Relación entre la integración y la derivación - parte 2

En la parte 1 vimos que la integración y la derivación se deshacen mutuamente: la integral definida de una función continua se calcula con cualquiera de sus primitivas, ${\int_a^bf(x)\,dx}={P(b)-P(a)}.$ Por eso, la principal tarea práctica del cálculo integral es hallar primitivas. En esta página presentamos la notación para las primitivas y las dos técnicas más importantes para hallarlas: el cambio de variable (o sustitución), que proviene de la regla de la cadena, y la integración por partes, que proviene de la regla del producto.

En esta página: Notación de Leibniz · Cambio de variable · Integrales definidas · Integración por partes · Fórmulas de reducción · 2.º teorema del valor medio · Ejercicios

La notación de Leibniz para las primitivas

Leibniz escribía la primitiva general de una función $f$ con el signo integral sin límites de integración:

$$\int f(x)\,dx=P(x)+C.$$

Esta igualdad significa exactamente que ${P'(x)=f(x)}$ en el intervalo considerado, y $C$ representa una constante arbitraria. Por tanto, describe toda una familia de funciones. El símbolo ${\int f(x)\,dx}$ se llama integral indefinida de $f,$ y $f(x)$ es el integrando. Cada fórmula de derivación proporciona una integral indefinida; por ejemplo,

${\int\cos x\,dx=\operatorname{sen} x+C},$   ${\int e^x\,dx=e^x+C},$   ${\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}$  (${n\ne-1},$ en un intervalo en el que $x^n$ esté definida, como en la parte 1).

Es fácil comprobar una respuesta: basta con derivarla. Por ejemplo, ${\int(3x^2+2x)\,dx}={x^3+x^2+C},$ porque ${(x^3+x^2)'=3x^2+2x}.$

Como la derivada de una suma es la suma de las derivadas, la integral indefinida se puede calcular término a término, y los factores constantes se pueden sacar fuera de la integral: para constantes $\alpha$ y $\beta,$ no ambas iguales a $0,$

Ejemplo. En el intervalo ${x\gt0},$

${\int\left(6x^2-\frac{4}{x}+3\cos x\right)dx}={{2x^3-4\ln x+3\operatorname{sen} x+C}.}$

En un intervalo que no contenga a $0,$ ${\int\frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+C}.$ En todo el conjunto ${x\ne0},$ que está formado por dos intervalos, la constante puede ser distinta a cada lado (recuerda el teorema de la derivada nula de la parte 1).

Integrales indefinidas e integrales definidas

Los dos símbolos se parecen, pero significan cosas distintas: ${\int f(x)\,dx}$ es una familia de funciones, mientras que ${\int_a^bf(x)\,dx}$ es un número. Los teoremas fundamentales los relacionan. Si $f$ es continua en un intervalo y $c$ es un punto de ese intervalo, el primer teorema dice que la integral con límite superior variable es una de las primitivas:

$$\int f(x)\,dx=\int_c^xf(t)\,dt+C,$$

y el segundo teorema dice que una integral definida es el incremento de cualquier primitiva (la constante se cancela):

$$\int_a^bf(x)\,dx=\Bigl[\int f(x)\,dx\Bigr]_a^b.$$

Por eso, integrar una función suele significar hallar sus primitivas, y una «tabla de integrales» es en realidad una tabla de primitivas. Los métodos para hallar primitivas se llaman técnicas de integración. Las tres principales son el cambio de variable y la integración por partes, que se explican a continuación, y la descomposición en fracciones simples (o parciales) para las funciones racionales.

No toda función elemental tiene una primitiva elemental. Por ejemplo, ${\int e^{-x^2}dx}$ y ${\int\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx}$ (en ${x\gt0}$) existen, porque los integrandos son continuos, pero no se pueden expresar mediante funciones elementales.

Integración por cambio de variable

Sea $P$ una primitiva de una función continua $f$ en un intervalo $J,$ y sea $g$ una función que tiene derivada continua en un intervalo $I$ y toma sus valores en $J.$ Por la regla de la cadena,

${\big(P(g(x))\big)'}={P'(g(x))\,g'(x)}={{f(g(x))\,g'(x)},}$

así que ${P(g(x))}$ es una primitiva de ${f(g(x))\,g'(x)}\text{:}$

En la práctica, la fórmula se aplica de forma mecánica. Haz el cambio ${u=g(x)}$ y escribe ${du=g'(x)\,dx}$ (que no es más que la notación de Leibniz ${\frac{du}{dx}=g'(x)}$). La integral se convierte en ${\int f(u)\,du}.$ Halla una primitiva $P(u)$ y, por último, vuelve a $x$ deshaciendo el cambio ${u=g(x)}.$ Aquí los símbolos $du$ y $dx$ son solo un recurso de notación: lo que justifica el resultado es la regla de la cadena vista más arriba, y la respuesta siempre se puede comprobar derivando.

La clave está en ver qué parte del integrando conviene llamar $u.$ Una buena elección es una «función interior» cuya derivada, salvo un factor constante, también figure en el integrando.

Ejemplos

Ejemplo 1 (un cambio lineal). Halla ${\int(2x+1)^5\,dx}.$ Sea ${u=2x+1}.$ Entonces ${du=2\,dx},$ así que ${dx=\frac{1}{2}\,du},$ y

${\int(2x+1)^5\,dx}={\frac{1}{2}\int u^5\,du}={\frac{u^6}{12}+C}={{\frac{(2x+1)^6}{12}+C}.}$

Del mismo modo, si ${\int f(u)\,du=P(u)+C},$ entonces ${\int f(ax+b)\,dx}={\frac{1}{a}P(ax+b)+C}$ para cualesquiera constantes ${a\ne0}$ y $b.$ Por ejemplo, ${\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C}$ y ${\int\cos(5x-1)\,dx}={\frac{1}{5}\operatorname{sen}(5x-1)+C}.$

Ejemplo 2. Halla ${\int2x\cos(x^2)\,dx}.$ Sea ${u=x^2}.$ Entonces ${du=2x\,dx},$ y

${\int2x\cos(x^2)\,dx}={\int\cos u\,du}={\operatorname{sen} u+C}={{\operatorname{sen}(x^2)+C}.}$

Ejemplo 3 (falta un factor constante). Halla ${\int x^3\cos(x^4)\,dx}.$ Sea ${u=x^4}.$ Entonces ${du=4x^3\,dx},$ así que ${x^3\,dx=\frac{1}{4}\,du}\text{:}$

${\int x^3\cos(x^4)\,dx}={\frac{1}{4}\int\cos u\,du}={{\frac{1}{4}\operatorname{sen}(x^4)+C}.}$

Que falte un factor constante no es ningún obstáculo. Que falte el factor $x^3,$ en cambio, sí lo es: ${\int\cos(x^4)\,dx}$ no se puede hallar de esta manera.

Ejemplo 4. Halla ${\int\cos^2x\,\operatorname{sen} x\,dx}.$ Sea ${u=\cos x}.$ Entonces ${du=-\operatorname{sen} x\,dx},$ y

${\int\cos^2x\,\operatorname{sen} x\,dx}={-\int u^2\,du}={-\frac{u^3}{3}+C}={{-\frac{\cos^3x}{3}+C}.}$

Ejemplo 5. Halla ${\int\frac{x}{x^2+1}\,dx}.$ Sea ${u=x^2+1}.$ Entonces ${du=2x\,dx}$ y, como ${u\gt0},$

${\int\frac{x}{x^2+1}\,dx}={\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}}={\frac{1}{2}\ln u+C}={{\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C}.}$

Ejemplo 6. En un intervalo en el que ${\cos x\ne0},$ escribe ${\tan x=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}}$ y toma ${u=\cos x},$ ${du=-\operatorname{sen} x\,dx}\text{:}$

${\int\tan x\,dx}={-\int\frac{du}{u}}={-\ln\lvert u\rvert+C}={{-\ln\lvert\cos x\rvert+C}.}$

Cambio de variable en integrales definidas

Al cambiar la variable, cambian también los límites de integración: ${x=a}$ pasa a ser ${u=g(a)}$ y ${x=b}$ pasa a ser ${u=g(b)},$ así que no hace falta volver a $x.$ (Aquí los intervalos pueden ser cerrados: en el ejemplo 9, más abajo, ${\sqrt{1-x^2}}$ solo es continua en ${[-1,1]}.$ En un extremo de un intervalo cerrado, la derivada es lateral, y los teoremas fundamentales de la parte 1 se cumplen en intervalos cerrados con las mismas demostraciones.)

Demostración. Sea $J$ el intervalo en el que $f$ es continua, fijemos un punto $c$ de $J$ y sea ${P(u)=\int_c^uf(s)\,ds}.$ Por el primer teorema fundamental, $P$ es una primitiva de $f$ en $J$ y, por la regla de la cadena, ${R(x)=P(g(x))}$ es una primitiva de la función continua ${f(g(x))\,g'(x)}$ en ${[a,b]}.$ El segundo teorema fundamental, aplicado a $R$ y después a $P,$ da

${\int_a^bf(g(x))\,g'(x)\,dx}={R(b)-R(a)}={P(g(b))-P(g(a))}={{\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du}.}$

Ejemplo 7. Calcula ${\int_0^1x\sqrt{1+x^2}\,dx}.$ Sea ${u=1+x^2},$ ${du=2x\,dx}.$ Si ${x=0},$ entonces ${u=1},$ y si ${x=1},$ entonces ${u=2}\text{:}$

${\int_0^1x\sqrt{1+x^2}\,dx}={\frac{1}{2}\int_1^2\sqrt{u}\,du}={\frac{1}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_1^2}={{\frac{2\sqrt{2}-1}{3}}.}$

Ejemplo 8. Con ${u=\operatorname{sen} x},$ ${du=\cos x\,dx},$ los límites $0$ y $\frac{\pi}{2}$ pasan a ser $0$ y $1\text{:}$

${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^3x\cos x\,dx}={\int_0^1u^3\,du}={{\frac{1}{4}}.}$

Ejemplo 9 (cambio de variable en sentido inverso). Calcula ${\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx}.$ Aquí no se ve ningún factor $g'(x).$ En lugar de eso, hacemos ${x=\operatorname{sen} t}$ y leemos el teorema de derecha a izquierda: ${dx=\cos t\,dt},$ los límites $0$ y $1$ para $x$ corresponden a $0$ y $\frac{\pi}{2}$ para $t,$ y ${\sqrt{1-\operatorname{sen}^2t}=\cos t}$ porque ${\cos t\ge0}$ en ${\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}.$ Usando ${\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}},$

${\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx}={\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt}={\Bigl[\frac{t}{2}+\frac{\operatorname{sen}2t}{4}\Bigr]_0^{\pi/2}}={{\frac{\pi}{4}}.}$

Es el área de un cuarto del círculo unidad, como cabía esperar.

Integración por partes

La regla del producto ${(fg)'=f'g+fg'}$ dice que ${f(x)\,g(x)}$ es una primitiva de ${f'(x)\,g(x)}+{f(x)\,g'(x)}.$ Escrita con integrales indefinidas y reordenada, da la fórmula de integración por partes. Si $f$ y $g$ tienen derivadas continuas en un intervalo, entonces

(La constante arbitraria va incluida en la integral indefinida del miembro derecho.) Con ${u=f(x)},$ ${v=g(x)},$ ${du=f'(x)\,dx}$ y ${dv=g'(x)\,dx},$ la fórmula adopta la forma abreviada

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Para integrales definidas, el segundo teorema fundamental aplicado a la primitiva $fg$ de ${f'g+fg'}$ da

${\int_a^bf(x)\,g'(x)\,dx}={{\Bigl[f(x)\,g(x)\Bigr]_a^b-\int_a^bf'(x)\,g(x)\,dx}.}$

La fórmula traslada la derivada de un factor al otro, y resulta útil cuando la nueva integral ${\int v\,du}$ es más sencilla que la original. Normalmente se toma como $u$ un factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de $x,$ $\ln x,$ $\arctan x$), y como $dv,$ un factor fácil de integrar ($e^x\,dx,$ $\operatorname{sen} x\,dx,$ $\cos x\,dx$ o simplemente $dx$).

La figura muestra el significado de la fórmula cuando $u$ y $v$ son positivas y crecen a la vez. La región bajo la curva tiene área ${\int_{u_1}^{u_2}v\,du},$ y la región situada a la izquierda de la curva tiene área ${\int_{v_1}^{v_2}u\,dv}.$ Juntas llenan el rectángulo grande menos el pequeño: ${\int_{u_1}^{u_2}v\,du+\int_{v_1}^{v_2}u\,dv}={u_2v_2-u_1v_1}.$ Es precisamente la fórmula de integración por partes para integrales definidas: con ${u_1=f(a)}$ y ${u_2=f(b)},$ el teorema del cambio de variable da ${\int_{u_1}^{u_2}v\,du}={\int_a^bf'(x)\,g(x)\,dx}$ y, del mismo modo, ${\int_{v_1}^{v_2}u\,dv}={\int_a^bf(x)\,g'(x)\,dx}.$

Ejemplos

Ejemplo 1. Halla ${\int x\cos x\,dx}.$ Toma ${u=x}$ y ${dv=\cos x\,dx}.$ Entonces ${du=dx},$ ${v=\operatorname{sen} x},$ y

${\int x\cos x\,dx}={x\operatorname{sen} x-\int\operatorname{sen} x\,dx}={{x\operatorname{sen} x+\cos x+C}.}$

Comprobación: ${(x\operatorname{sen} x+\cos x)'}={\operatorname{sen} x+x\cos x-\operatorname{sen} x}={x\cos x}.$ La otra elección, ${u=\cos x}$ y ${dv=x\,dx},$ da ${\int x\cos x\,dx}={\frac{x^2}{2}\cos x+\int\frac{x^2}{2}\operatorname{sen} x\,dx},$ una integral más difícil que la de partida.

Ejemplo 2. Halla ${\int xe^x\,dx}.$ Toma ${u=x},$ ${dv=e^x\,dx},$ así que ${du=dx},$ ${v=e^x}\text{:}$

${\int xe^x\,dx}={xe^x-\int e^x\,dx}={{(x-1)e^x+C}.}$

Ejemplo 3 ($dv=dx$). Halla ${\int\ln x\,dx}$ para ${x\gt0}.$ Toma ${u=\ln x}$ y ${dv=dx},$ así que ${du=\frac{dx}{x}},$ ${v=x}\text{:}$

${\int\ln x\,dx}={x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx}={{x\ln x-x+C}.}$

Ejemplo 4 (una integral definida). Con ${u=x},$ ${dv=\operatorname{sen} x\,dx}\text{:}$

${\int_0^\pi x\operatorname{sen} x\,dx}={\Bigl[-x\cos x\Bigr]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx}={\pi+\Bigl[\operatorname{sen} x\Bigr]_0^\pi}={{\pi}.}$

Ejemplo 5 (dos veces). Halla ${\int x^2\operatorname{sen} x\,dx}.$ Toma ${u=x^2},$ ${dv=\operatorname{sen} x\,dx},$ así que ${du=2x\,dx},$ ${v=-\cos x}.$ La nueva integral es la del ejemplo 1:

${\int x^2\operatorname{sen} x\,dx}={-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx}={-x^2\cos x}+{2x\operatorname{sen} x+{2\cos x+C}.}$

Ejemplo 6 (la integral reaparece). Sea ${I=\int e^x\operatorname{sen} x\,dx}.$ Integra por partes dos veces, tomando cada vez como $dv$ el factor exponencial:

${I}={e^x\operatorname{sen} x-\int e^x\cos x\,dx}={e^x\operatorname{sen} x}-{\Bigl(e^x\cos x+\int e^x\operatorname{sen} x\,dx\Bigr)}={{e^x(\operatorname{sen} x-\cos x)-I}.}$

La integral buscada aparece en ambos miembros. Al despejarla (y añadir la constante al final) se obtiene

${\int e^x\operatorname{sen} x\,dx}={{\frac{e^x(\operatorname{sen} x-\cos x)}{2}+C}.}$

Ejemplo 7 (por partes y después cambio de variable). Halla ${\int\arctan x\,dx}.$ Toma ${u=\arctan x},$ ${dv=dx},$ así que ${du=\frac{dx}{1+x^2}},$ ${v=x}.$ La nueva integral es la del ejemplo 5 del apartado sobre el cambio de variable:

${\int\arctan x\,dx}={x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}\,dx}={{x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C}.}$

Fórmulas de reducción

La integración por partes permite rebajar paso a paso el exponente de una potencia en el integrando. Para ${n\ge2},$ escribe ${\operatorname{sen}^nx}={\operatorname{sen}^{n-1}x\cdot\operatorname{sen} x}$ y toma ${u=\operatorname{sen}^{n-1}x},$ ${dv=\operatorname{sen} x\,dx}.$ Entonces ${du}={(n-1)\operatorname{sen}^{n-2}x\cos x\,dx},$ ${v=-\cos x},$ y

${\int\operatorname{sen}^nx\,dx}={-\operatorname{sen}^{n-1}x\cos x}+{{(n-1)\int\operatorname{sen}^{n-2}x\cos^2x\,dx}.}$

Sustituye ${\cos^2x}$ por ${1-\operatorname{sen}^2x}.$ Entonces la integral ${\int\operatorname{sen}^nx\,dx}$ aparece en ambos miembros, con los coeficientes $1$ y ${-(n-1)},$ y al despejarla se obtiene la fórmula de reducción

Para ${n=2}\text{:}$ ${\int\operatorname{sen}^2x\,dx}={-\frac{1}{2}\operatorname{sen} x\cos x+\frac{x}{2}+C}={\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}2x}{4}+C}.$

En ${\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ el primer término vale $0$ en los dos extremos, así que ${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^nx\,dx}={\frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^{n-2}x\,dx}.$ Partiendo de ${\int_0^{\pi/2}dx=\frac{\pi}{2}}$ y de ${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen} x\,dx=1}\text{:}$

${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^2x\,dx}={\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}={\frac{\pi}{4}},$   ${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^3x\,dx}={\frac{2}{3}\cdot1}={\frac{2}{3}},$   ${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^4x\,dx}={\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{4}}={\frac{3\pi}{16}}.$

El segundo teorema del valor medio para integrales

Es decir, el producto se integra como si $f$ solo tomara sus valores en los extremos: $f(a)$ en ${[a,c]}$ y $f(b)$ en ${[c,b]}.$

Demostración. Sea ${G(x)=\int_a^xg(t)\,dt}.$ Entonces ${G'=g}$ y ${G(a)=0},$ y la integración por partes da

${\int_a^bf(x)\,g(x)\,dx}={\int_a^bf(x)\,G'(x)\,dx}={{f(b)\,G(b)-\int_a^bf'(x)\,G(x)\,dx}.}$

El peso $f'$ es continuo y no cambia de signo, así que, por el teorema del valor medio ponderado para integrales (si $G$ y $w$ son continuas y $w$ no cambia de signo en ${[a,b]},$ entonces ${\int_a^bG(x)\,w(x)\,dx}={G(c)\int_a^bw(x)\,dx}$ para algún $c$ de ${[a,b]}\text{:}$ para ${w\ge0}$ y ${m\le G\le M}$ se tiene ${m\int_a^bw\,dx}\le{\int_a^bGw\,dx}\le{M\int_a^bw\,dx},$ y el teorema del valor intermedio da $c$), existe un punto $c$ tal que ${\int_a^bf'(x)\,G(x)\,dx}={G(c)\big(f(b)-f(a)\big)}.$ Por tanto,

${\int_a^bf(x)\,g(x)\,dx}={f(b)\,G(b)}-{G(c)\big(f(b)-f(a)\big)}={{f(a)\,G(c)+f(b)\big(G(b)-G(c)\big)},}$

y esta es precisamente la igualdad del enunciado, ya que ${G(c)=\int_a^cg(x)\,dx}$ y ${G(b)-G(c)}={\int_c^bg(x)\,dx}.$

Ejercicios

Cambio de variable

1. Halla ${\int\sqrt{2x+1}\,dx}.$

Sea ${u=2x+1},$ ${du=2\,dx}\text{:}$ ${\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du}={\frac{1}{3}u^{3/2}+C}.$ Respuesta: ${\frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C}.$

2. Halla ${\int x(x^2+1)^4\,dx}.$

Sea ${u=x^2+1},$ ${du=2x\,dx}\text{:}$ ${\frac{1}{2}\int u^4\,du=\frac{u^5}{10}+C}.$ Respuesta: ${\frac{(x^2+1)^5}{10}+C}.$

3. Halla ${\int\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^3x}\,dx}$ en un intervalo en el que ${\operatorname{sen} x\ne0}.$

Sea ${u=\operatorname{sen} x},$ ${du=\cos x\,dx}\text{:}$ ${\int u^{-3}\,du=-\frac{1}{2u^2}+C}.$ Respuesta: ${-\frac{1}{2\operatorname{sen}^2x}+C}.$

4. Halla ${\int\frac{\operatorname{sen} x}{(3+\cos x)^2}\,dx}.$

Sea ${u=3+\cos x},$ ${du=-\operatorname{sen} x\,dx}\text{:}$ ${-\int u^{-2}\,du=\frac{1}{u}+C}.$ Respuesta: ${\frac{1}{3+\cos x}+C}.$

5. Halla ${\int\frac{e^x}{1+e^x}\,dx}.$

Sea ${u=1+e^x},$ ${du=e^x\,dx}\text{:}$ ${\int\frac{du}{u}=\ln u+C},$ y ${u\gt0}.$ Respuesta: ${\ln(1+e^x)+C}.$

6. Halla ${\int\frac{\ln x}{x}\,dx}$ para ${x\gt0}.$

Sea ${u=\ln x},$ ${du=\frac{dx}{x}}\text{:}$ ${\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C}.$ Respuesta: ${\frac{(\ln x)^2}{2}+C}.$

7. Calcula ${\int_1^4\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx}.$

Sea ${u=\sqrt{x}},$ ${du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}};$ los límites pasan a ser $1$ y $2\text{:}$ ${2\int_1^2e^u\,du=2\Bigl[e^u\Bigr]_1^2}.$ Respuesta: ${2(e^2-e)}.$

8. Calcula ${\int_0^{\pi/4}\cos2x\,\sqrt{4-\operatorname{sen}2x}\,dx}.$

Sea ${u=4-\operatorname{sen}2x},$ ${du=-2\cos2x\,dx};$ los límites $0$ y $\frac{\pi}{4}$ pasan a ser $4$ y $3\text{:}$ ${-\frac{1}{2}\int_4^3\sqrt{u}\,du}={\frac{1}{2}\int_3^4\sqrt{u}\,du}={{\frac{1}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_3^4}.}$ Respuesta: ${\frac{8-3\sqrt{3}}{3}}.$

9. Demuestra que ${\int_{-a}^af(x)\,dx=0}$ para toda función $f$ continua e impar, y deduce que ${\int_{-1}^1x^3\cos x\,dx=0}.$

Divide la integral en el punto $0.$ En ${\int_{-a}^0f(x)\,dx}$ haz el cambio ${x=-t},$ ${dx=-dt}\text{:}$ se convierte en ${\int_a^0f(-t)\,(-dt)}={\int_0^af(-t)\,dt}={-\int_0^af(t)\,dt},$ que se cancela con ${\int_0^af(x)\,dx}.$ La función ${x^3\cos x}$ es impar, así que su integral sobre ${[-1,1]}$ vale $0.$

10. Demuestra que ${\int_0^1x^m(1-x)^n\,dx}={\int_0^1x^n(1-x)^m\,dx}$ para todos los enteros positivos $m$ y $n.$

Haz el cambio ${x=1-t},$ ${dx=-dt};$ los límites $0$ y $1$ pasan a ser $1$ y $0\text{:}$ ${\int_0^1x^m(1-x)^n\,dx}={\int_1^0(1-t)^mt^n\,(-dt)}={\int_0^1t^n(1-t)^m\,dt}.$

Integración por partes

11. Halla ${\int x\operatorname{sen} x\,dx}.$

${u=x},$ ${dv=\operatorname{sen} x\,dx},$ ${v=-\cos x}\text{:}$ ${-x\cos x+\int\cos x\,dx}.$ Respuesta: ${-x\cos x+\operatorname{sen} x+C}.$

12. Halla ${\int x^2e^x\,dx}.$

${u=x^2},$ ${dv=e^x\,dx}\text{:}$ ${x^2e^x-2\int xe^x\,dx},$ y ${\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C}$ (ejemplo 2 de integración por partes). Respuesta: ${(x^2-2x+2)e^x+C}.$

13. Halla ${\int x\ln x\,dx}$ para ${x\gt0}.$

${u=\ln x},$ ${dv=x\,dx},$ ${v=\frac{x^2}{2}}\text{:}$ ${\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx}.$ Respuesta: ${\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C}.$

14. Calcula ${\int_0^1xe^{-x}\,dx}.$

${u=x},$ ${dv=e^{-x}\,dx},$ ${v=-e^{-x}}\text{:}$ ${\Bigl[-xe^{-x}\Bigr]_0^1}+{\int_0^1e^{-x}\,dx}={-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}}.$ Respuesta: ${1-\frac{2}{e}}.$

15. Halla ${\int e^x\cos x\,dx}.$

Como en el ejemplo 6 de integración por partes: ${\int e^x\cos x\,dx}={e^x\cos x+\int e^x\operatorname{sen} x\,dx}={e^x\cos x+e^x\operatorname{sen} x}-{{\int e^x\cos x\,dx}.}$ Respuesta: ${\frac{e^x(\operatorname{sen} x+\cos x)}{2}+C}.$

16. Halla ${\int\operatorname{arcsen} x\,dx}$ para ${-1\lt x\lt1}.$

${u=\operatorname{arcsen} x},$ ${dv=dx}\text{:}$ ${x\operatorname{arcsen} x}-{\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx};$ con ${w=1-x^2},$ la última integral es ${-\sqrt{1-x^2}+C}.$ Respuesta: ${x\operatorname{arcsen} x+\sqrt{1-x^2}+C}.$

17. Usa la fórmula de reducción para calcular ${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^5x\,dx}.$

${\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^5x\,dx}={\frac{4}{5}\int_0^{\pi/2}\operatorname{sen}^3x\,dx}={\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}}.$ Respuesta: ${\frac{8}{15}}.$

Ejercicios variados

18. Halla ${\int\operatorname{sen}\sqrt{x}\,dx}$ para ${x\gt0}.$

Sea ${t=\sqrt{x}},$ ${dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}},$ así que ${dx=2\sqrt{x}\,dt=2t\,dt}\text{:}$ ${2\int t\operatorname{sen} t\,dt}={2(\operatorname{sen} t-t\cos t)+C}$ (ejercicio 11). Respuesta: ${2\operatorname{sen}\sqrt{x}-2\sqrt{x}\cos\sqrt{x}+C}.$

19. Halla ${\int x^3e^{x^2}\,dx}.$

Sea ${u=x^2},$ ${du=2x\,dx}\text{:}$ ${\frac{1}{2}\int ue^u\,du}={\frac{1}{2}(u-1)e^u+C}$ (ejemplo 2 de integración por partes). Respuesta: ${\frac{(x^2-1)e^{x^2}}{2}+C}.$

20. Halla ${\int x\arctan x\,dx}.$

${u=\arctan x},$ ${dv=x\,dx},$ y elige ${v=\frac{x^2+1}{2}}$ (sirve cualquier primitiva de $x$): ${\frac{x^2+1}{2}\arctan x}-{\int\frac{x^2+1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx}.$ Respuesta: ${\frac{x^2+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C}.$

21. Calcula ${\int_1^e(\ln x)^2\,dx}.$

${u=(\ln x)^2},$ ${dv=dx}\text{:}$ ${\Bigl[x(\ln x)^2\Bigr]_1^e}-{2\int_1^e\ln x\,dx}={e-2\Bigl[x\ln x-x\Bigr]_1^e}={e-2\cdot1}$ (ejemplo 3 de integración por partes). Respuesta: ${e-2}.$

Mira también: Integrales (parte 1) · Solucionador integral paso a paso