Vrste trouglova

Trouglovi se dele na dva načina: prema stranicama i prema uglovima. Puni naziv trougla sadrži obe podele, na primer „jednakokraki pravougli trougao“ ili „raznostranični tupougli trougao“.

Na crtežima se jednake stranice obeležavaju istim brojem crtica, a jednaki uglovi istim brojem lukova. Prav ugao se obeležava malim kvadratićem.

U trouglu $ABC$ oznake pokazuju da je ${AC=BC}$ i ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}.$ U trouglu $DEF$ ugao kod temena $D$ je prav.

Na ovoj stranici: Prema stranicama · Prema uglovima · Moguće kombinacije · Vrsta prema dužinama stranica · Primeri · Česte greške · Zadaci za vežbu

Podela prema stranicama

Raznostranični trougao: sve tri stranice su različite dužine. Tada su i sva tri ugla različita.
Jednakokraki trougao: dve stranice su jednake. Jednake stranice su kraci, a treća stranica je osnovica. Uglovi uz osnovicu (uglovi na osnovici) su jednaki.
Jednakostranični trougao: sve tri stranice su jednake. Tada su i sva tri ugla jednaka, svaki po ${60^\circ}.$

Jednakostranični trougao je poseban slučaj jednakokrakog: ima dve jednake stranice, a i treća stranica je jednaka njima. Zato sve što važi za svaki jednakokraki trougao važi i za jednakostranični.

Podela prema uglovima

Oštrougli trougao: sva tri ugla su oštra (manja od ${90^\circ}$).
Pravougli trougao: jedan ugao je prav (${90^\circ}$). Stranica naspram njega je hipotenuza, a druge dve stranice su katete.
Tupougli trougao: jedan ugao je tup (veći od ${90^\circ}$).

Svaki trougao ima najmanje dva oštra ugla, jer je zbir njegovih uglova ${180^\circ}.$ I pravougli i tupougli trougao imaju po dva oštra ugla, pa ipak nisu oštrougli. Gledamo najveći ugao. Ako je on oštar, trougao je oštrougli; ako je prav – pravougli; ako je tup – tupougli.

Koje su kombinacije moguće?

Nazovimo svaki trougao njegovom najužom vrstom prema stranicama, tako da se jednakostranični ne računa ponovo kao jednakokraki. Tada svaki trougao ima jednu vrstu prema stranicama i jednu prema uglovima, a od devet kombinacija postoji sedam. U tabeli je za svaku dat primer uglova.

	Oštrougli	Pravougli	Tupougli
Raznostranični	${50^\circ},$ ${60^\circ},$ ${70^\circ}$	${30^\circ},$ ${60^\circ},$ ${90^\circ}$	${20^\circ},$ ${40^\circ},$ ${120^\circ}$
Jednakokraki	${70^\circ},$ ${70^\circ},$ ${40^\circ}$	${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$	${30^\circ},$ ${30^\circ},$ ${120^\circ}$
Jednakostranični	${60^\circ},$ ${60^\circ},$ ${60^\circ}$	—	—

Crtica znači da je kombinacija nemoguća. Jednakostranični trougao je uvek oštrougli, jer su mu svi uglovi ${60^\circ}.$ U pravouglom ili tupouglom jednakokrakom trouglu prav ili tup ugao mora biti ugao pri vrhu: dva ugla na osnovici od ${90^\circ}$ ili više dala bi zajedno najmanje ${180^\circ}.$

Kako se vrsta određuje prema dužinama stranica

Prema stranicama je lako: brojimo jednake stranice. Za podelu prema uglovima najveću stranicu označimo sa $c$ (bez obzira koja je), druge dve sa $a$ i $b,$ pa uporedimo ${c^2}$ sa ${a^2+b^2}.$

${c^2\lt a^2+b^2}$ znači da je trougao oštrougli;

${c^2=a^2+b^2}$ znači da je trougao pravougli (obrnuta Pitagorina teorema);

${c^2\gt a^2+b^2}$ znači da je trougao tupougli.

Zašto je tako? Po kosinusnoj teoremi ${c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma},$ gde je $\gamma$ ugao naspram najveće stranice, tj. najveći ugao. Broj ${\cos\gamma}$ je pozitivan, nula ili negativan tačno onda kada je $\gamma$ oštar, prav ili tup ugao.

Pre određivanja vrste proverimo da li trougao uopšte postoji: najveća stranica mora biti manja od zbira druge dve.

Stranice $5,$ $6$ i $7.$ Pošto je ${7^2=49\lt 5^2+6^2=61},$ trougao je oštrougli; stranice su različite, pa je to raznostranični oštrougli trougao.
Stranice $6,$ $8$ i $10.$ Pošto je ${10^2=100=6^2+8^2},$ to je raznostranični pravougli trougao.
Stranice $5,$ $5$ i $8.$ Pošto je ${8^2=64\gt 5^2+5^2=50},$ to je jednakokraki tupougli trougao.

Primeri

Primer 1. Odredite vrstu trougla prema stranicama i prema uglovima.

Rešenje. Oznake pokazuju dve jednake stranice, ${AB=BC},$ pa je trougao prema stranicama jednakokraki. Kvadratić kod $B$ označava prav ugao, pa je trougao prema uglovima pravougli. To je jednakokraki pravougli trougao. Njegovi oštri uglovi su jednaki: ${\sphericalangle A=\sphericalangle C=45^\circ}.$

Primer 2. U trouglu $ABC$ ugao kod $A$ je ${40^\circ},$ a ugao kod $B$ je ${110^\circ}.$ Odredite vrstu trougla.

Rešenje. Treći ugao je ${180^\circ-40^\circ-110^\circ=30^\circ}.$ Sva tri ugla su različita, pa su i sve tri stranice različite: trougao je raznostranični. Ugao kod $B$ je veći od ${90^\circ},$ pa je trougao tupougli. To je raznostranični tupougli trougao.

Primer 3. Dva ugla trougla su ${35^\circ}$ i ${55^\circ}.$ Odredite vrstu trougla.

Rešenje. Treći ugao je ${180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ}.$ Sva tri ugla su različita, pa je to raznostranični pravougli trougao.

Primer 4. Uglovi trougla odnose se kao ${2:3:4}.$ Odredite vrstu trougla.

Rešenje. ${2k+3k+4k=180^\circ},$ pa je ${k=20^\circ},$ a uglovi su ${40^\circ},$ ${60^\circ}$ i ${80^\circ}.$ Svi su oštri i različiti: raznostranični oštrougli trougao.

Primer 5. Odredite vrstu trougla sa stranicama 8 cm, 8 cm i 13 cm.

Rešenje. Trougao postoji, jer je ${13\lt 8+8}.$ Dve stranice su jednake, pa je jednakokraki. Najveća stranica je 13 i ${13^2}={169}\gt{8^2+8^2}={128},$ pa je ugao naspram nje tup. To je jednakokraki tupougli trougao.

Česte greške

Greška	Pogrešno	Tačno
Vrsta određena prema oštrom uglu	Uglovi su ${30^\circ},$ ${60^\circ},$ ${90^\circ}.$ Ima oštrih uglova, pa je trougao oštrougli	Najveći ugao je ${90^\circ},$ pa je trougao pravougli
Mišljenje da pravougli trougao ne može biti jednakokraki	Pravougli trougao uvek ima tri različite stranice	Uglovi ${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$ daju jednakokraki pravougli trougao
Kvadrati upoređeni sa pogrešnom stranicom	Stranice 5, 12, 13. Pošto je ${5^2\lt 12^2+13^2},$ trougao je oštrougli	Uzima se najveća stranica: ${13^2=5^2+12^2},$ pa je trougao pravougli
Nije provereno da li trougao postoji	Stranice 2, 3, 6. Pošto je ${6^2\gt 2^2+3^2},$ trougao je tupougli	${6\gt 2+3},$ pa takav trougao ne postoji
Tup ugao na osnovici	Jednakokraki trougao sa uglovima na osnovici od ${100^\circ}$	Nemoguće: u jednakokrakom trouglu tup može biti samo ugao pri vrhu

Zadaci za vežbu

Odredite vrstu svakog trougla prema stranicama i prema uglovima, pa otvorite rešenje.

1. Uglovi su ${30^\circ},$ ${60^\circ}$ i ${90^\circ}.$

Raznostranični pravougli trougao.

2. Dva ugla su ${50^\circ}$ i ${65^\circ}.$

Treći ugao je ${65^\circ}.$ Dva ugla su jednaka, pa su jednake i dve stranice: jednakokraki oštrougli trougao.

3. Stranice su 9, 12 i 15.

${15^2=225=9^2+12^2},$ pa je to raznostranični pravougli trougao.

4. Stranice su 5, 5 i 8.

${8^2=64\gt 5^2+5^2=50},$ pa je to jednakokraki tupougli trougao.

5. Stranice su 6, 7 i 8.

${8^2=64\lt 6^2+7^2=85},$ pa je to raznostranični oštrougli trougao.

6. Stranice su 7, 7 i 7.

Jednakostranični trougao; uglovi su mu ${60^\circ},$ pa je oštrougli.

7. Stranice su 2, 3 i 6.

Takav trougao ne postoji, jer je ${6\gt 2+3}.$

8. Može li pravougli trougao biti jednakostraničan?

Ne može. Svi uglovi jednakostraničnog trougla su ${60^\circ},$ pa nijedan nije prav.

9. Jedan ugao jednakokrakog trougla je ${100^\circ}.$ Odredite ostale uglove i vrstu trougla.

${100^\circ}$ mora biti ugao pri vrhu, pa su uglovi na osnovici po ${40^\circ}.$ To je jednakokraki tupougli trougao.

10. Uglovi se odnose kao ${1:1:2}.$

${k+k+2k=180^\circ},$ pa su uglovi ${45^\circ},$ ${45^\circ}$ i ${90^\circ}:$ jednakokraki pravougli trougao.

Još o trouglovima: Trouglovi · Visina · Težišne duži · Podudarnost