Relación entre la integración y la derivación

La derivación y la integración parecen responder a dos preguntas sin ninguna relación entre sí. La derivada da la pendiente de una curva en un punto; la integral definida da el área bajo una curva. Sin embargo, cada una de estas dos operaciones deshace lo que hace la otra, igual que, para los números positivos, elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada se deshacen mutuamente. Esta relación es lo que expresan los dos teoremas fundamentales del cálculo, y es lo que permite calcular la mayoría de las integrales: en lugar de un límite de sumas, basta con encontrar una función cuya derivada sea el integrando.

Veamos un primer ejemplo. Toma ${f(t)=t^2}$ e intégrala desde $0$ hasta un límite superior variable $x.$ A partir de la definición de la integral como límite de sumas se obtiene

$$\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}.$$

El resultado es una nueva función de $x,$ y su derivada es ${\left(\frac{x^3}{3}\right)'=x^2},$ justamente la función de la que partimos. Si integramos $f$ y después derivamos el resultado, volvemos a obtener $f.$ En el resto de esta página veremos que no se trata de una casualidad.

En esta página: La función área · Primer teorema fundamental · Teorema de la derivada nula · Primitivas · Segundo teorema fundamental · Ejemplos · Lo que revela la derivada · Ejercicios

La función área

Sea $f$ una función integrable en un intervalo $[a,b]$ y fijemos un punto $c$ de $[a,b].$ Para cada $x$ de $[a,b]$ definimos

$$A(x)=\int_c^x f(t)\,dt.$$

Cuando ${f\ge0}$ y ${x\gt c},$ el número $A(x)$ es el área de la región bajo la gráfica de $f$ entre $c$ y $x.$ Al moverse $x,$ el área cambia, así que $A$ es una función del límite superior. Se llama integral con límite superior variable.

• La letra $t$ es solo la variable de integración. Serviría cualquier otra letra, pero no $x,$ que ya designa el límite superior.

• ${A(c)=0},$ y para ${x\lt c}$ la integral significa ${-\int_x^c f(t)\,dt}.$

• Si se toma otro punto de partida, $A$ solo cambia en una constante: ${\int_{c_1}^x f(t)\,dt}={\int_{c_1}^{c_2}f(t)\,dt}+{\int_{c_2}^x f(t)\,dt},$ y la primera integral de la derecha no depende de $x.$

El primer teorema fundamental del cálculo

En otras palabras, ${\frac{d}{dx}\int_c^x f(t)\,dt=f(x)}\text{:}$ la derivada de una integral respecto de su límite superior es el integrando evaluado en ese límite. Si $f$ es continua en todo el intervalo, esto se cumple en cada punto interior. Lo mismo vale en un intervalo abierto $I,$ porque cada punto de $I$ es un punto interior de algún ${[a,b]\subset I}$ que también contiene a $c.$ Así pues, toda función continua en un intervalo abierto es, en ese intervalo, la derivada de alguna función.

¿Por qué es cierto el teorema?

Toma un ${h\gt0}$ pequeño. La diferencia ${A(x+h)-A(x)}$ es el área desde $c$ hasta ${x+h}$ menos el área desde $c$ hasta $x,$ es decir, el área de la franja estrecha comprendida entre $x$ y ${x+h}\text{:}$

$$A(x+h)-A(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$

La franja tiene anchura $h,$ y cuando $h$ es pequeño, su altura se mantiene cerca de $f(x).$ Por tanto, la franja es casi un rectángulo de área ${h\,f(x)},$ y

$$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x).$$

Cuanto menor es $h,$ mejor es la aproximación. En el límite, el cociente incremental de la izquierda se convierte en la derivada $A'(x),$ y la aproximación, en la igualdad ${A'(x)=f(x)}.$

Si $f$ es continua en ${[x,x+h]},$ el teorema del valor medio para integrales hace exacto este razonamiento: la franja tiene área ${h\,f(z)}$ para algún punto $z$ entre $x$ y ${x+h}.$ Cuando ${h\to0},$ el punto $z$ se ve obligado a tender a $x,$ y ${f(z)\to f(x)}$ porque $f$ es continua.

Demostración

El razonamiento gráfico supone que $f$ es continua cerca de $x,$ mientras que el teorema solo exige la continuidad en el propio punto $x.$ He aquí una demostración que no necesita nada más.

Fija un punto $x$ de $(a,b)$ en el que $f$ sea continua, y sea ${h\ne0}$ tan pequeño que ${x+h}$ siga estando en $[a,b].$ Como antes, ${A(x+h)-A(x)}={\int_x^{x+h}f(t)\,dt}.$ El número $f(x)$ es una constante, así que ${\int_x^{x+h}f(x)\,dt=h\,f(x)}$ y, por tanto,

${\frac{A(x+h)-A(x)}{h}}-{f(x)}={{\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\big(f(t)-f(x)\big)\,dt}.}$

Veamos que el miembro derecho tiende a $0.$ Sea ${\varepsilon\gt0}.$ Como $f$ es continua en $x,$ existe un ${\delta\gt0}$ tal que ${\lvert f(t)-f(x)\rvert\lt\varepsilon}$ para todo $t$ de $[a,b]$ con ${\lvert t-x\rvert\lt\delta}.$ Toma ahora ${0\lt\lvert h\rvert\lt\delta}.$ Todo $t$ comprendido entre $x$ y ${x+h}$ está a una distancia de $x$ menor que $\delta,$ así que el integrando es, en valor absoluto, menor que $\varepsilon$ en un intervalo de longitud $\lvert h\rvert,$ y

${\left\lvert\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\big(f(t)-f(x)\big)\,dt\right\rvert}\le{\frac{1}{\lvert h\rvert}\cdot\varepsilon\,\lvert h\rvert}={{\varepsilon}.}$

(Para ${h\lt0}$ la integral va de derecha a izquierda, lo que solo cambia su signo, así que la estimación es la misma.) Así pues, el cociente incremental difiere de $f(x)$ como mucho en $\varepsilon$ siempre que ${0\lt\lvert h\rvert\lt\delta}.$ Como $\varepsilon$ era arbitrario,

${A'(x)}={\lim_{h\to0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}}={{f(x)}.}$

Ejemplos

Ejemplo 1. ${\frac{d}{dx}\int_1^x(t^3+1)\,dt}={x^3+1}.$ El límite inferior no interviene: la derivada es el integrando en el que se sustituye $t$ por $x.$ Podemos comprobarlo: por el segundo teorema fundamental, que veremos más abajo, ${\int_1^x(t^3+1)\,dt}={\frac{x^4}{4}+x-\frac{5}{4}},$ y la derivada de esta expresión es ${x^3+1}.$

Ejemplo 2. ${\frac{d}{dx}\int_0^x\operatorname{sen}(t^2)\,dt}={\operatorname{sen}(x^2)}.$ La integral ${\int_0^x\operatorname{sen}(t^2)\,dt}$ no se puede expresar mediante funciones elementales (potencias, raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas, y sus combinaciones), y sin embargo su derivada es sencilla. De hecho, las integrales con límite superior variable son una forma de definir funciones nuevas, y el teorema da sus derivadas de inmediato. Por ejemplo, el logaritmo natural se puede definir como ${\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}}$ para ${x\gt0},$ y entonces se obtiene inmediatamente ${(\ln x)'=\frac{1}{x}}.$

Ejemplo 3 (límite inferior variable). Al intercambiar los límites, la integral cambia de signo: ${\int_x^2e^{t^2}\,dt=-\int_2^xe^{t^2}\,dt}.$ Por tanto,

$$\frac{d}{dx}\int_x^2e^{t^2}\,dt=-e^{x^2}.$$

Ejemplo 4 (una función en el límite superior). Halla la derivada de ${F(x)=\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^3}\,dt}.$

Sea ${G(u)=\int_0^u\sqrt{1+t^3}\,dt}.$ Entonces ${F(x)=G(x^2)}$ y ${G'(u)=\sqrt{1+u^3}},$ así que, por la regla de la cadena,

${F'(x)}={G'(x^2)\cdot(x^2)'}={{2x\sqrt{1+x^6}}.}$

Combinando ambos casos se obtiene la regla general. Si $f$ es continua en un intervalo que contiene todos los valores de $u$ y de $v,$ y $u$ y $v$ son derivables, entonces

Para verlo, divide la integral en dos mediante un punto fijo $c$ y aplica los ejemplos 3 y 4 a cada una de las partes.

Ejemplo 5. Aquí ${u(x)=2x}$ y ${v(x)=x^2}\text{:}$

${\frac{d}{dx}\int_{2x}^{x^2}\frac{dt}{1+t^2}}={\frac{1}{1+x^4}\cdot2x}-{\frac{1}{1+4x^2}\cdot2}={{\frac{2x}{1+x^4}-\frac{2}{1+4x^2}}.}$

Cuando el integrando tiene un salto

La hipótesis de que $f$ sea continua en el punto $x$ no se puede omitir. Sea ${f(t)=1}$ para ${t\lt0}$ y ${f(t)=2}$ para ${t\ge0},$ y sea ${A(x)=\int_0^x f(t)\,dt}.$ Entonces ${A(x)=x}$ para ${x\le0}$ y ${A(x)=2x}$ para ${x\ge0}.$

La función $A$ es continua en todos los puntos, y ${A'(x)=f(x)}$ en todo ${x\ne0}.$ En ${x=0},$ donde $f$ da un salto, la gráfica de $A$ tiene un punto anguloso: su pendiente es $1$ a la izquierda y $2$ a la derecha, así que $A'(0)$ no existe. La integración suaviza las funciones: donde $f$ da un salto, $A$ solo tiene un punto anguloso.

El teorema de la derivada nula

Si una función es constante en un intervalo, su derivada vale $0$ en él, porque todo cociente incremental ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ vale $0.$ El recíproco también es cierto, y es la clave del segundo teorema fundamental.

Demostración. Toma dos puntos cualesquiera ${x_1\lt x_2}$ de $I.$ La función $f$ es derivable, y por tanto continua, en ${[x_1,x_2]}.$ Por el teorema del valor medio (teorema de Lagrange), existe un punto $\xi$ entre $x_1$ y $x_2$ tal que

${f(x_2)-f(x_1)}={f'(\xi)\,(x_2-x_1)}={{0}.}$

Así pues, ${f(x_1)=f(x_2)}$ para dos puntos cualesquiera de $I,$ lo que significa que $f$ es constante.

La palabra intervalo es importante. La función ${g(x)=\frac{\lvert x\rvert}{x}}$ está definida para ${x\ne0},$ y ${g'(x)=0}$ en todos los puntos donde está definida, pero $g$ no es constante: vale $-1$ para ${x\lt0}$ y $1$ para ${x\gt0}.$ Su dominio está formado por dos intervalos, y el teorema solo dice que $g$ es constante en cada uno de ellos.

Primitivas y el segundo teorema fundamental del cálculo

Definición de primitiva

Por ejemplo, $\operatorname{sen}x$ es una primitiva de $\cos x$ en toda la recta real, porque ${(\operatorname{sen}x)'=\cos x}.$ La función ${\frac{x^3}{3}}$ es una primitiva de $x^2,$ y también lo son ${\frac{x^3}{3}+5}$ y ${\frac{x^3}{3}-\sqrt{2}}\text{:}$ sumar una constante no cambia la derivada. Por eso decimos una primitiva y no la primitiva. Además, sumar una constante es la única libertad posible:

Demostración. ${(P+C)'=P'=f},$ así que toda función ${P+C}$ es una primitiva de $f.$ Recíprocamente, si $Q$ es una primitiva cualquiera de $f$ en $I,$ entonces ${(Q-P)'=f-f=0}$ en $I$ y, por el teorema de la derivada nula, ${Q-P}$ es una constante $C.$

Geométricamente, las gráficas de las primitivas de $f$ son copias de una misma gráfica desplazadas hacia arriba o hacia abajo. Sobre cada punto $x,$ todas tienen la misma pendiente $f(x).$ En la figura, ${f(x)=x^2-1},$ y todas las curvas tienen pendiente ${f(1{,}5)=1{,}25}$ en ${x=1{,}5}.$

La familia de todas las primitivas de $f$ se escribe con el signo integral sin límites, ${\int f(x)\,dx=P(x)+C},$ y se llama integral indefinida de $f.$ Esta notación se explica con más detalle en Integrales (parte 2).

¿Tiene primitiva toda función? Toda función continua la tiene: por el primer teorema fundamental, ${A(x)=\int_c^x f(t)\,dt}$ es una de ellas. Pero no toda función tiene primitiva. La función con un salto del ejemplo de más arriba no tiene ninguna en toda la recta. Por el teorema de la derivada nula, una primitiva sería ${x+C_1}$ para ${x\lt0}$ y ${2x+C_2}$ para ${x\gt0}.$ Tiene que ser continua en $0,$ así que ${C_1=C_2},$ y entonces tiene un punto anguloso en $0$ y no es derivable en él.

El segundo teorema fundamental del cálculo

Demostración. Sea ${A(x)=\int_c^x f(t)\,dt}.$ Como $f$ es continua en todos los puntos de $I,$ el primer teorema fundamental da ${A'(x)=f(x)}$ en $I,$ así que $A$ es una primitiva de $f.$ Dos primitivas de una misma función difieren en una constante, luego ${A(x)=P(x)+k}$ para algún número $k.$ Para ${x=c}$ esto da ${0=A(c)=P(c)+k},$ así que ${k=-P(c)}$ y ${A(x)=P(x)-P(c)}.$

Con ${c=a}$ y ${x=b},$ esta es la fórmula con la que se calculan las integrales definidas: la regla de Barrow, también llamada fórmula de Newton–Leibniz. Si $f$ es continua en un intervalo abierto que contiene a ${[a,b]}$ y $P$ es una primitiva de $f$ en él, entonces

El corchete ${\Bigl[P(x)\Bigr]_a^b},$ que también se escribe ${P(x)\Big\vert_a^b},$ es una abreviatura de ${P(b)-P(a)}.$ Cualquier primitiva da el mismo resultado, ya que la constante se cancela: ${\big(P(b)+C\big)}-{\big(P(a)+C\big)}={P(b)-P(a)}.$

El teorema convierte un problema difícil en otro mucho más fácil. En lugar de un límite de sumas, necesitamos una función con una derivada dada, y cada fórmula de derivación leída de derecha a izquierda nos proporciona una.

La continuidad es imprescindible. El integrando debe ser continuo en todo el intervalo de integración. Por ejemplo, ${\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}},$ pero la fórmula daría ${\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}}={\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{-1}^1}={-2},$ un número negativo como integral de una función positiva. Aquí la fórmula no se puede aplicar: ${\frac{1}{x^2}}$ ni siquiera está definida en ${x=0},$ que pertenece a ${[-1,1]}.$ (Se trata de una integral impropia, y diverge.)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La función ${\frac{x^3}{3}}$ es una primitiva de $x^2,$ así que

${\int_0^1x^2\,dx}={\Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_0^1}={\frac{1}{3}-0}={{\frac{1}{3}}.}$

Ejemplo 2. ${x^3-2x^2+5x}$ es una primitiva de ${3x^2-4x+5},$ así que

${\int_1^2(3x^2-4x+5)\,dx}={\Bigl[x^3-2x^2+5x\Bigr]_1^2}={(8-8+10)}-{(1-2+5)}={{6}.}$

Ejemplo 3. Escribe la raíz como una potencia de exponente negativo:

${\int_1^4\frac{dx}{\sqrt{x}}}={\int_1^4x^{-1/2}\,dx}={\Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]_1^4}={4-2}={{2}.}$

Ejemplo 4. Como ${(-\cos x)'=\operatorname{sen}x},$

${\int_0^\pi\operatorname{sen}x\,dx}={\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^\pi}={-\cos\pi+\cos0}={1+1}={{2}.}$

El área bajo un arco de la sinusoide es exactamente $2.$

Ejemplo 5. Como ${(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}},$

${\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}}={\Bigl[\arctan x\Bigr]_0^1}={\frac{\pi}{4}-0}={{\frac{\pi}{4}}.}$

Ejemplo 6. Como ${(\ln x)'=\frac{1}{x}}$ para ${x\gt0},$

${\int_1^e\frac{dx}{x}}={\Bigl[\ln x\Bigr]_1^e}={1-0}={{1}.}$

Ejemplo 7 (un integrando dado por dos fórmulas). Halla ${\int_{-1}^2\lvert x\rvert\,dx}.$ Para ${x\lt0}$ se tiene ${\lvert x\rvert=-x},$ y para ${x\ge0}$ se tiene ${\lvert x\rvert=x},$ así que dividimos la integral en el punto $0\text{:}$

${\int_{-1}^0(-x)\,dx+\int_0^2x\,dx}={\Bigl[-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^0}+{\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_0^2}={\frac{1}{2}+2}={{\frac{5}{2}}.}$

Otra forma: ${P(x)=\frac{x\lvert x\rvert}{2}}$ es una primitiva de ${\lvert x\rvert}$ en toda la recta (comprueba la derivada por separado para ${x\gt0},$ para ${x\lt0}$ y, a partir de la definición, en ${x=0}$), y ${P(2)-P(-1)}={2-\left(-\frac{1}{2}\right)}={\frac{5}{2}}.$

Primitivas básicas

Cada fila de esta tabla es una fórmula de derivación leída al revés. Puedes comprobar cualquier fila derivando la columna de la derecha.

Función $f(x)$	Una primitiva $P(x)$
$x^n,$ ${n\ne-1}$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert$
$e^x$	$e^x$
$\operatorname{sen}x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\operatorname{sen}x$
$\frac{1}{\cos^2x}$	$\tan x$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\operatorname{arcsen}x$

Cada fórmula es válida en todo intervalo abierto en el que $f$ sea continua: por ejemplo, la de ${\frac{1}{x}},$ en ${(0,\infty)}$ o en ${(-\infty,0)},$ pero no en un intervalo que contenga a $0.$ Para $n$ no entero, la potencia $x^n$ se considera para ${x\gt0}.$ Así, para ${0\lt a\lt b}$

${\int_a^bx^n\,dx=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}}$  para todo ${n\ne-1},$   y   ${\int_a^b\frac{dx}{x}=\ln\frac{b}{a}}.$

Propiedades de una función deducidas de su derivada

Si $f$ tiene derivada continua en un intervalo abierto $I,$ entonces $f$ es una primitiva de $f',$ y el segundo teorema fundamental da, para cualesquiera $c$ y $x$ de $I,$

$$f(x)=f(c)+\int_c^x f'(t)\,dt.$$

El valor de la función en $x$ es su valor en $c$ más la variación acumulada entre $c$ y $x.$ En física: si $s(t)$ es la posición de un cuerpo en movimiento y ${v(t)=s'(t)}$ es su velocidad, entonces ${s(t)}={s(0)+\int_0^t v(\tau)\,d\tau},$ es decir, el desplazamiento es la integral de la velocidad. Esta fórmula permite deducir propiedades de $f$ a partir de propiedades de $f'.$

1. El signo de la derivada. Si ${f'(t)\ge0}$ en $I,$ entonces para ${x\gt c}$ la integral ${\int_c^x f'(t)\,dt}$ no es negativa, así que ${f(x)\ge f(c)}\text{:}$ la función es creciente (no decreciente) en $I,$ es decir, nunca disminuye. Si ${f'(t)\gt0}$ en $I,$ la integral es positiva, y $f$ es estrictamente creciente. Del mismo modo, si ${f'\le0},$ la función $f$ es decreciente.

Por ejemplo, ${f(x)=x+\operatorname{sen}x}$ tiene derivada ${f'(x)=1+\cos x\ge0},$ así que es creciente en toda la recta real. De hecho, es estrictamente creciente. Si fuera ${f(x)=f(c)}$ para algún ${x\gt c},$ la función creciente $f$ sería constante en ${[c,x]},$ y entonces ${f'=0}$ en todo ${[c,x]}.$ Pero ${1+\cos t=0}$ solo en los puntos aislados ${t=\pi+2k\pi}.$

2. Una cota de la derivada acota la variación. Si ${\lvert f'(t)\rvert\le M}$ en $I,$ entonces

${\lvert f(x)-f(c)\rvert}={\left\lvert\int_c^x f'(t)\,dt\right\rvert}\le{{M\,\lvert x-c\rvert}.}$

Por ejemplo, de ${\lvert\cos t\rvert\le1}$ se obtiene ${\lvert\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}c\rvert}\le{\lvert x-c\rvert}$ para todos los números reales $x$ y $c.$

3. Si la derivada es creciente, la función es convexa. Si $f'$ es creciente en $I,$ entonces $f$ es convexa en $I,$ es decir, su gráfica se curva hacia arriba. Toma tres puntos ${x_1\lt x_2\lt x_3}$ de $I.$ La pendiente de la cuerda sobre ${[x_1,x_2]}$ es

${\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}={{\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f'(t)\,dt},}$

es decir, el valor medio de $f'$ en ${[x_1,x_2]}.$ Como $f'$ es creciente, este valor medio es a lo sumo ${f'(x_2)},$ mientras que el valor medio en ${[x_2,x_3]}$ es al menos ${f'(x_2)}.$ Por tanto, la pendiente de la cuerda sobre ${[x_1,x_2]}$ nunca es mayor que la de la cuerda sobre ${[x_2,x_3]}.$ Esto significa que el punto ${(x_2,f(x_2))}$ está en la cuerda que une ${(x_1,f(x_1))}$ y ${(x_3,f(x_3))}$ o por debajo de ella, que es precisamente la definición de convexidad. Del mismo modo, si $f'$ es decreciente, $f$ es cóncava (su gráfica se curva hacia abajo). Por ejemplo, la derivada de $e^x$ es $e^x,$ que es creciente, así que $e^x$ es convexa.

Ejercicios

1. Halla una primitiva de ${f(x)=6x^2-4x+3}$ y úsala para calcular ${\int_0^2f(x)\,dx}.$

${P(x)=2x^3-2x^2+3x}$ es una primitiva, ya que ${P'(x)=6x^2-4x+3}.$ Entonces ${\int_0^2f(x)\,dx}={P(2)-P(0)}={16-8+6}={{14}.}$ Respuesta: $14.$

2. Calcula ${\int_1^8\sqrt[3]{x}\,dx}.$

${\sqrt[3]{x}=x^{1/3}},$ y una primitiva es ${\frac{3}{4}x^{4/3}}.$ Como ${8^{4/3}=16},$ la integral vale ${\frac{3}{4}(16-1)}={\frac{45}{4}}.$ Respuesta: $\frac{45}{4}.$

3. Calcula ${\int_1^4\left(1+\sqrt{x}\right)^2dx}.$

${\left(1+\sqrt{x}\right)^2=1+2x^{1/2}+x},$ y una primitiva es ${x+\frac{4}{3}x^{3/2}+\frac{x^2}{2}}.$ Su valor en $4$ es ${4+\frac{32}{3}+8=\frac{68}{3}},$ en $1$ es ${1+\frac{4}{3}+\frac{1}{2}=\frac{17}{6}},$ y ${\frac{68}{3}-\frac{17}{6}=\frac{119}{6}}.$ Respuesta: $\frac{119}{6}.$

4. Calcula ${\int_1^2\frac{x^3+x-3}{x^3}\,dx}.$

Divide término a término: ${\frac{x^3+x-3}{x^3}}={1+x^{-2}-3x^{-3}}.$ Una primitiva es ${x-\frac{1}{x}+\frac{3}{2x^2}}.$ Su valor en $2$ es ${2-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{15}{8}},$ en $1$ es ${\frac{3}{2}},$ y ${\frac{15}{8}-\frac{3}{2}=\frac{3}{8}}.$ Respuesta: $\frac{3}{8}.$

5. Calcula ${\int_0^{\pi/2}(3\operatorname{sen}x+2\cos x)\,dx}.$

${\Bigl[-3\cos x+2\operatorname{sen}x\Bigr]_0^{\pi/2}}={(0+2)-(-3+0)}={{5}.}$ Respuesta: $5.$

6. Calcula ${\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x}}.$

${\Bigl[\tan x\Bigr]_0^{\pi/4}}={1-0}={1}.$ Respuesta: $1.$

7. Calcula ${\int_{-1}^3\lvert x-1\rvert\,dx}.$

Divide la integral en ${x=1}\text{:}$ ${\int_{-1}^1(1-x)\,dx}={\Bigl[x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^1}={\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)}={2}$ y ${\int_1^3(x-1)\,dx}={\Bigl[\frac{x^2}{2}-x\Bigr]_1^3}={\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)}={2}.$ Respuesta: $4$ (el área de dos triángulos de base $2$ y altura $2$).

8. Halla $F'(x)$ si ${F(x)=\int_2^x\sqrt{1+t^4}\,dt}.$

Por el primer teorema fundamental, ${F'(x)=\sqrt{1+x^4}}.$

9. Halla $F'(x)$ si ${F(x)=\int_0^{x^3}\cos(t^2)\,dt}.$

Por la regla de la cadena, ${F'(x)}={\cos\big((x^3)^2\big)\cdot3x^2}={3x^2\cos(x^6)}.$

10. Halla $F'(x)$ si ${F(x)=\int_x^{3x}e^{-t^2}\,dt}.$

Por la regla para límites variables, ${F'(x)}={e^{-9x^2}\cdot3-e^{-x^2}\cdot1}={3e^{-9x^2}-e^{-x^2}}.$

11. Halla una función continua $f$ y todas las constantes $c$ tales que ${\int_c^x f(t)\,dt=x^2-4}$ para todo $x.$

Derivando ambos miembros se obtiene ${f(x)=2x}.$ Para ${x=c}$ el miembro izquierdo vale $0,$ así que ${c^2-4=0}.$ Respuesta: ${f(x)=2x},$ y ${c=2}$ o ${c=-2}.$

12. Una función continua $f$ cumple ${\int_0^x f(t)\,dt=x^2\operatorname{sen}\pi x}$ para todo $x.$ Halla ${f\left(\frac{1}{2}\right)}$ y ${f'\left(\frac{1}{2}\right)}.$

Derivando: ${f(x)}={{2x\operatorname{sen}\pi x+\pi x^2\cos\pi x},}$ así que ${f\left(\frac{1}{2}\right)=1+0=1}.$ Derivando otra vez: ${f'(x)}={2\operatorname{sen}\pi x+4\pi x\cos\pi x}-{\pi^2x^2\operatorname{sen}\pi x},$ así que ${f'\left(\frac{1}{2}\right)=2-\frac{\pi^2}{4}}.$

13. Una función continua $f$ cumple ${\int_0^{f(x)}t^2\,dt=x^3+7x}$ para todo ${x\ge0}.$ Halla $f(1).$

El miembro izquierdo es igual a ${\frac{f(x)^3}{3}},$ así que ${f(x)^3=3x^3+21x}.$ Para ${x=1}\text{:}$ ${f(1)^3=24}.$ Respuesta: ${f(1)=\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}}.$

14. Una partícula se mueve a lo largo de una recta con velocidad ${v(t)=t^2-4t+3}$ (en m/s). Halla su desplazamiento entre ${t=0}$ y ${t=3}$ y la distancia total que recorre en ese tiempo.

El desplazamiento es ${\int_0^3v(t)\,dt}={\Bigl[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\Bigr]_0^3}={9-18+9}={{0}\text{:}}$ la partícula vuelve a su punto de partida. Como ${v(t)=(t-1)(t-3)},$ se mueve hacia adelante para ${0\lt t\lt1}$ y hacia atrás para ${1\lt t\lt3}\text{:}$ ${\int_0^1v(t)\,dt=\frac{4}{3}}$ y ${\int_1^3v(t)\,dt=-\frac{4}{3}}.$ Respuesta: el desplazamiento es $0,$ y la distancia es ${\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}}$ m.

15. Sea ${f(x)=2+\int_0^x\frac{e^t}{1+t^2}\,dt}.$ Sin calcular la integral, halla el polinomio de segundo grado ${p(x)=a+bx+cx^2}$ tal que ${p(0)=f(0)},$ ${p'(0)=f'(0)}$ y ${p''(0)=f''(0)}.$

${f(0)=2}.$ ${f'(x)=\frac{e^x}{1+x^2}},$ así que ${f'(0)=1}.$ ${f''(x)}={\frac{e^x(1+x^2)-e^x\cdot2x}{(1+x^2)^2}}={\frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}},$ así que ${f''(0)=1}.$ Como ${p(0)=a},$ ${p'(0)=b}$ y ${p''(0)=2c},$ se obtiene ${a=2},$ ${b=1},$ ${c=\frac{1}{2}}.$ Respuesta: ${p(x)=2+x+\frac{x^2}{2}}.$

16. Demuestra que ${\ln(1+x)\le x}$ para todo ${x\ge0}.$

Sea ${g(x)=x-\ln(1+x)}.$ Entonces ${g(0)=0}$ y ${g'(t)}={1-\frac{1}{1+t}}={\frac{t}{1+t}}\ge{0}$ para ${t\ge0},$ así que ${g(x)}={g(0)+\int_0^xg'(t)\,dt}\ge{0}$ para ${x\ge0},$ que es precisamente la desigualdad buscada.

17. Demuestra que ningún polinomio es una primitiva de ${\frac{1}{x}}$ en ${(0,\infty)}.$

Supongamos que ${p'(x)=\frac{1}{x}}$ para todo ${x\gt0},$ donde $p$ es un polinomio. Entonces ${x\,p'(x)-1=0}$ para todo ${x\gt0}.$ El miembro izquierdo es un polinomio con infinitas raíces, así que es el polinomio nulo, y ${x\,p'(x)=1}$ para todo $x.$ Pero en ${x=0}$ el miembro izquierdo vale $0\text{:}$ contradicción.

18. ¿Existe una función $f$ con segunda derivada continua tal que ${f''(x)\gt0}$ para todo $x,$ ${f'(0)=1}$ y ${f'(1)=0}?$

No. Por el segundo teorema fundamental aplicado a $f',$ ${f'(1)-f'(0)}={\int_0^1f''(t)\,dt}\gt{0},$ así que ${f'(1)\gt f'(0)=1},$ y $f'(1)$ no puede valer $0.$

Mira también: Integrales (parte 2) · Solucionador integral paso a paso