Podudarnost trouglova – zadaci: stav SUS

Stav SUS. Ako su dve stranice i ugao između njih jednog trougla jednaki odgovarajućim dvema stranicama i uglu između njih drugog trougla, trouglovi su podudarni.

U svakom zadatku imenujemo dva trougla, navodimo tri para jednakih elemenata sa obrazloženjem i proveravamo da li je ugao između te dve stranice. Teorija je na stranici Podudarnost trouglova, a zadaci za druge stavove na stranici Zadaci: stavovi USU i SSS.

Zadatak 1

U jednakokrakom trouglu $ABC$ je ${AC=BC},$ a $CD$ je simetrala ugla kod $C$ (tačka $D$ leži na $AB$). Dokažite da je ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

Rešenje. Za trouglove $ACD$ i $BCD$ važi:

1. ${AC=BC},$ jer je trougao jednakokraki;
2. ${\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD},$ jer je $CD$ simetrala ugla;
3. $CD$ je zajednička stranica.

Ugao $ACD$ je između stranica $AC$ i $CD,$ a ugao $BCD$ između $BC$ i $CD.$ Po stavu SUS je ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

Zadatak 2

Dokažite da je u jednakokrakom trouglu simetrala ugla pri vrhu ujedno težišna duž i visina na osnovicu.

Rešenje. Koristimo sliku i rezultat zadatka 1: ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

• Stranice $AD$ i $BD$ su odgovarajuće, pa je ${AD=BD}:$ tačka $D$ je središte $AB,$ tj. $CD$ je težišna duž.
• Uglovi $ADC$ i $BDC$ su odgovarajući, pa su jednaki. Oni su i uporedni, sa zbirom ${180^\circ},$ pa je svaki od njih ${90^\circ}:$ $CD$ je visina.

Iz jednog temena polaze samo jedna simetrala ugla, jedna težišna duž i jedna visina, pa se u jednakokrakom trouglu te tri duži na osnovicu poklapaju.

Zadatak 3

Dokažite da su uglovi na osnovici jednakokrakog trougla jednaki.

Rešenje. Konstruišimo simetralu $CD$ ugla pri vrhu. Po zadatku 1 je ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$ Uglovi kod $A$ i $B$ su odgovarajući uglovi tih trouglova, pa je ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}.$

Zadatak 4

U jednakokrakom trouglu $ABC$ je ${AC=BC},$ a $D$ je središte osnovice $AB.$ Obim trougla $ADC$ je 18 cm, a ${CD=6}$ cm. Odredite obim trougla $ABC.$

Rešenje. Obim trougla $ADC$ je ${AC+CD+AD=18},$ pa je ${AC+AD=18-6=12}$ cm. Pošto je ${BC=AC}$ i ${DB=AD},$ obim trougla $ABC$ je

${AC+BC+AD+DB}={2\,(AC+AD)}={2\cdot 12}={24}$ cm.

Zadatak 5

Prava odseca na kracima ugla $AOB$ jednake duži ${OC=OD}.$ Dokažite da je ta prava normalna na simetralu ugla.

Rešenje. Neka prava ${\ell=CD}$ seče simetralu $OL$ u tački $F.$ Trougao $OCD$ je jednakokraki, jer je ${OC=OD},$ a $OF$ je simetrala njegovog ugla pri vrhu. Po zadatku 2, $OF$ je i visina na osnovicu $CD,$ pa je ${CD\perp OL}.$

Zadatak 6

Dijagonale četvorougla $ABCD$ polove se u tački $O.$ Dokažite da su mu naspramne stranice jednake.

Rešenje. Za trouglove $AOD$ i $COB$ važi:

1. ${AO=CO}$ i ${OD=OB},$ jer se dijagonale polove;
2. ${\sphericalangle AOD=\sphericalangle COB}$ kao unakrsni uglovi.

Po stavu SUS je ${\triangle AOD\cong\triangle COB},$ pa je ${AD=CB}.$ Na isti način je ${\triangle AOB\cong\triangle COD},$ pa je ${AB=CD}.$

Iz podudarnosti sledi i ${\sphericalangle OAD=\sphericalangle OCB}.$ To su naizmenični uglovi kod pravih $AD$ i $BC$ i transverzale $AC,$ pa je ${AD\parallel BC};$ na isti način ${AB\parallel CD}.$ Dakle, četvorougao čije se dijagonale polove je paralelogram.

Zadatak 7

${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$ Tačke $M$ i $M_1$ leže redom na stranicama $AB$ i $A_1B_1,$ pri čemu je ${AM=A_1M_1}.$ Dokažite da je ${CM=C_1M_1}$ i ${\sphericalangle BMC=\sphericalangle B_1M_1C_1}.$

Rešenje. Iz podudarnosti trouglova je ${AC=A_1C_1}$ i ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1}.$ Za trouglove $AMC$ i $A_1M_1C_1$ važi:

1. ${AM=A_1M_1}$ (dato);
2. ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1};$
3. ${AC=A_1C_1}.$

Po stavu SUS je ${\triangle AMC\cong\triangle A_1M_1C_1},$ pa je ${CM=C_1M_1}$ i ${\sphericalangle AMC=\sphericalangle A_1M_1C_1}.$ Uglovi $BMC$ i $B_1M_1C_1$ su uporedni sa tim jednakim uglovima, pa je ${\sphericalangle BMC}={180^\circ-\sphericalangle AMC}={180^\circ-\sphericalangle A_1M_1C_1}={\sphericalangle B_1M_1C_1}.$

Zadatak 8

Tačke $D$ i $E$ leže na osnovici $AB$ jednakokrakog trougla $ABC$ (${AC=BC}$), pri čemu je ${AD=BE}.$ Dokažite da je ${CD=CE}.$

Rešenje. Za trouglove $ADC$ i $BEC$ važi:

1. ${AD=BE}$ (dato);
2. ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}$ – uglovi na osnovici (zadatak 3);
3. ${AC=BC}.$

Po stavu SUS je ${\triangle ADC\cong\triangle BEC},$ pa je ${CD=CE}.$

Zadatak 9

U jednakokrakom trouglu $ABC$ (${AC=BC}$) duži $AA_1$ i $BB_1$ su težišne duži na krake. Dokažite da je ${AA_1=BB_1}.$

Rešenje. Za trouglove $ABB_1$ i $BAA_1$ važi:

1. $AB$ je zajednička stranica;
2. ${\sphericalangle BAB_1=\sphericalangle ABA_1}$ – uglovi na osnovici;
3. ${AB_1}={\frac12\,AC}={\frac12\,BC}={BA_1}.$

Po stavu SUS je ${\triangle ABB_1\cong\triangle BAA_1},$ pa je ${BB_1=AA_1}.$

Zadatak 10

Nad stranicama $BC$ i $CA$ trougla $ABC,$ čiji je ugao $\gamma$ kod temena $C$ oštar, spolja su konstruisani kvadrati $BMNC$ i $CPQA.$ Dokažite da je ${AN=BP}.$

Rešenje. Posmatramo trouglove $NCA$ i $BCP$ (na slici su nacrtani isprekidanom linijom).

1. ${CN=CB}$ kao stranice kvadrata $BMNC;$
2. ${CA=CP}$ kao stranice kvadrata $CPQA;$
3. ${\sphericalangle NCA=90^\circ+\gamma}$ i ${\sphericalangle BCP=\gamma+90^\circ},$ pa je ${\sphericalangle NCA=\sphericalangle BCP}.$

Po stavu SUS je ${\triangle NCA\cong\triangle BCP},$ pa je ${AN=BP}.$

Štaviše, rotacija za ${90^\circ}$ oko tačke $C$ koja preslikava $N$ u $B$ preslikava i $A$ u $P.$ Dakle, ona preslikava duž $NA$ u $BP,$ odakle je i ${AN\perp BP}.$ Ovo razmatranje ne zavisi od veličine ugla $\gamma,$ pa je ${AN=BP}$ i kada je ugao kod $C$ tup.

Zadaci za vežbu

Rešite ih sami, pa otvorite rešenje.

1. Tačke $A$ i $C$ leže na jednom kraku ugla sa temenom $O,$ a $B$ i $D$ na drugom, pri čemu je ${OA=OB}$ i ${OC=OD}.$ Dokažite da je ${AD=BC}.$

U trouglovima $OAD$ i $OBC$ je ${OA=OB},$ ugao $O$ je zajednički i ${OD=OC}.$ Po stavu SUS su podudarni, pa je ${AD=BC}.$

2. $ABCD$ je kvadrat, $M$ je središte $AB,$ a $N$ središte $AD.$ Dokažite da je ${CM=CN}.$

U trouglovima $CBM$ i $CDN$ je ${CB=CD},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle D=90^\circ}$ i ${BM=DN}$ (polovine jednakih stranica). Po stavu SUS su podudarni, pa je ${CM=CN}.$

3. U trouglu $ABC$ je ${AB=AC}.$ Tačke $D$ na $AB$ i $E$ na $AC$ su takve da je ${AD=AE}.$ Dokažite da je ${BE=CD}.$

U trouglovima $ABE$ i $ACD$ je ${AB=AC},$ ugao $A$ je zajednički i ${AE=AD}.$ Po stavu SUS su podudarni, pa je ${BE=CD}.$

4. Tačke $D,$ $E$ i $F$ leže redom na stranicama $AB,$ $BC$ i $CA$ jednakostraničnog trougla $ABC,$ pri čemu je ${AD=BE=CF}.$ Dokažite da je trougao $DEF$ jednakostraničan.

Duži ${BD=AB-AD},$ ${CE=BC-BE}$ i ${AF=CA-CF}$ su takođe jednake. Svaki od trouglova $ADF,$ $BED$ i $CFE$ ima ugao od ${60^\circ}$ između dve stranice tih jednakih dužina, pa su po stavu SUS podudarni. Zato je ${DF=ED=FE}.$

Još: Podudarnost trouglova · Zadaci: stavovi USU i SSS · Trouglovi