Podudarnost trouglova – zadaci: stavovi USU i SSS

Na ovoj stranici rešavamo zadatke po stavovima USU i SSS i po posledici stava USU. Zadaci po stavu SUS su na stranici Zadaci: stav SUS, a teorija je na stranici Podudarnost trouglova.

Stav USU

Ako su jedna stranica i dva na nju nalegla ugla jednog trougla jednaki odgovarajućoj stranici i dvama na nju naleglim uglovima drugog trougla, trouglovi su podudarni.

Posledica: dva ugla i stranica

Ako su u jednom trouglu dva ugla i stranica naspram jednog od njih jednaki odgovarajućim dvama uglovima i stranici drugog trougla, trouglovi su podudarni.

To sledi iz stava USU: jednaki su i treći uglovi, jer je zbir uglova svakog trougla ${180^\circ}.$

Stav SSS

Ako su tri stranice jednog trougla jednake odgovarajućim trima stranicama drugog trougla, trouglovi su podudarni.

Zadaci

Zadatak 1

U jednakokrakom trouglu $ABC$ je ${AC=BC},$ a $AM$ i $BN$ su simetrale uglova na osnovici. Dokažite da je ${AM=BN}.$

Rešenje. Posmatramo trouglove $ABM$ i $BAN.$

1. $AB$ je zajednička stranica.
2. ${\sphericalangle ABM=\sphericalangle BAN},$ jer su uglovi na osnovici jednakokrakog trougla jednaki.
3. ${\sphericalangle BAM=\sphericalangle ABN},$ jer je svaki od njih polovina ugla na osnovici.

U oba trougla stranica $AB$ je između ta dva ugla, pa je po stavu USU ${\triangle ABM\cong\triangle BAN}.$ Duži $AM$ i $BN$ su odgovarajuće stranice, pa je ${AM=BN}.$

Zadatak 2

$CM$ je težišna duž trougla $ABC.$ Duži $AA_1$ i $BB_1$ su normalne na pravu $CM$ (tačke $A_1$ i $B_1$ leže na toj pravoj). Dokažite da je ${AA_1=BB_1}.$

Rešenje. Posmatramo pravougle trouglove $AA_1M$ i $BB_1M.$

1. ${AM=BM},$ jer je $CM$ težišna duž.
2. ${\sphericalangle AMA_1=\sphericalangle BMB_1}$ kao unakrsni uglovi.
3. ${\sphericalangle AA_1M=\sphericalangle BB_1M=90^\circ}.$

Jednake stranice $AM$ i $BM$ leže naspram pravih uglova, pa je po posledici stava USU ${\triangle AA_1M\cong\triangle BB_1M}$ i ${AA_1=BB_1}.$ (Ako je ${CM\perp AB},$ tačke $A_1,$ $B_1$ i $M$ se poklapaju i tvrđenje je očigledno.)

Zadatak 3

Dokažite da je svaka tačka simetrale ugla jednako udaljena od krakova tog ugla.

Rešenje. Neka je $M$ tačka simetrale $OL$ ugla $AOB,$ a ${MP\perp OA}$ i ${MQ\perp OB}.$ Posmatramo trouglove $OPM$ i $OQM.$

1. $OM$ je zajednička stranica.
2. ${\sphericalangle POM=\sphericalangle QOM},$ jer je $OL$ simetrala ugla.
3. ${\sphericalangle OPM=\sphericalangle OQM=90^\circ}.$

Po posledici stava USU je ${\triangle OPM\cong\triangle OQM},$ pa je ${MP=MQ}.$ Normale odsecaju na kracima i jednake duži: ${OP=OQ}.$

Zadatak 4

Dokažite da je trougao jednakokraki ako se visina i simetrala ugla iz istog temena poklapaju.

Rešenje. Neka je $CP$ istovremeno visina i simetrala ugla iz temena $C.$ Posmatramo trouglove $APC$ i $BPC.$

1. $CP$ je zajednička stranica.
2. ${\sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP},$ jer je $CP$ simetrala ugla.
3. ${\sphericalangle APC=\sphericalangle BPC=90^\circ},$ jer je $CP$ visina.

Stranica $CP$ je između ta dva ugla, pa je po stavu USU ${\triangle APC\cong\triangle BPC}$ i ${AC=BC}.$ Trougao je jednakokraki.

Zadatak 5

Dokažite da je trougao sa dva jednaka ugla jednakokraki: ako je u trouglu $ABC$ ${\sphericalangle A=\sphericalangle B},$ onda je ${AC=BC}.$

Rešenje. Konstruišimo simetralu $CD$ ugla kod $C.$ Posmatramo trouglove $ACD$ i $BCD.$

1. ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}$ (dato).
2. ${\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD},$ jer je $CD$ simetrala ugla.
3. $CD$ je zajednička stranica.

Stranica $CD$ leži naspram ugla $A$ u prvom trouglu i naspram njemu jednakog ugla $B$ u drugom, pa je po posledici stava USU ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$ Zato je ${AC=BC}.$ Zajedno sa zadatkom 3 sa stranice Zadaci: stav SUS ovo pokazuje da je trougao jednakokraki tačno onda kada ima dva jednaka ugla.

Zadatak 6

Za trouglove $ABC$ i $A_1B_1C_1$ poznato je da je ${AB=A_1B_1}$ i ${BC=B_1C_1}$ i da su težišne duži $AM$ i $A_1M_1$ na stranice $BC$ i $B_1C_1$ jednake. Dokažite da je ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

Rešenje. $M$ i $M_1$ su središta stranica, pa je ${BM}={\frac12\,BC}={\frac12\,B_1C_1}={B_1M_1}.$ Za trouglove $ABM$ i $A_1B_1M_1$ važi:

1. ${AB=A_1B_1};$
2. ${BM=B_1M_1};$
3. ${AM=A_1M_1}.$

Po stavu SSS je ${\triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1},$ pa je ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1}.$ Sada trouglovi $ABC$ i $A_1B_1C_1$ imaju ${AB=A_1B_1},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1}$ i ${BC=B_1C_1},$ pa su po stavu SUS podudarni: ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

Zadatak 7

U jednakokrakom trouglu $ABC$ je ${AC=BC},$ a $M$ je središte osnovice $AB.$ Dokažite da je ${CM\perp AB}$ i da $CM$ polovi ugao kod $C.$

Rešenje. Trouglovi $AMC$ i $BMC$ imaju ${AC=BC},$ ${AM=BM}$ i zajedničku stranicu $CM.$ Po stavu SSS je ${\triangle AMC\cong\triangle BMC}.$ Zato je ${\sphericalangle ACM=\sphericalangle BCM}$ i ${\sphericalangle AMC=\sphericalangle BMC}.$ Poslednja dva ugla su uporedna, sa zbirom ${180^\circ},$ pa je svaki od njih ${90^\circ}.$

Zadatak 8

U konveksnom četvorouglu $ABCD$ naspramne stranice su jednake: ${AB=CD}$ i ${BC=DA}.$ Dokažite da je ${\sphericalangle B=\sphericalangle D}$ i ${AB\parallel CD}.$

Rešenje. Povucimo dijagonalu $AC.$ Trouglovi $ABC$ i $CDA$ imaju ${AB=CD},$ ${BC=DA}$ i zajedničku stranicu $AC.$ Po stavu SSS je ${\triangle ABC\cong\triangle CDA}.$

Zato je ${\sphericalangle B=\sphericalangle D},$ a takođe i ${\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCA}.$ To su naizmenični uglovi kod pravih $AB$ i $CD$ i transverzale $AC,$ pa je ${AB\parallel CD}.$ Na isti način ${BC\parallel AD}:$ četvorougao je paralelogram.

Zadatak 9

U četvorouglu $ABCD$ (deltoidu) je ${AB=AD}$ i ${CB=CD}.$ Dokažite da dijagonala $AC$ polovi uglove kod $A$ i kod $C.$

Rešenje. Trouglovi $ABC$ i $ADC$ imaju ${AB=AD},$ ${CB=CD}$ i zajedničku stranicu $AC.$ Po stavu SSS je ${\triangle ABC\cong\triangle ADC},$ pa je ${\sphericalangle BAC=\sphericalangle DAC}$ i ${\sphericalangle BCA=\sphericalangle DCA}.$

Zadatak 10

Duži $AB$ i $CD$ seku se u tački $O,$ koja je središte duži $AB,$ pri čemu je ${AC\parallel BD}.$ Dokažite da je $O$ i središte duži $CD.$

Rešenje. Posmatramo trouglove $AOC$ i $BOD.$

1. ${AO=BO},$ jer je $O$ središte duži $AB.$
2. ${\sphericalangle OAC=\sphericalangle OBD}$ kao naizmenični uglovi kod paralelnih pravih $AC$ i $BD$ i transverzale $AB.$
3. ${\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD}$ kao unakrsni uglovi.

Stranica $AO$ je između uglova kod $A$ i $O,$ a $BO$ između uglova kod $B$ i $O.$ Po stavu USU je ${\triangle AOC\cong\triangle BOD},$ pa je ${OC=OD}.$

Zadaci za vežbu

Rešite ih sami, pa otvorite rešenje.

1. Dokažite da su u jednakokrakom trouglu visine na krake jednake.

Neka je ${AC=BC},$ a $AA_1$ i $BB_1$ visine na krake. Pravougli trouglovi $ABA_1$ i $BAB_1$ imaju zajedničku hipotenuzu $AB$ i jednake uglove ${\sphericalangle ABA_1=\sphericalangle BAB_1}.$ Po posledici stava USU su podudarni, pa je ${AA_1=BB_1}.$

2. Dokažite da su u podudarnim trouglovima težišne duži na odgovarajuće stranice jednake.

Ako je ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1},$ a $M$ i $M_1$ su središta $BC$ i $B_1C_1,$ onda je ${AB=A_1B_1},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1}$ i ${BM=B_1M_1}.$ Po stavu SUS je ${\triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1},$ pa je ${AM=A_1M_1}.$

3. Tačka $M$ je jednako udaljena od krajeva duži $AB,$ ${MA=MB}.$ Dokažite da $M$ leži na simetrali duži $AB.$

Neka je $O$ središte duži $AB.$ Trouglovi $MOA$ i $MOB$ imaju ${MA=MB},$ ${OA=OB}$ i zajedničku stranicu $MO.$ Po stavu SSS su podudarni, pa su jednaki uporedni uglovi $MOA$ i $MOB$ pravi: $MO$ je simetrala duži.

4. Za trouglove $ABC$ i $DEF$ poznato je da je ${\sphericalangle A=\sphericalangle D},$ ${\sphericalangle C=\sphericalangle F}$ i ${AB=DE}.$ Da li su trouglovi podudarni?

Jesu, po posledici stava USU: stranice $AB$ i $DE$ leže naspram jednakih uglova $C$ i $F.$

Još: Podudarnost trouglova · Zadaci: stav SUS · Trouglovi