ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ:
Необходимо найти длину участка одного витка архимедовой спирали, находящегося между внутренним радиусом = 1 и внешним радиусом = 2 с изменением угла [tex]\varphi[/tex] от 2[tex]\pi[/tex] от внутреннего радиуса до 4[tex]\pi[/tex] к внешнему радиусу. Соответственно радиус архимедовой спирали линейно пропорционален углу [tex]\varphi[/tex] ([tex]\varphi[/tex]/2[tex]\pi[/tex])
Сравниваются два решения:
Решение №1: Типовое, с помощью формулы длины дуги кривой через интеграл L=[tex]\int\limits_{a}^{b}[/tex] [tex]\sqrt{x}[/tex] r[tex]x^{2 }[/tex]([tex]\varphi[/tex]) + r'[tex]x^{2 }[/tex]([tex]\varphi[/tex])d[tex]\varphi[/tex]. Расчёт по этой формуле даёт длину 9,479749.
Решение №2: Поскольку система линейная (спираль на плоскости, радиус спирали изменяется линейно пропорционально углу), то длина этого участка должна быть среднеарифметической от длин окружностей по внутреннему радиусу и по внешнему радиусу. Длина окружности по внутреннему радиусу = 2[tex]\pi[/tex] * 1 = 6,2831853, по внешнему = 2[tex]\pi[/tex] * 2 = 12,56637. Среднеарифметическое = 3[tex]\pi[/tex] = 9,4247779.
РАЗНИЦА МЕЖДУ ДВУМЯ ВАРИАНТАМИ = 9,479749 - 9,4247779 = 0,0549711 БОЛЬШЕ 0,5% !!
КАКАЯ ЦИФРА ПРАВИЛЬНАЯ? ПОЧЕМУ ТАКАЯ РАЗНИЦА? МОЖНО ЛИ ВЕРИТЬ ФОРМУЛЕ ДЛИНЕ ДУГИ КРИВОЙ?