Sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje stepena

Sabiranje i oduzimanje stepena

Jasno je da se stepeni mogu sabirati, kao i druge veličine, tako što ih zapišemo jedne pored drugih zajedno sa njihovim znacima.

Stoga je zbir a3 i b2 jednak a3 + b.
Dok zbir a3 - bn i h5 - d4 je a3 - bn + h5 - d4.

Isti stepeni istih osnova su monomi i njihovi koeficijenti se mogu sabirati ili oduzimati.

Stoga je zbir 2a2 i 3a2, jednak 5a2.

Očigledno je da je zbir dvostruke vrednosti kvadrata broja a, i trostruke vrednosti kvadrata broja a jednak petostrukoj vrednosti kvadrata broja a, kao što je zbir dvostruke i trostruke vrednosti broja a jednak petostrukoj vrednosti broja a.

S druge strane, stepeni različitih osnova ili različitih eksponenata sa istom osnovom, mogu biti zapisani jedino kao zbir ta dva stepena.

Zbir a2 i a3 je a2 + a3.

Očigledno je da zbir kvadrata i kuba broja a, nije jednak ni dvostrukoj vrednosti kvadrata broja a, niti dvostrukoj vrednosti kuba broja a.

Zbir a3bn i 3a5b6 je a3bn + 3a5b6.

Oduzimanje stepena se izvodi na isti način kao i sabiranje samo što se znak umanjioca menja.

Umanjenik 2a4 3h2b6 5(a - h)6
Umanjilac -6a4 4h2b6 2(a - h)6
Razlika 8a4 -h2b6 3(a - h)6

ILI: 2a4 - (-6a4) = 8a4
3h2b6 - 4h2b6 = -h2b6
5(a - h)6 - 2(a - h)6 = 3(a - h)6

Množenje stepena

Stepeni se množe, poput drugih veličina, tako što činioce napišemo jedan pored drugog, sa ili bez znaka za množenje između njih.

Stoga je proizvod a3 i b2 jednak a3b2 ili aaabb.

Činilac x-3 3a6y2 a2b3y2
Činilac am -2x a3b2y
Proizvod amx-3 -6a6xy2 a2b3y2a3b2y

ILI:
x-3 × am = amx-3
3a6y2 × (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 × a3b2y = a2b3y2a3b2y

Zapis proizvoda iz poslednjeg primera možemo skratiti spajanjem (množenjem) stepena sa istom osnovom.
U tom slučaju proizvod bismo zapisali: a5b5y3.

Razlog za ovo će biti jasan, kada budete ponavljali seriju o stepenima u Art. 204, viz.

Upoređujući nekoliko činilaca među sobom, videće se da ukoliko bilo koja dva ili više činioca pomnožimo, njihov proizvod će biti stepen čiji je eksponent zbir eksponenata svih pomnoženih činilaca.

Stoga je a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Ovde je 5 eksponent proizvoda i jednak je 2 + 3, zbiru eksponenata činilaca.

Tako je an.am = am+n.

Dakle, an je uzet kao činilac onoliko puta kolika je vrednost n;

I am je uzet kao činilac onoliko puta kolika je vrednost m;

Iz toga proizilazi da proizvod mora biti sastavljen od a kao činioca onoliko puta kolika je vrednost zbira m i n. Stoga,

Stepeni istog korena mogu se množiti, sabiranjem njihovih eksponenata.

Tako je a2.a6 = a2+6 = a8. I x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Činilac 4an b2y3 (b + h - y)n
Činilac 2an b4y (b + h - y)
Proizvod 8a2n b6y4 (b + h - y)n+1

ILI:
4an × 2an = 8a2n
b2y3 × b4y = b6y4
(b + h - y)n × (b + h - y) = (b + h - y)n+1

Pomnoži x3 + x2y + xy2 + y3 sa x - y.
Rešenje: x4 - y4.
Pomnoži x3 + x - 5 sa 2x3 + x + 1.

Pravilo je podjednako primenjivo i na stepene čiji su eksponenti negativni.

1. Stoga je a-2.a-3 = a-5. Odnosno, (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Ako pomnožimo a + b sa a - b, proizvod će biti a2 - b2: odnosno

Proizvod zbira i razlike dve veličine jednak je razlici njihovih kvadrata.

Ako pomnožimo zbir i razliku kvadrata, proizvod će biti jednak razlici njihovih četvrtih stepena.

     Stoga (a - y).(a + y) = a2 - y2.
     (a2 - y2).(a2 + y2) = a4 - y4.
     (a4 - y4).(a4 + y4) = a8 - y8.

Deljenje stepena

Stepeni se mogu deliti, kao i druge veličine, izbacivanjem iz deljenika činioca od kojih se sastoji i delilac; ili postavljanjem delioca ispod deljenika u formi razlomka.

Stoga količnik a3b2 i b2, je a3.

Deljenik 9a3y4 a2b + 3a2y d.(a - h + y)3
Delilac -3a3 a2y (a - h + y)3
Količnik -3y4 b + 3y4 d

Količnik brojeva a5 i a3, je a5/a3, što je isto što i a2. Jer, u seriji
     a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
ako bilo koji broj podelimo drugim, eksponent količnika će biti jednak razlici između eksponenata deljenika i delioca.

Stepen može biti podeljen drugim stepenom iste osnove, tako što oduzimamo ekponent deljenika od eksponenta delioca.

Tako je y3:y2 = y3-2 = y1. Odnosno yyy/yy = y.

I an+1:a = an+1-1 = an. Odnosno aan/a = an.

Deljenik y2m 8an+m 12(b + y)n
Delilac ym 4am 3(b + y)3
Količnik ym 2an 4(b +y)n-3

Pravilo je jednako primenjivo na stepene čiji su eksponenti negativni.
Količnik brojeva a-5 i a-3, jednak je a-2.
Odnosno (1/aaaaa):(1/aaa) = (1/aaaaa).(aaa/1) = aaa/aaaaa = 1/aa.

3. h2:h-1 = h2+1 = h3. Odnosno h2:(1/h) = h2.(h/1) = h3

Množenje i deljenje stepena dodavanjem i oduzimanjem njihovih eksponenata, trebalo bi da bude dobro poznato pošto imaju brojne i važne primene u višim granama algebre.

Primeri razlomaka koji sadrže stepene

U poglavlju o razlomcima sledeći primeri su izostavljeni kako bi se obradili u temi o stepenima.

1. Pojednostavi izraz 5a4/3a2. Rešenje: 5a2/3.

2. Pojednostavi izraz 6x6/3x5. Rešenje: 2x/1 ili 2x.

3. Pojednostavi izraze a2/a3 i a-3/a-4 izdvajanjem zajedničkog imenioca.
a2.a-4 je a-2 prvi brojilac. (Art. 146.)
a3.a-3 je a0 = 1, drugi brojilac.
a3.a-4 je a-1, zajednički imenilac.
Pojednostavljeni razlomci su stoga a-2/a-1 i 1/a-1.

4. Pojednostavi izraze 2a4/5a3 i a2/a4 izdvajanjem zajedničkog imenioca.
Rešenje: 2a3/5a7 i 5a5/5a7 ili 2a3/5a2 i 5/5a2. (Art. 142.)

5. Pomnoži (a3 + b)/b4 sa (a - b)/3.

6. Pomnoži (a5 + 1)/x2 sa (b2 - 1)/(x + a).

7. Pomnoži b4/a-2 sa h-3/x, i an/y-3.

8. Podeli a4/y3 i a3/y2. Rešenje: a/y.

9. Podeli (h3 - 1)/d4 i (dn + 1)/h.


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019