Бесплатный пошаговый решатель интегралов

1. Перепишите подинтегральное выражение:

   [tex]tg{\left (5 x \right )} = \frac{\sin{\left (5 x \right )}}{\cos{\left (5 x \right )}}[/tex]

2. Есть несколько способов рассчитать это интеграл.

   Метод #1

   1. Пусть [tex]u = \cos{\left (5 x \right )}[/tex].

      Тогда пусть [tex]du = - 5 \sin{\left (5 x \right )} dx[/tex] и заменим [tex]- \frac{du}{5}[/tex]:

      [tex]\int - \frac{1}{5 u}\, du[/tex]

      1. Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

         [tex]\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u}\, du[/tex]

         1. Результат равен: [tex]\ln{u}[/tex]

         Таким образом, результат равен: [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (u \right )}[/tex]

      Теперь подставим [tex]u[/tex] назад в:

      [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (\cos{\left (5 x \right )} \right )}[/tex]

   Метод #2

   1. Пусть [tex]u = 5 x[/tex].

      Тогда пусть [tex]du = 5 dx[/tex] и заменим [tex]\frac{du}{5}[/tex]:

      [tex]\int \frac{\sin{\left (u \right )}}{5 \cos{\left (u \right )}}\, du[/tex]

      1. Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

         [tex]\int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du = \frac{1}{5} \int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du[/tex]

         1. Пусть [tex]u = \cos{\left (u \right )}[/tex].

            Тогда пусть [tex]du = - \sin{\left (u \right )} du[/tex] и заменим [tex]- du[/tex]:

            [tex]\int - \frac{1}{u}\, du[/tex]

            1. Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

               [tex]\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du[/tex]

               1. Результат равен: [tex]\ln{u}[/tex]

               Таким образом, результат равен: [tex]- \ln{\left (u \right )}[/tex]

            Теперь подставим [tex]u[/tex] назад в:

            [tex]- \ln{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}[/tex]

         Таким образом, результат равен: [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}[/tex]

      Теперь подставим [tex]u[/tex] назад в:

      [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (\cos{\left (5 x \right )} \right )}[/tex]

3. Добавьте постоянную интегрирования:

   [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (\cos{\left (5 x \right )} \right )}+ \mathrm{const}[/tex]

Ответ равен:

[tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (\cos{\left (5 x \right )} \right )}+ \mathrm{const}[/tex]