Podudarnost trouglova

Dva trougla su podudarna ako se jedan od njih može premestiti (pomeriti, zarotirati ili prevrnuti) tako da tačno prekrije drugi.

Podudarni trouglovi imaju isti oblik i istu veličinu; razlikovati se može samo njihov položaj. Kada jedan prekrije drugi, svako teme pada na teme, svaka stranica na stranicu i svaki ugao na ugao. To su odgovarajuća temena, stranice i uglovi, a odgovarajuće stranice i uglovi su jednaki.

Pišemo ${\triangle ABC\cong\triangle DEF}$ i čitamo „trougao $ABC$ je podudaran trouglu $DEF$“. Redosled slova je važan: on pokazuje koja temena odgovaraju jedno drugom – $A$ i $D,$ $B$ i $E,$ $C$ i $F.$ Zato ovaj kratak zapis sadrži šest jednakosti:

$$AB=DE,\qquad BC=EF,\qquad CA=FD,$$ $$\sphericalangle A=\sphericalangle D,\qquad \sphericalangle B=\sphericalangle E,\qquad \sphericalangle C=\sphericalangle F.$$

U dokazima se to koristi kao pravilo „odgovarajući elementi podudarnih trouglova su jednaki“.

Na ovoj stranici: Stavovi podudarnosti · SUS · USU · SSS · SSU · Pravougli trouglovi · Kako se zapisuje dokaz · Česte greške · Zadaci za vežbu

Stavovi podudarnosti trouglova

Da bismo dokazali da su dva trougla podudarna, ne moramo da proveravamo svih šest jednakosti: dovoljne su tri dobro izabrane. Pravila koja kažu koje tri su dovoljne zovu se stavovi podudarnosti. Na slikama su dati jednaki elementi označeni crvenom bojom.

Stav SUS (stranica, ugao, stranica)

Ako su dve stranice i ugao između njih jednog trougla jednaki odgovarajućim dvema stranicama i uglu između njih drugog trougla, trouglovi su podudarni.

Ako je ${AB=A_1B_1},$ ${AC=A_1C_1}$ i ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1},$ onda je ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$ Ugao mora biti baš između te dve stranice. Rešeni zadaci: Zadaci: stav SUS.

Stav USU (ugao, stranica, ugao)

Ako su jedna stranica i dva na nju nalegla ugla jednog trougla jednaki odgovarajućoj stranici i dvama na nju naleglim uglovima drugog trougla, trouglovi su podudarni.

Ako je ${AB=A_1B_1},$ ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1}$ i ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1},$ onda je ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

Posledica: dva ugla i stranica naspram jednog od njih

Ako su dva ugla i stranica koja nije između njih jednog trougla jednaki odgovarajućim dvama uglovima i stranici drugog trougla, trouglovi su podudarni.

To sledi iz stava USU. Kada su dva ugla jednaka, jednaki su i treći uglovi, jer je svaki od njih ${180^\circ}$ minus druga dva. Na slici je ${\sphericalangle C=\sphericalangle C_1},$ pa stranica $BC$ sa uglovima $B$ i $C$ na njoj daje stav USU. Važno je da stranice budu odgovarajuće: jednake stranice moraju ležati naspram jednakih uglova.

Stav SSS (stranica, stranica, stranica)

Ako su tri stranice jednog trougla jednake odgovarajućim trima stranicama drugog trougla, trouglovi su podudarni.

Dakle, tri stranice potpuno određuju trougao. Zato je konstrukcija od tri letvice kruta, a konstrukcija od četiri letvice može da se iskrivi. Iz tog razloga se mostovi, krovovi i dizalice grade od trouglova. Rešeni zadaci: Zadaci: stavovi USU i SSS.

Stav SSU (dve stranice i ugao naspram veće od njih)

Dve stranice i ugao koji nije između njih u opštem slučaju nisu dovoljni.

Na slici trouglovi $ABC$ i $ABC'$ imaju zajedničku stranicu $AB,$ zajednički ugao kod $A$ i ${BC=BC'}.$ Ipak nisu podudarni: krug sa centrom $B$ i poluprečnikom $BC$ seče polupravu iz $A$ u dve tačke.

Ako su dve stranice i ugao naspram veće od njih jednog trougla jednaki odgovarajućim dvema stranicama i uglu naspram veće od njih drugog trougla, trouglovi su podudarni. Stav važi i kada su te dve stranice jednake.

Na slici ugao kod $A$ leži naspram manje stranice, ${BC\lt AB}.$ Da je $BC$ bar koliko i $AB,$ krug bi sekao polupravu iz $A$ samo u jednoj tački i trougao bi bio određen.

Podudarnost pravouglih trouglova

Kod pravouglih trouglova pravi uglovi su već jednaki, pa su dovoljna još dva para jednakih elemenata:

obe katete (stav SUS);
kateta i oštar ugao (stav USU ili njegova posledica);
hipotenuza i oštar ugao (posledica stava USU);
hipotenuza i kateta (stav SSU, jer prav ugao leži naspram hipotenuze, najveće stranice).

Šta nije dovoljno

Tri jednaka ugla. Trouglovi sa jednakim uglovima imaju isti oblik, ali mogu biti različite veličine. Oni su slični, ali ne moraju biti podudarni.
Dve stranice i ugao naspram manje od njih – kao na slici iznad.
Samo dva para jednakih elemenata. Na primer, kod dve jednake stranice ugao između njih može biti bilo koji.

Kako se zapisuje dokaz podudarnosti

Imenujemo dva trougla, pišući temena u odgovarajućem redosledu.
Navedemo tri para jednakih elemenata i obrazložimo svaki: dato, zajednička stranica, unakrsni uglovi, osobina figure itd.
Navedemo stav i proverimo da li su elementi na pravim mestima, na primer da li je kod stava SUS ugao između stranica.
Zapišemo zaključak ${\triangle\ldots\cong\triangle\ldots}$ i zatim koristimo odgovarajuće elemente.

Primer 1. Duži $AB$ i $CD$ se polove u tački $O.$ Dokažite da je ${AC=BD}.$

Rešenje. Posmatramo trouglove $AOC$ i $BOD.$

${AO=BO},$ jer je $O$ središte duži $AB.$
${\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD}$ kao unakrsni uglovi.
${CO=DO},$ jer je $O$ središte duži $CD.$

Ugao kod $O$ je između te dve stranice, pa je po stavu SUS ${\triangle AOC\cong\triangle BOD}.$ Stranice $AC$ i $BD$ su odgovarajuće, pa je ${AC=BD}.$

Primer 2. Za trouglove $ABC$ i $DEF$ poznato je da je ${AB=DE=5},$ ${BC=EF=7}$ i ${\sphericalangle B=\sphericalangle E=40^\circ}.$ Da li su trouglovi podudarni? Koji ugao trougla $DEF$ je jednak uglu $C?$

Rešenje. Ugao $B$ je između stranica $AB$ i $BC,$ a ugao $E$ između $DE$ i $EF.$ Po stavu SUS ${\triangle ABC\cong\triangle DEF},$ a uglu $C$ odgovara ugao $F,$ pa je ${\sphericalangle C=\sphericalangle F}.$

Primer 3. Za trouglove $ABC$ i $DEF$ poznato je da je ${\sphericalangle A=\sphericalangle D=50^\circ},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle E=60^\circ}$ i ${BC=DF}.$ Da li su trouglovi podudarni?

Rešenje. Na osnovu ovih podataka – ne. Stranica $BC$ leži naspram ugla od ${50^\circ},$ a $DF$ naspram ugla $E$ od ${60^\circ},$ pa te stranice nisu odgovarajuće. Stranici $BC$ odgovara stranica $EF.$ Trouglovi imaju jednake uglove, pa su slični. Ali ${BC=DF\gt EF},$ jer u trouglu $DEF$ stranica $DF$ leži naspram većeg ugla. Dakle, trougao $ABC$ je veći od trougla $DEF$ i oni nisu podudarni.

Česte greške

Greška	Pogrešno	Tačno
Ugao nije između stranica	${AB=A_1B_1},$ ${BC=B_1C_1},$ ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1},$ pa su podudarni po stavu SUS	Ugao $A$ nije između $AB$ i $BC;$ to su dve stranice i ugao naspram jedne od njih, što ne mora biti dovoljno
Tri ugla kao stav podudarnosti	Svi uglovi su jednaki, pa su trouglovi podudarni	Oni su slični; veličina može biti različita
Zanemaren redosled slova	${\triangle ABC\cong\triangle DEF},$ pa je ${AB=EF}$	Stranici $AB$ odgovara $DE,$ pa je ${AB=DE}$
Stranice nisu odgovarajuće	Dva jednaka ugla i jedna jednaka stranica bilo gde daju podudarnost	Jednake stranice moraju ležati naspram jednakih uglova

Zadaci za vežbu

Rešite ih sami, pa otvorite rešenje.

1. ${\triangle KLM\cong\triangle PQR}.$ Zapišite šest parova jednakih stranica i uglova.

${KL=PQ},$ ${LM=QR},$ ${MK=RP},$ ${\sphericalangle K=\sphericalangle P},$ ${\sphericalangle L=\sphericalangle Q},$ ${\sphericalangle M=\sphericalangle R}.$

2. ${AB=DE},$ ${\sphericalangle A=\sphericalangle D},$ ${AC=DF}.$ Po kom stavu je ${\triangle ABC\cong\triangle DEF}?$

Po stavu SUS: ugao $A$ je između stranica $AB$ i $AC.$

3. ${\sphericalangle A=\sphericalangle D},$ ${AB=DE},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle E}.$ Po kom stavu?

Po stavu USU: stranica $AB$ je između uglova $A$ i $B.$

4. ${\sphericalangle A=\sphericalangle D},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle E},$ ${BC=EF}.$ Po kom stavu?

Po posledici stava USU: $BC$ i $EF$ leže naspram jednakih uglova $A$ i $D.$

5. ${AB=DE},$ ${BC=EF},$ ${\sphericalangle A=\sphericalangle D}.$ Da li su trouglovi uvek podudarni?

Ne uvek. Podudarni su ako ugao leži naspram veće stranice (ili su stranice jednake), tj. ako je ${BC\ge AB}$ – po stavu SSU.

6. Dva pravougla trougla imaju jednake hipotenuze i po jednu jednaku katetu. Da li su podudarni?

Jesu, po stavu SSU: prav ugao leži naspram hipotenuze, najveće stranice.

7. Oba trougla imaju uglove ${40^\circ},$ ${60^\circ}$ i ${80^\circ}.$ Da li su podudarni?

Ne moraju biti: slični su, ali jedan može biti veći od drugog.

8. $AB$ i $CD$ su prečnici kruga sa centrom $O.$ Dokažite da je ${AC=BD}.$

${OA=OB=OC=OD}$ kao poluprečnici, a ${\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD}$ kao unakrsni uglovi. Po stavu SUS ${\triangle AOC\cong\triangle BOD},$ pa je ${AC=BD}.$

Rešeni zadaci po stavovima: stav SUS i stavovi USU i SSS.

Još o trouglovima: Trouglovi · Vrste · Visina · Težišne duži · Sličnost trouglova