MenúBase media del trapecio y del triángulo
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos (no lo confunda con el trapezoide, un cuadrilátero sin lados paralelos).
Los lados paralelos ${AB=a}$ y ${DC=b}$ son las bases del trapecio, y los otros dos lados, $AD$ y $BC,$ que no son paralelos, son sus lados laterales. La distancia entre las bases es la altura $h$ del trapecio. En la figura, $DE$ y $CF$ son alturas: ${DE\perp AB},$ ${CF\perp AB}$ y ${DE=CF=h}.$
En esta página: Propiedades del trapecio · Base media del triángulo · Base media del trapecio · La base media y las diagonales · División en partes iguales · Problemas resueltos · Para practicar
Propiedades del trapecio
En todo trapecio $ABCD$ de bases $AB$ y $DC\text{:}$
- los dos ángulos adyacentes a cada lado lateral suman $180^\circ\text{:}$ ${\angle A+\angle D=180^\circ}$ y ${\angle B+\angle C=180^\circ};$
- el área es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura: $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h.$$
Demostración
Los ángulos $A$ y $D$ son conjugados internos formados por las paralelas $AB$ y $DC$ con la secante $AD,$ así que suman $180^\circ.$ Lo mismo vale para $B$ y $C,$ con la secante $BC.$
La diagonal $AC$ divide el trapecio en los triángulos $ABC$ y $ACD.$ El primero tiene base ${AB=a},$ el segundo, base ${DC=b},$ y ambos tienen altura $h,$ que es la distancia entre las bases. Por lo tanto, ${S}={\frac{a\cdot h}{2}+\frac{b\cdot h}{2}}={\frac{a+b}{2}\cdot h}.$
Un trapecio cuyos lados laterales son iguales, ${AD=BC},$ se llama isósceles. Un trapecio que tiene un lado lateral perpendicular a las bases se llama trapecio rectángulo; ese lado es también su altura.
En un trapecio isósceles $ABCD$ en el que ${AB=a}$ es la base mayor:
- los ángulos adyacentes a cada base son iguales: ${\angle A=\angle B}$ y ${\angle C=\angle D};$
- las diagonales son iguales: ${AC=BD};$
- las alturas $DE$ y $CF$ determinan sobre la base mayor dos segmentos iguales: ${AE=FB=\frac{a-b}{2}}.$
Demostración
El cuadrilátero $DEFC$ es un rectángulo, así que ${EF=DC=b}.$ En los triángulos rectángulos $AED$ y $BFC$ las hipotenusas ${AD=BC}$ y los catetos ${DE=CF}$ son iguales, así que, por el teorema de Pitágoras, ${AE}={\sqrt{AD^2-h^2}}={\sqrt{BC^2-h^2}}={FB}.$ Los puntos $E$ y $F$ están sobre la base $AB\text{:}$ si no fuera así, de ${AE=FB}$ se deduciría ${a\le b},$ pero $AB$ es la base mayor. Por lo tanto, ${AE+EF+FB=a},$ es decir, ${2\cdot AE=a-b}.$ Los dos triángulos son congruentes por el criterio LLL, por lo que ${\angle A=\angle B}.$ Los ángulos $C$ y $D$ son iguales porque ${\angle D=180^\circ-\angle A}$ y ${\angle C=180^\circ-\angle B}.$
Los triángulos $ABD$ y $BAC$ tienen el lado común $AB,$ ${AD=BC}$ y ${\angle A=\angle B},$ así que son congruentes por el criterio LAL y, por lo tanto, ${BD=AC}.$
Base media del triángulo
Una base media de un triángulo, también llamada paralela media, es un segmento que une los puntos medios de dos de sus lados.
En la figura, $M$ es el punto medio de $AC$ y $N$ es el punto medio de $BC\text{:}$ ${AM=MC}$ y ${BN=NC}.$ El segmento $MN$ es una base media del triángulo $ABC.$
Teorema de la base media del triángulo. Una base media de un triángulo es paralela al tercer lado y mide la mitad de este:
$$MN\parallel AB,\qquad MN=\frac{AB}{2}.$$Demostración
Prolonguemos $MN$ más allá de $N$ hasta el punto $K$ tal que ${NK=MN}.$ Los triángulos $MNC$ y $KNB$ son congruentes por el criterio LAL: ${CN=NB},$ ${MN=NK}$ y los ángulos en $N$ son opuestos por el vértice. Por lo tanto, ${BK=CM=AM}$ y ${\angle NBK=\angle NCM}.$ Estos ángulos son alternos internos formados por las rectas $BK$ y $AC$ con la secante $BC,$ así que ${BK\parallel AM}.$
El cuadrilátero $ABKM$ tiene dos lados opuestos, $AM$ y $BK,$ que son paralelos e iguales, así que es un paralelogramo. Por lo tanto, ${MK\parallel AB}$ y ${MK=AB},$ de donde ${MN=\frac{MK}{2}=\frac{AB}{2}}.$
El teorema recíproco también es cierto y se usa en muchas demostraciones:
Teorema. Una recta que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela a otro lado corta al tercer lado en su punto medio.
Demostración
Supongamos que la recta pasa por el punto medio $M$ de $AC$ y es paralela a $AB.$ La base media $MN,$ donde $N$ es el punto medio de $BC,$ también pasa por $M$ y es paralela a $AB.$ Por $M$ pasa una sola recta paralela a $AB,$ así que la recta dada es la recta $MN,$ que corta a $BC$ en su punto medio $N.$
No confunda una base media de un triángulo con una mediana: una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto, mientras que una base media une los puntos medios de dos lados.
Las tres bases medias de un triángulo
Sea $P$ el punto medio de $AB.$ Todo triángulo tiene tres bases medias; en la figura, $MN,$ $NP$ y $PM.$ Estas lo dividen en cuatro triángulos congruentes, porque cada uno de ellos tiene los lados $\frac{AB}{2},$ $\frac{BC}{2}$ y $\frac{CA}{2}$ (criterio LLL). Por lo tanto, el triángulo $MNP$ formado por las bases medias tiene la mitad del perímetro y la cuarta parte del área del triángulo $ABC.$
Base media (mediana) del trapecio
La base media de un trapecio, también llamada mediana, es el segmento que une los puntos medios de sus lados laterales.
En la figura, ${AM=MD}$ y ${BN=NC},$ así que $MN$ es la base media del trapecio $ABCD.$ Llamaremos $m$ a su longitud.
Teorema de la base media del trapecio. La base media de un trapecio es paralela a las bases y su longitud es igual a la semisuma de estas:
$$MN\parallel AB\parallel DC,\qquad m=\frac{a+b}{2}.$$Demostración
Prolonguemos $DN$ más allá de $N$ hasta que corte a la recta $AB$ en el punto $K.$ En los triángulos $NCD$ y $NBK$ se tiene ${CN=NB},$ los ángulos en $N$ son opuestos por el vértice y ${\angle NCD=\angle NBK}$ por ser alternos internos (${DC\parallel AK},$ secante $BC$). Por el criterio ALA los triángulos son congruentes, así que ${DN=NK}$ y ${DC=BK}.$ Los puntos $D$ y $K$ quedan a uno y otro lado de $BC,$ y $A$ queda del mismo lado que $D,$ por lo que $B$ está entre $A$ y $K.$
En el triángulo $ADK$ el punto $M$ es el punto medio de $AD$ y $N$ es el punto medio de $DK,$ así que $MN$ es una base media de este triángulo. Por el teorema de la base media del triángulo, ${MN\parallel AK},$ es decir, ${MN\parallel AB\parallel DC},$ y ${MN}={\frac{AK}{2}}={\frac{AB+BK}{2}}={\frac{a+b}{2}}.$
Dicho de otro modo, la base media es la media aritmética de las dos bases, así que es más larga que la base menor y más corta que la base mayor: si ${a\gt b},$ entonces ${b\lt m\lt a}.$ Como en el triángulo, el teorema recíproco también se cumple:
Teorema. Una recta que pasa por el punto medio de un lado lateral de un trapecio y es paralela a las bases pasa por el punto medio del otro lado lateral.
Demostración
La base media $MN$ pasa por $M$ y es paralela a las bases, y por $M$ pasa una sola recta paralela a $AB.$ Por lo tanto, la recta dada es la recta $MN,$ que pasa por el punto medio $N$ de $BC.$
Como ${\frac{a+b}{2}=m},$ el área de un trapecio es igual a su base media multiplicada por su altura:
En un trapecio isósceles, la altura $CF$ divide la base mayor en los segmentos ${FB=\frac{a-b}{2}}$ y ${AF}={a-\frac{a-b}{2}}={\frac{a+b}{2}}={m}.$
La base media y las diagonales
Sea ${a\gt b}.$ La base media $MN$ pasa por los puntos medios $P$ y $Q$ de las diagonales $AC$ y $BD,$ y las diagonales la dividen en tres partes:
$$MP=QN=\frac{b}{2},\quad MQ=PN=\frac{a}{2},$$ $$PQ=\frac{a-b}{2}.$$Demostración
En el triángulo $ACD$ la recta $MN$ pasa por el punto medio $M$ de $AD$ y es paralela a $DC,$ así que divide a $AC$ en dos partes iguales: $P$ es el punto medio de $AC,$ y $MP$ es una base media del triángulo $ACD,$ de modo que ${MP=\frac{DC}{2}=\frac{b}{2}}.$ En el triángulo $ABC$ el segmento $PN$ une los puntos medios de $AC$ y $BC,$ así que ${PN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}}.$
Del mismo modo, los triángulos $BCD$ y $ABD$ muestran que $Q$ es el punto medio de $BD,$ ${QN=\frac{b}{2}}$ y ${MQ=\frac{a}{2}}.$ Como ${QN\lt PN},$ el punto $Q$ está entre $P$ y $N,$ así que ${PQ}={PN-QN}={\frac{a}{2}-\frac{b}{2}}={\frac{a-b}{2}}.$
Así pues, el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es paralelo a las bases y mide la semidiferencia de estas.
La base media de un trapecio divide en dos partes iguales todo segmento que tenga un extremo en cada base: si el punto $X$ está en $AB$ y el punto $Y$ está en $DC,$ entonces $MN$ corta a $XY$ en el punto medio $O$ de $XY.$
Demostración
Sea $R$ el punto en que el segmento $AY$ corta a $MN.$ En el triángulo $ADY$ la recta $MN$ pasa por el punto medio $M$ de $AD$ y es paralela a $DY,$ así que $R$ es el punto medio de $AY.$ En el triángulo $AXY$ la misma recta pasa por el punto medio $R$ de $AY$ y es paralela a $AX,$ así que divide a $XY$ en dos partes iguales: $O$ es el punto medio de $XY.$ (Si ${Y=D},$ entonces ${R=M};$ si ${X=A},$ basta con el primer paso.)
En particular, la base media divide en dos partes iguales las diagonales y cualquier altura del trapecio: está a la misma distancia de las dos bases.
Aplicación: división de un segmento en partes iguales
Las propiedades de las bases medias permiten dividir un segmento en cualquier número de partes iguales sin medir, solo con compás y regla.
Problema. Divida un segmento dado $AB$ en 5 partes iguales.
- Trace desde $A$ una semirrecta cualquiera $p$ que no esté sobre la recta $AB.$
- Con el compás, traslade sobre $p$ cinco segmentos iguales, uno a continuación del otro: ${AA_1}={A_1A_2}={A_2A_3}={A_3A_4}={A_4A_5}.$
- Una el punto $A_5$ con $B$ y trace por $A_4,$ $A_3,$ $A_2$ y $A_1$ rectas paralelas a $A_5B.$ Estas rectas cortan a $AB$ en los puntos $B_4,$ $B_3,$ $B_2$ y $B_1.$
Estos puntos dividen $AB$ en cinco partes iguales: ${AB_1}={B_1B_2}={B_2B_3}={B_3B_4}={B_4B}.$
¿Por qué funciona?
El cuadrilátero $BB_3A_3A_5$ es un trapecio de bases ${B_3A_3\parallel BA_5}.$ El punto $A_4$ es el punto medio de su lado lateral $A_3A_5,$ y la recta $A_4B_4$ es paralela a las bases, así que pasa por el punto medio del otro lado lateral: ${BB_4=B_4B_3}.$
Del mismo modo, del trapecio $B_4B_2A_2A_4$ se obtiene ${B_4B_3=B_3B_2},$ y del trapecio $B_3B_1A_1A_3$ se obtiene ${B_3B_2=B_2B_1}.$ Por último, en el triángulo $AB_2A_2$ la recta $A_1B_1$ pasa por el punto medio $A_1$ de $AA_2$ y es paralela a $A_2B_2,$ así que divide a $AB_2$ en dos partes iguales: ${B_2B_1=B_1A}.$ En conclusión, ${AB_1}={B_1B_2}={B_2B_3}={B_3B_4}={B_4B}.$
En general (teorema de Tales): si varias rectas paralelas determinan segmentos iguales sobre un lado de un ángulo, también determinan segmentos iguales sobre el otro lado.
Para dividir $AB$ en otro número de partes iguales, traslade sobre $p$ tantos segmentos iguales como partes quiera obtener y proceda de la misma manera. La misma construcción permite dividir un segmento en una razón dada: para la razón ${2:3},$ traslade ${2+3=5}$ segmentos iguales y obtendrá ${AB_2:B_2B=2:3}.$
Problemas resueltos
Problema 1. Las bases de un trapecio miden 14 cm y 8 cm. Halle su base media.
Solución. ${m=\frac{14+8}{2}=11}$ cm.
Problema 2. La base media de un trapecio mide 12 cm y una de sus bases mide 15 cm. Halle la otra base.
Solución. De ${\frac{15+b}{2}=12}$ se obtiene ${15+b=24}$ y ${b=9}$ cm.
Problema 3. La base media de un trapecio mide 10 cm y una de las bases es 4 cm más larga que la otra. Halle las bases.
Solución. La suma de las bases es ${2m=20}$ cm. Con ${a=b+4}$ se obtiene ${2b+4=20},$ así que ${b=8}$ cm y ${a=12}$ cm.
Problema 4. Las bases de un trapecio miden 18 cm y 8 cm. ¿En qué partes dividen las diagonales la base media?
Solución. Las dos partes de los extremos miden ${\frac{b}{2}=\frac{8}{2}=4}$ cm cada una, y la parte central mide ${\frac{a-b}{2}=\frac{18-8}{2}=5}$ cm. Comprobación: ${4+5+4=13=\frac{18+8}{2}}.$
Problema 5. Los lados de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 12 cm. Halle los lados y el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo dado.
Solución. Los lados del nuevo triángulo son bases medias, así que cada uno mide la mitad de un lado del triángulo dado: 3 cm, 4 cm y 6 cm. Su perímetro es ${3+4+6=13}$ cm, la mitad de ${6+8+12=26}$ cm.
Problema 6. Las bases de un trapecio isósceles miden 20 cm y 10 cm, y sus lados laterales miden 13 cm. Halle su altura y su área.
Solución. Tracemos la altura $CF.$ En un trapecio isósceles, ${FB}={\frac{a-b}{2}}={\frac{20-10}{2}}={5}$ cm. En el triángulo rectángulo $CFB$ la altura mide ${h}={\sqrt{13^2-5^2}}={\sqrt{144}}={12}$ cm. La base media mide ${m=\frac{20+10}{2}=15}$ cm, así que ${S=m\cdot h=15\cdot 12=180}$ cm².
Problema 7. Demuestre que los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo.
Demostración. Sean $K,$ $L,$ $M$ y $N$ los puntos medios de $AB,$ $BC,$ $CD$ y $DA.$ En el triángulo $ABC$ el segmento $KL$ es una base media, así que ${KL\parallel AC}$ y ${KL=\frac{AC}{2}}.$ En el triángulo $ACD$ el segmento $NM$ es una base media, así que ${NM\parallel AC}$ y ${NM=\frac{AC}{2}}.$ Entonces $KL$ y $NM$ son paralelos e iguales, y $KLMN$ es un paralelogramo. Del mismo modo, de los triángulos $ABD$ y $CBD$ se obtiene ${KN=LM=\frac{BD}{2}}.$ Por lo tanto, el perímetro de $KLMN$ es ${AC+BD}.$
Problemas para practicar
1. Las bases de un trapecio miden 9 cm y 15 cm. Halle su base media.
${m=\frac{9+15}{2}=12}$ cm.
2. La base media de un trapecio mide 16 cm y una de sus bases mide 21 cm. Halle la otra base.
${b=2\cdot 16-21=11}$ cm.
3. Las bases de un trapecio están en la razón ${3:5}$ y su base media mide 16 cm. Halle las bases.
Sean $3k$ y $5k$ las bases. Entonces ${\frac{3k+5k}{2}=4k=16},$ así que ${k=4}$ y las bases miden 12 cm y 20 cm.
4. Las bases medias de un triángulo miden 5 cm, 6 cm y 7 cm. Halle el perímetro del triángulo.
Los lados miden el doble que las bases medias: 10 cm, 12 cm y 14 cm. El perímetro es de 36 cm.
5. Una base media de un triángulo separa de él un triángulo de 9 cm² de área. Halle el área del triángulo completo.
Las tres bases medias dividen el triángulo en cuatro triángulos congruentes, y el triángulo separado es uno de ellos. El área es ${4\cdot 9=36}$ cm².
6. Las bases de un trapecio miden 10 cm y 4 cm. Halle la distancia entre los puntos medios de sus diagonales.
${PQ=\frac{a-b}{2}=\frac{10-4}{2}=3}$ cm.
7. La base media de un trapecio mide 11 cm y una de sus diagonales la divide en dos partes cuya diferencia es de 3 cm. Halle las bases.
La diagonal divide la base media en las partes $\frac{b}{2}$ y $\frac{a}{2}.$ De ${\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=11}$ y ${\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=3}$ se obtiene ${\frac{a}{2}=7}$ y ${\frac{b}{2}=4},$ así que las bases miden 14 cm y 8 cm.
8. En el trapecio isósceles $ABCD$ (${AB\parallel DC}$), la altura $CF$ divide la base $AB$ en los segmentos ${AF=9}$ cm y ${FB=4}$ cm. Halle la base media y las bases.
${FB=\frac{a-b}{2}=4}$ y ${AF=a-FB=\frac{a+b}{2}=9},$ así que la base media mide 9 cm. Entonces ${a=9+4=13}$ cm y ${b=a-2\cdot 4=5}$ cm.
9. Las diagonales de un trapecio isósceles son perpendiculares y su base media mide 7 cm. Halle su área.
Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales. Los triángulos $ABD$ y $BAC$ son congruentes (vea las propiedades del trapecio isósceles, más arriba), así que ${\angle OAB=\angle OBA}$ y ${OA=OB};$ del mismo modo, ${OC=OD}.$ Por lo tanto, los triángulos $AOB$ y $COD$ son rectángulos isósceles. En un triángulo así, la altura trazada desde el vértice del ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa (porque también es la mediana correspondiente a la hipotenusa). Las dos alturas están sobre la recta que pasa por $O$ y es perpendicular a las bases, de modo que la altura del trapecio es ${h=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=m=7}$ cm y ${S=m\cdot h=49}$ cm².
10. Las diagonales de un cuadrilátero miden 10 cm y 14 cm. Halle el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de sus lados.
Es un paralelogramo de lados 5 cm y 7 cm (vea el problema 7), así que su perímetro es ${2(5+7)=24}$ cm.
11. Divida un segmento dado $AB$ en la razón ${3:4}$ sin medir.
Traslade 7 segmentos iguales $AA_1,$ $A_1A_2,$ …, $A_6A_7$ sobre una semirrecta que parta de $A,$ una el punto $A_7$ con $B$ y trace por $A_3$ la recta paralela a $A_7B.$ Esta recta corta a $AB$ en el punto $B_3$ tal que ${AB_3:B_3B=3:4}.$
Más: Paralelogramo · Triángulos · Triángulos semejantes
