Бесплатный пошаговый решатель интегралов

1. Перепишите подинтегральное выражение:

   [tex]\frac{1}{- x^{3} + 1} = \frac{x + 2}{3 x^{2} + 3 x + 3} - \frac{1}{3 x - 3}[/tex]

2. Почленовая интеграция:

   1. Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

      [tex]\int \frac{x + 2}{3 x^{2} + 3 x + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{x + 2}{x^{2} + x + 1}\, dx[/tex]

      1. Перепишите подинтегральное выражение:

         [tex]\frac{x + 2}{x^{2} + x + 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1} + \frac{2}{x^{2} + x + 1}[/tex]

      2. Почленовая интеграция:

         1. Не известны шаги для нахождения данного интеграла.

            Но это интеграл равен

            [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]

         1. Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

            [tex]\int \frac{2}{x^{2} + x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{2} + x + 1}\, dx[/tex]

            1. Не известны шаги для нахождения данного интеграла.

               Но это интеграл равен

               [tex]\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]

            Таким образом, результат равен: [tex]\frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]

         Результат равен: [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]

      Таким образом, результат равен: [tex]\frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]

   1. Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

      [tex]\int - \frac{1}{3 x - 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1}\, dx[/tex]

      1. Пусть [tex]u = x - 1[/tex].

         Тогда пусть [tex]du = dx[/tex] и заменим [tex]du[/tex]:

         [tex]\int \frac{1}{u}\, du[/tex]

         1. Результат равен: [tex]\ln{u}[/tex]

         Теперь подставим [tex]u[/tex] назад в:

         [tex]\ln{\left (x - 1 \right )}[/tex]

      Таким образом, результат равен: [tex]- \frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )}[/tex]

   Результат равен: [tex]- \frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]

3. Теперь упростим:

   [tex]- \frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}[/tex]

4. Добавьте постоянную интегрирования:

   [tex]- \frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}+ \mathrm{const}[/tex]

Ответ равен:

[tex]- \frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}+ \mathrm{const}[/tex]