4=2 или где бесконечность, там проблемы

[Гость]

Здравствуйте!
Решал тут уравнения, вышла хрень. Причину понял не до конца, прошу помочь разобраться.
Итак, уравнение х в степени х в степени х в степени х (бесконечная башня степеней) =2. Решаю так: беру эту бесконечную башню кроме самого основания и, раз уж она бесконечная, то считаю, что она равна левой стороне исходного уравнения. А левая по условию равна двум. Получаю х^2=2. Ну и |х|=√2. Вроде как всё хорошо. Но решим уравнение, где левая часть такая же бесконечная башня степеней, а правая 4. Тот же алгоритм, сводим к х^4=4, х=⁴√4, и вуаля: |х|=√2
У обоих рассмотренных уравнений одинаковые корни, значит, их левые части равны. А значит, равны и правые. То есть, 2=4.
Понятно, это фигня. Особенно если учинить проверку, возводя √2 в степень ✓2 хотя бы несколько раз, и глядеть, к чему стремится результат. Оказывается, он неограниченно растёт, причём уже на третьем шаге результат равен 2. Значит, первое уравнение решено неверно. Зато вот если ⁴√4 возводить в степень ⁴√4, то по мере увеличения количества шагов результат будет стремиться к 2. Причем, если можно так выразиться, с разных сторон - то чуть больше двух, то чуть меньше двух, и разница всё уменьшается. Ну, значит, и второе уравнение решено неверно.
Вот как где бесконечность в любом виде попадается, там сразу проблема какая-нибудь!
А как верно решить эти два уравнения?

[Гость]

Шибко извиняюсь, что-то я вообще спорол не то. ⁴√4 в степени ⁴√4 в степени ⁴√4... и т.д. ведёт себя точно так же, как √2 в степени √2 в степени √2 и т.д. Как у меня этот бред получился? Понятия не имею!
Но всё равно оба уравнения решены неверно. И проверка это подтверждает и равенство корней, из которого следует, что 2=4.
Склоняюсь к мысли, что корней у этих уравнений нет вовсе. Потому что для любого положительного х меньше или равного 1 по мере возведения результат будет стремиться к 1, а для х большего 1 будет неограниченно возрастать. Ни 2 ни 4 в пределе не получается.
Для отрицательных целых х результат - "раскачивание качелей", т.е. через раз то число, всё ближе к 0, то всё ближе к бесконечности. Для отрицательных нецелых х операция не определена.
И как вот это всё оформить математически, а главное - какая допущена ошибка в первоначальном варианте решения?
Догадываюсь, что мог бы "снимать" столь же бесконечную башню не с первого х, а со второго, третьего и т.д., получая х^х=2 или 4, х^х^х=2 или 4. Тогда бы и корни выходили другие. Но какое тут обоснование, почему нельзя так делать?
Или вся проблема именно в бесконечности? Бесконечная башня степеней либо не определена, либо может равняться только 1 и никакому другому числу?
Я прав?

[Гость]

С другой стороны, если начинать возведение в степень сверху башни, то √2^(√2^(√2^(√2^(√2^.....)))=2.
Это не говорит о том, что первое уравнение решено правильно, а говорит лишь о том, что получен правильный корень уравнения, может быть и случайно. Потому что тот же метод для второго уравнения не годится. Но какого чёрта?
Как, всё-таки, решаются подобные уравнения?