График квадратичной функции

В каждом задании дана квадратичная функция в общем виде $y = ax^2 + bx + c$ вместе с её графиком. Запишите пять вещей, о которых спрашивают под каждой параболой. Их можно прочитать прямо с чертежа или вычислить по формуле и проверить себя по чертежу — отмеченные точки это вершина и точка пересечения с осью y вместе с точкой напротив неё.

Звук включён Звук выключен

Вот как все пять ответов читаются прямо из $y = ax^2 + bx + c$:

• График любой квадратичной функции — парабола. Куда направлены её ветви, говорит один только знак a: при $a > 0$ ветви вверх, при $a < 0$ — вниз.
• Вершина — единственная точка, в которой кривая поворачивает. У параболы с ветвями вверх это самая низкая точка графика, то есть вершина — минимум; у параболы с ветвями вниз это самая высокая точка, то есть максимум.
• Пересечение с осью y — это место, где кривая пересекает ось y, поэтому подставьте $x = 0$: всё, где есть x, исчезает и остаётся только c. Точка — это $(0, c)$, свободный член в конце формулы.
• Ось симметрии — вертикальная прямая, по которой парабола складывается сама на себя. Это $x = -\frac{b}{2a}$, и она всегда проходит через вершину.
• Отсюда находится и вершина: её x равен $-\frac{b}{2a}$, а y — то, что даёт формула, если подставить это число обратно.

Пример. Для $y = 2x^2 + 4x + 3$ имеем $a = 2$, $b = 4$ и $c = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх и её вершина — минимум. Пересечение с осью y — это $(0, 3)$. Ось симметрии $x = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$, а $y = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 3 = 1$, значит вершина — $(-1, 1)$.

Перезагрузите страницу — и получится новое упражнение: все четыре функции каждый раз генерируются случайно.