Вообще НЕРЕАЛЬНАЯ задачка!

[Rados]

Предположим, что ДАНО:
Площадь (2D) прямоугольника, ограниченного синей линией (1D) равняется ровно 2 млн. кв. км.
Внутри пространства, оганиченного со всех сторон фиолетовым множеством точек находится красный ШАР.
Требуется вычислить ОБЪЁМ (3D) свободного пространства (пустого множества белых точек) НЕ ЗАНЯТОГО этим шаром!

[Rados]

Требуется вычислить ОБЪЁМ (3D) свободного пространства

На схеме видно, что диаметр красного шара равен 1 000 км, следовательно, его ОБЪЁМ можно вычислить по формуле шара!
А диаметр "белого пространства" ровно в 2 раза больше диаметра красного шара, значит и ОБЪЁМ (3D) этого пространства можно вычислить по формуле шара!
Имеется топологическое предположение, что СВОБОДНОЕ (незанятое красным шаром, пустое) пространство (3D) имеет ОБЪЁМ ровно в семь раз больший, чем объём красного шара... Но по условиям задачи это требуется ВЫЧИСЛИТЬ и записать ответ конкретными ЦИФРАМИ.

[Stas]

Если я правильно понял , то речь идёт о правильной сфере в которой находиться красный шар .
Если это так , то нам надо найти соотношение объёмов сферы и шара , которые вычисляются по одной и той же формуле .
Так как мы ищем соотношения , то есть смысл упростить данные и принять диаметр шара за единицу , соответственно диаметр сферы за 2 .
Из отношения объёма сферы к объёму шара , после соответствующих сокращений , получим , что объём сферы ровно в 8 раз превышает объём шара .
Вычтем из 8-1 и получим предполагаемй результат .
Я прав ?

[Rados]

Совершенно верно, Stas!
При увеличени диаметра красного шара в ДВА раза объём увеличится в [tex]2^{3}[/tex] раза!
Эта задачка названа "нереальной", потому что никто такие ОБЪЁМЫ материальных объектов в реальном Мире (на практике) не измерял "кубами".
Ибо в метрической системе миллионы кубических КИЛОМЕТРОВ - величина "невообразимая", а правильный шар на равные кубики НЕ ДЕЛИТСЯ...

[Stas]

Астрономы были не согласны

[Rados]

Астрономы для таких измерений пользуются т. н. "астрономической единицей", то есть, линейной (1D) МЕРОЙ расстояния.
А в задачке даны размеры в кило-МЕТРАХ, которыми тоже измеряются линейные расстояния (1D).
Площадь прямоугольника - это совершенно не нужное для решение данной задачки условие (лишние данные).
Но ТРЕБУЕТСЯ "вычислить ОБЪЁМ (3D) свободного пространства, то есть ПУСТОГО шара белого цвета - именно в "кубических" единицах измерения.
Аналитически эта задачка решается просто, но для арифметических подсчётов придётся использовать калькулятор.

[Rados]

Астрономы были не согласны

"Кто не верит -пусть проверит!"
МЫ же имеем в виду не Астрономию, а "обычную" ГЕО-метрию!
Аналитически (без числовых вычислений) МЫ пришли к однозначному решению, что ВОКРУГ красного шара есть ещё свободное трёх-мерное ПРОСТРАНСТВО, которое в математике называют "пустым множеством". При чём ОБЪЁМ этого пространства ровно в СЕМЬ РАЗ больше ОБЪЁМА "единичного шара"!
8 - 1 = 7 (это неоспоримый ФАКТ)!
Есть следующее "топологическое предположение", что МЫ можем в это свободное пространство впихнуть ещё один такой же красный шар!
Соответсвенно объём свободного пространства УМЕНЬШИТСЯ ещё на 1 единицу объёма красного шара!
8 - 2 = 6 (это тоже неоспоримый ФАКТ)!

Сможем ли МЫ "доказать астрологам", что ТРЕТИЙ такой же красный шар в это свободное пространство просто НЕ ПОМЕСТИТСЯ?!

[Stas]

Честно говоря , у меня эта задача ассоциировалась именно с астрономией .
" Последние измерения самого удалённого объекта – реликтового излучения – выдали значение порядка 14 млрд. парсек. Такие размеры получились по всем направлениям, из чего следует, что Метагалактика, скорее всего, имеет формы шара. И диаметр этого шара – почти 93 млрд. световых лет. Если же посчитать его объём, то он составит около 11,5 трлн. Мпк3."

Но вот с топологией я знаком практически никак , увы .
Интуиция подсказывает , что третий шар там не поместится .

[Rados]

диаметр этого шара – почти 93 млрд. световых лет

Если нарисовать такой МетаГалактический Шар в сильно уменьшенном МАСШТАБЕ, то его диаметр "можно принять за ЕДИНИЦУ" = 1D.
Но даже астрофизики не будут ОТРИЦАТЬ того, что это "не красный шар" (как на нашей схеме), а ВООБЩЕ ВСЁ пространство внутри этого МетаГалактического шара. Вместе со всеми объёмами (3D) ОТДЕЛЬНЫХ материальных объектов + какое-то свободное пространство МЕЖДУ НИМИ.
Если БЫ НЕ БЫЛО такого "пустого" пространства, то никакого перемещения этих объектов "в пространстве и времени" не могло бы осуществляться "в натуре".
В графическом отображении на плоскости (2D) такую МетаГалактику в плане можно отобразить как окружность (линию 1D), внутри которой расположены правильные круги (2D), которые НЕ пересекаются между собой и с границей этой МетаГалактики! Так что между этими кругами будет так же оставаться СВОБОДНОЕ от этих кругов пространство (2D)... И точно так же как в нашей "нереальной задачке" можно определить БЕЗ ИЗМЕРЕНИЯ "циркулем и линейкой", что ВОКРУГ центрального кружочка можно разместить ровно 6 таких же кружочков!
Восьмой туда уже НЕ ПОМЕСТИТСЯ!
Но при этом свободное пространство будет равно площади ДВУХ таких же кружочков...
Потому что в отличие от "световых лет" диаметры этих "единичных кружочков" РАВНЫ МЕЖДУ СОБОЙ = 1d...
А общий диаметр ВСЕГО объёма МетаГалактики тогда будет равен 3d = D (без указания единиц измерения).
При этом свободную площадь(2D), НЕ ЗАНЯТУЮ этими кружочками, тоже можно вычислить, ... .. но только НЕ в "квадратных световых годах"...

Это же просто АБСУРД?!!

[Stas]

Это всего лишь удобство вычислений и примение определённой терминологии в той или иной научной дисциплине .
Согласитесь , что оперировать десятком триллионов километровов менее удобно чем одним световым годом , а именно такое растояние пролетает фотон за один календарный год . (подразумевается конечно в ваккуме )

Кроме того , если рассматривать красный шар с точки его внутренного строения , то он тоже представляет из себя пустоту в которой летают и вращаются протоны , электроны и прочие микрочастицы и расстояния между ними вполне сопоставимы с галактическими .

[Rados]

если рассматривать красный шар с точки его внутренного строения

Тоже очень интересный вариант!
Измерение расстояния (1D) периодом ВРЕМЕНИ (световым годом) - это тоже УСЛОВНОЕ сравнение НЕсоизмеримых величин - пространства и времени!
То есть, это уже совсем другая "научная дисциплина" - Общая Теория Относительности (ОТО), в которой используется термин "пространственно-временной КОНТИНУУМ"... И тогда возникает как бы "вопрос" - КАК графически отобразить "единицу измерения времени"?!

Непрерывность времени доказывать никому не надо - это и так "Любому Дураку понятно", потому что ОБРАТНОГО хода или ОСТАНОВКИ у этого явление НЕ БЫВАЕТ... "Есть только МИГ между прошлым и будущим!" Вот за него МЫ и попробуем "зацепиться"!
Период или цикл - это определённое количество времени, за который происходит ПОЛНЫЙ ОБОРОТ какого-то наблюдаемого объекта вокруг другого какого-то объекта, стационарного по отношению к Наблюдателю (субъекту). Примеров из реальной действительности можно привести МНОЖЕСТВО: 1 оборот Земли вокруг Солнца = 1 году ... 1 оборот Земли вокруг своей оси = 1 суткам ... 2 оборота часовой стрелки = 1 суткам ... 1 оборот минутной стрелки = 1 часу ... 1 оборот секундной стрелки = 1 минуте... 1 оборот точки по замкнутой кривой линии = 1 замкнутому циклу. Линия правильной окружности состоит из 4[tex]\pi[/tex] = 360 градусов... [tex]\pi[/tex] - это безразмерная (транцендентная) величина, коэффициент ОТНОШЕНИЯ длины окружности (1D) к длине диаметра (1D)... Это всё тоже ИЗВЕСТНЫЕ ФАКТЫ - как Астрофизикам. так и Математикам!
А в "обычной" ГЕО-метрии направление движения тоже ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ... Расстояние по ЗАМКНУТОЙ кривой линии = длина пути (1D) в процессе перемещения точки (0D) по окружности - ОДНО И ТО ЖЕ - хоть ПО часовой стрелке, хоть ПРОТИВ часовой стрелки, так ведь?! Но направление - совершенно ОБРАТНОЕ! В топологии принято ГРАФИЧЕСКИ отмечать это знаками "плюс" (по часовой стрелке) или "минус" (против часовой стрелки), при этом длина самой стрелки тоже НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ и такая "стрелка" называется НУЛЬМЕРНЫМ ВЕКТОРОМ!

Теперь переходим к СЛЕДУЮЩЕЙ схемке в нашей задачке "про семь красных кружков внутри ОДНОГО общего "пустого" пространства!
Если эти 6 кругов вокруг центрального кружка НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, то они могут КАСАТЬСЯ друг друга только в ОДНОЙ точке касания. И при этом ВРАЩАТЬСЯ вокруг своей оси в противоположные СТОРОНЫ (показано белыми стрелками). Но только ПРИ УСЛОВИИ, что эти круги НЕ СВЯЗАНЫ ни в одной точке с центральным кружком... И тогда "нульмерное" пространство (2D) белых вогнутых треугольников может ПЕРЕТЕКАТЬ в другое "нульмерное пространство" (2D) между красными "шарами" (направление показано фиолетовыми стрелками) ... Движение ВРЕМЕНИ обозначено ГРАФИЧЕСКИ (векторно), но ПЕРЕМЕЩЕНИЯ в замкнутом пространстве НЕТУ... Но можно так же предположить, что все 6 красных шаров СВЯЗАНЫ между собой в точках касания и все "дружно" (одновременно) вращаются вокруг СТАЦИОНАРНОГО центрального красного "шара" - либо ПО часовой стрелке, либо ПРОТИВ часовой стрелки... Пустое множество белых точек такому перемещению НЕ ПРЕПЯТСТВУЕТ и остаётся НЕИЗМЕННЫМ по величине!

Но в нашей "нереальной задаче" условия ЕЩЁ ПРОЩЕ! Надо вычислить ОБЪЁМ (3D) этого "пустого пространства", не занятого красными шарами!

[Rados]

А теперь представим себе, что центральный шар тоже оказался ПУСТЫМ - как "обычная" 2D-сфера, у которой внутренний объём ограничен замкнутой поверхностью (2D), которая не имеет никакой толщины, но ПОКАЗАНА на схеме (условно-графически) жёлтой окружностью (1D). Диаметр этой СФЕРЫ равен диаметру каждого из красных шаров. Итого мы имеем в задаче всего 6 красных шаров, объём каждого из которых измеряется "кубическими" километрами.
Требуется ВЫЧИСЛИТЬ объём "пустого" Множества белых "нульмерных" точек (0D) - как СВОБОДНОГО пространства (3D), не занятого красными шарами!

"Это же элементарно ... Ватсон!
Кстати, здесь можно заметить и "связь чисел с календарём друидов"... В названии седьмого дня недели Sunday упоминается название Солнца - как Центрального Объекта в Солнечной Системе... Он же считался и first day of the week. Потому что в то ВРЕМЯ в математике НУЛЯ НЕ БЫЛО!!!
О! = 1
[tex]М^{0}[/tex] = 1
"Пусть ВСЕГДА будет Солнце!"

[Rados]

выдали значение порядка 14 млрд. парсек

Если это расстояние (1D) ИЗМЕРЕНО, то по формуле ШАРА можно найти и числовое значение ОБЪЁМА этого шара (3D).
Принимаем за единицу измерения 1 "млрд. парсек", значит, ОБЪЁМ такого шара будет равен ... ... ??? ...
... у меня на калькуляторе получилось (округлённо) 11 499 каких-то "кубических миллиардов парсек"...
Но из этого ОБЪЁМА необходимо вычесть сумму объёмов всех МАТЕРИАЛЬНЫХ объектов, и тогда мы сможем вычислить (не измеряя "в натуре") весь ОБЪЁМ свободного пространства этой МетаГалактики!
Общая масса всей этой МАТЕРИИ (вещества) уже тоже ИЗВЕСТНА астрофизикам.
Но к данной "нереальной задаче" это тоже НЕ ИМЕЕТ ОТНОШЕНИЯ, потому что диаметр "пустого белого множества" УКАЗАН вполне определённым числом = 2 000 км...

[Rados]

Если формула ОБЪЁМА шара справедлива для любой величины D, то можно коэффициент 4/3[tex]\pi[/tex] заменить числом 4,2, а тыщу километров записать как [tex]10^{3}[/tex] км.
Тогда объём пространства внутри сферы (множества точек белого цвета) будет равен 4,2 х [tex]10^{9}[/tex] [tex]км^{3}[/tex].
Как МЫ уже выяснили в самом начале, свободное пространство, НЕзанятое 1 красным шаром составляет 7/8 частей объёма всего свободного пространства.
4,2 х [tex]10^{9}[/tex] [tex]км^{3}[/tex]х 7/8 = 3,675 х [tex]10^{9}[/tex] [tex]км^{3}[/tex].
А если вставить туда ещё один красный шар, то объём свободного пространства уменьшится до 6/8, то есть до 3,1425 х [tex]10^{9}[/tex] [tex]км^{3}[/tex].
Но третий шар туда уже не поместится!

Аналогично можно решать задачи с ЛЮБЫМ количеством шаров в замкнутом сферическом пространстве!
Тогда ещё такой вопрос - как перевести это огромное число "кубических" километров - в "нефтяные" БАРРЕЛИ и посчитать их стоимость в долларах США?!

[Stas]

Ну уж закидали дедушку .:))
Как я понимаю , если красный шар мы поместим в центре сферы , то он будет там в грустном одиночестве .
Но на решении задачи это никак не повлияет .

" КАК графически отобразить "единицу измерения времени"?!" - наверное так же как это отображается , к примеру на осциллографе .
Все единицы измерения условны и относительны к параметру который мы договорились считать за единицу измерения или нулевую точку отсчёта .

Общая масса материи пока под вопросом , есть ещё тёмная материя - что это такое пока неизвестно , впоследствии ещё что то возможно найдут . :)

" - как перевести это огромное число "кубических" километров - в "нефтяные" БАРРЕЛИ и посчитать их стоимость в долларах США?! " - в биржевых котировках я то же не специалист , но ...
Но как то НАСА решила перевести чертежи своих космических аппаратов в метрическую форму и после нескольких безуспешных лет отказалась от этого .
Вполне возможно , что по той же причине , как математической так и технологической , им за 20 лет не удалось скопировать российский РД - 180 .
Это я по поводу кубических километров и баррелей . :)

[Rados]

по поводу кубических километров и баррелей

Вы опять совершенно ТОЧНО "угадали" смысл этой "нереальной" задачки, Stas!
Явное НЕсоответствие между координатной СИСТЕМОЙ Декарата, построенной на пересечении взаимно перпендикулярных ПЛОСКОСТЕЙ и СФЕРИЧЕСКИМ многобразием в Природе, стало особенно заметным в строительстве и Архитектуре ЖИЛЬЯ во второй половине XX века!
Европейский "кубизм" на основе железобетонных "коробок" противоречит здравому СМЫСЛУ и ГАРМОНИИ с окружающей природной средой!
Французский архитектор Ле Корбюзье посвятил всю свою жизнь разработке т.н. "Модулора", основанного на соотношении измерений среднестатистического Европейца, "вписанного" в прямоугольник. В противоположность этому "апофеозу кубизма" Ричард Бакминстре Фуллер предложил использование в строительстве сверхлёгких "геодезических куполов" огромного диаметра.
"Геодезические сферы (структуры из треугольных компонентов, покрывающих поверхность сферы) становятся все более крепкими с увеличением размера, так как они перераспределяют напряжение по всей поверхности. Это теоретически позволяет строить сферы колоссальных размеров.
По мере увеличения размера сферы объём заключаемого ею пространства растёт быстрее, чем масса самой структуры (заключающей это пространство). Фуллер определил, что масса геодезической сферы диаметром в 1 милю будет ничтожна в сравнении с массой заключённого в ней воздуха. Он предположил, что даже если нагреть воздух внутри такой сферы всего на 1 градус по сравнению с окружающим пространством, эта сфера может летать. Он вычислил, что такой шар мог бы поднять существенную массу, и это позволило бы строить летающие мини-города с населением в несколько тысяч человек. Подобные «девятые небеса» могли бы стоять на привязи, или быть свободно парящими, или мигрировать в зависимости от климатических и других условий окружающей среды.
Ну, и КТО бы в СССР поверил в такую ФАНТАСТИКУ, когда повсеместно строились типовые "Черёмушки" для решения Жилищной проблемы по Программе Политбюро ЦК КПСС?!! ДА НИКТО!!!
А Гриша Перельман - хоть и НЕархитектор и не Гений Геометрии, но "парадоксов Друг" - это уж ТОЧНО! Именно ему удалось связать теплофизику и топологию строго математическими со-ОТНОШЕНИЯМИ - системой уравнений "потока Риччи"! И тем самым решить (как бы мимоходом) т.н. "Задачу Тысячелетия", за которую Математический Институт Клэя обещал ПРИЗ в размере 1 миллиона денежных единиц (долларов США)...
Математическое сообщество доказательства Перельмана восприняло неоднозначно, потому что "такого ещё не было НИГДЕ", а некоторые НЕДОБРОСОВЕСТНЫЕ журналисты (в частности Зульфия Назар) заняли явно АНТИроссийскую и даже АНТИ-евр(оп)ейскую позицию по отношению к самому математику Перельману, а не к его математическим формулам! Поэтому Перельман и ОТКАЗАЛСЯ участвовать в дальнейшем "разбирательстве" с этой "проблемой", тем более что сама Зульфия Назар вообще ни черта не понимает в сферической топологии, а является явной антисемиткой и проживает в Турции, зарабатывая деньги именно на таких скандально-популярных публикациях!
Математика в представлении Перельмана должна заниматься не только "вычислениями огромных числовых множеств", но прежде всего ГАРМОНИЗАЦИЕЙ в "сфере сферизации" (тавтология какая-то?) - как в науке и технике, так и во взаимо-отношених между политологами, технологами, социологами и даже экологами...А журналисты пытались выставить его персону как ПРОТИВНИКА (оппонента) американскому математику Джону Нэшу, чего на самом деле НЕ БЫЛО. Это "противоречие" - только "плод писательского воображения" Зульфии Назар, гражданки США...

А ГДЕ же тогда ГАРМОНИЯ?!!
Вот, например, лично у меня в деревне их даже ДВЕ: обычная "татарская" гармошка и губная "немецкая" гармоника!
И в них тоже ЕСТЬ вполне определёные МАТЕМАТИЧЕСКИЕ соотношения звуков и нот, которых всего СЕМЬ (по наименованию)...
Семиотка какая-то получается?! Или Политика против Математики?!!
А тут вот ещё и какой-то Алтайский шаман объявился!
"Жить стало лучше, жить стало ВЕСЕЛЕЙ!"

[Rados]

Такие "задачки" НЕЛЬЗЯ задавать всяким "астрологам", потому что у них непременно взоникает аналогия, дескать, "3D-сфера - это Вселенная, которую можно представить только ИЗВНЕ, находясь в некоем ЧЕТВЁРТОМ "гиперкубическом измерении 4D"!
Википедия даже статью опубликовала с "примером преобразования кружки в бублик"...
А в этой задачке только один Stas ДОГАДАЛСЯ, что таких плоских участков территории = 2 000 000 "квадратных" километров на поверхности Земли никогда не было и не будет!
Фактически поверхность нашей планеты - это не плоскость и не гладкая сфера, а именно ДВУХмерное компактное многообразие, другими словами ПОВЕРХНОСТЬ 2D с участками ВЫПУКЛЫМИ или ВОГНУТЫМИ, ... и как исключение - ПЛОСКИМИ...

[Stas]

Эта тема мне близка , в своё время я учился в политехе на инженера строителя и достаточно долго работал в этой области .
К сожалению лихие 90 и дешёвый китайский труд ... ... но одним глазом за тенденциями в строительстве я посматриваю
Действительно , проектов таких домов и даже целых городов появляется достаточно много .
Тому способствует развитие как новых технологий , так и создание новых материалов .
Но всё таки бытиё определяет сознание - форма лишь отражение этих двух понятий в нашем реальном мире .
Кстати , из всех геометрических фигур для построения сферы наиболее подходит квадрат .
Попадалась мне такая информация в сети и она была воплощена в кострукцию футбольного мяча для проведения чемпионатов мира .
От жалоб на судйство это не избавило , но жалоб на мяч у футболистов не было ..)

Для наземного строительства предпочтительны дома из полусфер , а вот для создания дома на воде сферические - бытиё однако .
Опять же всё зависит от климатических условий .
Строительство сферических домов известно издреле - это иглу эскимосов .
По этому же принципу построена и наша военная база в арктике , материалы только другие .

Музыка и гармоничное звучание вопрос отдельный , проще осилить доказательство теоремы Ферма .

[Stas]

Лестно , но я думаю что таких людей существует достаточно много .

[Rados]

из всех геометрических фигур для построения сферы наиболее подходит квадрат

Это просто "привычная" методика расчёта ПЛОЩАДИ (2D) "квадартными" единицами измерения (а почему БЫ не "треугольными"?)...
ЛЮБАЯ криволинейная поверхность может быть "сшита" из ТРЕУГОЛЬНИКОВ, а не из квадратов!
Мы такую МОДЕЛЬ 3D-сферы просто сшили вручную из 4 разноцветных кусков МАТЕРИИ, а чтобы её не надувать (как мячик) просто напихали в неё ВАТУ.
Развёртка такой сферы представляет из себя 4 выпуклых треугольника, каждый из которых образован тремя равными дугами.
Площадь такого треугольника = [tex]\pi[/tex] [tex]R^{2}[/tex], площадь замкнутой сферы (из 4 треугольников) = 4 [tex]\pi[/tex] [tex]R^{2}[/tex].
Нас интересует ОБЪМ материи?!
Умножаем площадь на толщину материи - получаем ОБЪЁМ материальной 3D-сферы (в миллиметрах КУБИЧЕСКИХ)... А внутренний объём 3D-шара из ваты нас в данном случае НЕ ИНТЕРЕСУЕТ...
Фуллер такие расчёты делал даже БЕЗ компьютера (письменно от руки), а Перельман сделал какие-то математические расчёты для ЛЮБОЙ 3D-сферы - даже неправильной формы - например, в виде "гантели"! Я лично тоже в этих формулах "ни бум-бум", но для проектирования ПРАВИЛЬНОЙ 3D-сферы мне было достаточно ЗНАТЬ, что собрать купольный дом можно из панелей треугольной формы. Такой вариант мы тоже уже расчитали у себя в КБ...
"Дом на воде" - это тоже для меня "не новинка", внутри подводной лодки я побывал, когда служил срочную на Тихоокеанском Флоте...

Про Григория Перельмана в последнее время нет никаких сообщений НИГДЕ. но по-моему он всё-таки занимается исследованием ГАРМОНИИ - со-отношением звуков в музыке ... И там тоже "не обошлось без топологии", число [tex]\pi[/tex] = 22/7 мы ПОКАЗАЛИ графически - как соотношение 11 "кружочков" полуокружности к 7 таким же "кружочкам" на диаметре...
Если интересует эта тема - можно более подробно обсудить различные варианты в разделе "Топология"...

Ещё раз спасибо за участие в решении этой "нереальной" задачки, товарищ Stas!