilidad, una variable aleatoria $X$ con valores entre $0$ y $1$ tiene distribución beta de parámetros $\alpha\gt 0$ y $\beta\gt 0$ si su función de densidad para $0\lt x\lt 1$ es

$f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

El divisor $B(\alpha,\beta)$ hace que el área total bajo la curva de densidad sea igual a $1.$ La distribución beta describe proporciones y probabilidades, por ejemplo la proporción de piezas defectuosas, que varía de un lote a otro. La fórmula de recurrencia da su esperanza (valor esperado):

${E(X)}={\int_0^1 x\,f(x)\,dx}={\frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)}}={\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}$

La figura muestra cuatro densidades. Cuando $\alpha\lt\beta,$ los valores cercanos a $0$ son más probables; cuando $\alpha=\beta,$ la gráfica es simétrica respecto de la recta $x=\frac{1}{2}.$

Problemas para practicar

Resuelve los problemas y después ábrelos para ver las respuestas. Puedes comprobar los valores de $B(m,n)$ con la calculadora del principio de la página.

1. Halla $B(3,2)$ a partir de la definición.

${B(3,2)}={\int_0^1 t^2(1-t)\,dt}={\int_0^1\left(t^2-t^3\right)dt}={\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}={\frac{1}{12}}$ (igual que $B(2,3),$ por la simetría). Respuesta: $\frac{1}{12}.$

2. Halla $B(4,4).$

${B(4,4)}={\frac{3!\cdot 3!}{7!}}={\frac{36}{5040}}={\frac{1}{140}.}$ Respuesta: $\frac{1}{140}.$

3. Halla $\int_0^1 x^5(1-\nobreak x)^2\,dx.$

Es ${B(6,3)}={\frac{5!\cdot 2!}{8!}}={\frac{240}{40320}}={\frac{1}{168}.}$ Respuesta: $\frac{1}{168}.$

4. Halla $B\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right).$

${B\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)}={\frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(3)}}={\frac{\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{\pi}}{2}}={\frac{3\pi}{8}.}$ Respuesta: $\frac{3\pi}{8}.$

5. Halla $B\left(\frac{1}{2},4\right).$

$n=4$ es un entero positivo: ${B\left(\frac{1}{2},4\right)}={\frac{3!}{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{7}{2}}}={\frac{6}{\frac{105}{16}}}={\frac{32}{35}.}$ Respuesta: $\frac{32}{35}.$

6. Sabiendo que $B\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{3}},$ halla $B\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right).$

Por la fórmula de recurrencia con $m=\frac{1}{3}$ y $n=\frac{2}{3}\text{:}$ ${B\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right)}={\frac{\frac{1}{3}}{1}\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}={\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}}={\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{9}.}$ Respuesta: $\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{9}.$

7. Halla $\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^5\theta\,\cos^3\theta\,d\theta.$

$p=5,$ $q=3,$ así que $\frac{p+1}{2}=3,$ $\frac{q+1}{2}=2\text{:}$ ${\frac{1}{2}\,B(3,2)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{2!\cdot 1!}{4!}}={\frac{1}{24}.}$ Respuesta: $\frac{1}{24}.$

8. Halla $\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^4\theta\,d\theta.$

$p=4,$ $q=0,$ así que $\frac{p+1}{2}=\frac{5}{2},$ $\frac{q+1}{2}=\frac{1}{2}\text{:}$ ${\frac{1}{2}\,B\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{3\pi}{8}}={\frac{3\pi}{16}}$ (mira el problema 4). Respuesta: $\frac{3\pi}{16}.$

9. Halla $\int_0^\infty\frac{x}{(1+x)^6}\,dx.$

$m-1=1$ y $m+n=6,$ así que $m=2,$ $n=4\text{:}$ ${B(2,4)}={\frac{1!\cdot 3!}{5!}}={\frac{6}{120}}={\frac{1}{20}.}$ Respuesta: $\frac{1}{20}.$

10. Halla $\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}.$

Con $x^3=s\text{:}$ $\frac{1}{3}\int_0^\infty\frac{s^{-2/3}}{1+s}\,ds;$ aquí $m-1=-\frac{2}{3}$ y $m+n=1,$ así que $m=\frac{1}{3},$ $n=\frac{2}{3}\text{:}$ ${\frac{1}{3}\,B\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)}={\frac{1}{3}\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}={\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}}={\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{9}}$ (el mismo número que en el problema 6). Respuesta: $\frac{2\sqrt{3}\,\pi}{9}.$

11. Halla $\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.$

Con $x^2=t\text{:}$ $x=t^{1/2},$ $dx=\frac{1}{2}t^{-1/2}\,dt,$ y la integral es ${\frac{1}{2}\int_0^1 t^{1/2}(1-t)^{-1/2}\,dt}={\frac{1}{2}\,B\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{\pi}}{1}}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}={\frac{\pi}{4}.}$ Respuesta: $\frac{\pi}{4}.$

12. Halla $\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}\,dx.$

Como $2x-x^2=x(2-\nobreak x),$ se tiene ${x\sqrt{2x-x^2}}={x^{3/2}(2-x)^{1/2}.}$ Es la forma con $a=0,$ $b=2,$ $m-1=\frac{3}{2},$ $n-1=\frac{1}{2}\text{:}$ ${2^3\,B\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)}={8\cdot\frac{\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{3!}}={\frac{\pi}{2}.}$ Respuesta: $\frac{\pi}{2}.$

13. Halla $B\left(-\frac{1}{2},3\right).$

$n=3$ es un entero positivo: ${\frac{2!}{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}}}={\frac{2}{-\frac{3}{8}}}={-\frac{16}{3}.}$ Respuesta: $-\frac{16}{3}.$

14. Una variable aleatoria $X$ tiene distribución beta con $\alpha=3$ y $\beta=2.$ Halla $E(X)$ y la probabilidad $P\left(X\lt\frac{1}{2}\right).$

$E(X)=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}.$ Como $B(3,2)=\frac{1}{12},$ la densidad es $f(x)=12x^2(1-\nobreak x),$ y ${P\left(X\lt\frac{1}{2}\right)}={12\int_0^{1/2}\left(x^2-x^3\right)dx}={12\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{64}\right)}={\frac{5}{16}.}$ Respuesta: $E(X)=\frac{3}{5},$ $P=\frac{5}{16}.$

Más: calculadora de integrales paso a paso